FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DE SISTEMAS Y DE ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS DOCENTE: Celi Arevalo, Ernesto Karlo. CURSO: Introducción a la ingeniería de sistemas TEMA: Teoría de las colas INTEGRANTES: Córdova Jesfen, Carlos. ( 2do en exponer) Pérez Sánchez, Miguel Ángel. ( 3ro en exponer) Vásquez Araujo, Diego. ( 1ero en exponer) Velásquez Túllume, Deibis. (4to en exponer) Zafra Vargas, José Reynaldo. (5to en exponer) UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Es una rama de las matemáticas que hace uso de modelos matemáticos y algoritmos con el objetivo de ser usado como apoyo a la toma de decisiones. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO) Objetivos Eficiencia en cuanto a tiempo, recursos, costos, etc. Métodos Cuantitativos Campos Ingeniería Ciencias Sociales En el ambiente actual donde la complejidad de los problemas es creciente, debido a un ambiente más globalizado y competitivo, la Investigación de Operaciones ha permitido abordar de forma eficiente modelos que responden a distintas problemáticas, superando ampliamente los procedimientos cualitativos

MODELO BÁSICO DE UN SISTEMA DE IO Un modelo de investigación de operaciones requiere necesariamente de una abstracción de la realidad, además de identificar los factores dominantes que determinan el comportamiento del sistema en estudio. MODELO RESULTADOS DESICIONES SITUACIONE S JUICIO DEL EJECUTIVO Análisis Conocimientos previos Abstracción Interpretación

COLAS Las colas no son más que una línea ordenada de personas que se encuentran a la espera de un determinado servicio. Propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

Teoría de colas: Introducción El matemático danés Agner Krarup Erlang, trabajador de la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el primer artículo sobre la teoría de colas en Concepto La teoría de colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera dentro de un sistema. Ésta teoría estudia factores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de trabajo del sistema sin que llegue a colapsarse. Dentro de las matemáticas, la teoría de colas se engloba en la investigación de operaciones y es un complemento muy importante a la teoría de sistemas y la teoría de control. Se trata así de una teoría que encuentra aplicación en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y logística o telecomunicaciones.

Objetivos: Los objetivos de la teoría de colas consisten en: Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

MODELO DE FORMACIÓN DE COLAS: Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio. Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes. La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas.

ELEMENTOS EXISTENTES EN LA TEORÍA DE COLAS: Proceso básico de colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente. Fuente de entrada o población potencial: Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento. Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio como por ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: T {k} = tk = tK-1, fijando su distribución de probabilidad. Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: -FIFO (first in first out). -LIFO (last in first out). -RSS (random selection of service). -Processor Sharing. Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores.

Redes de colas: Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una a otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos multitarea. Cola: Una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas. Es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio. El proceso de servicio: El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede existir más de una estación en el sistema en el cual se proporcione el servicio requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son buenos ejemplos de lo anterior.

El Sistema de la Cola: Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura: Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o la distribución Erlang (Gamma).

NOTACIÓN KENDAL: David G. Kendall Introdujo una notación de colas A/B/C en Ha sido desde entonces extendida a 1/2/3/ (4/5/6) donde los números se reemplazan con: I.- Un código que describe el proceso de llegada. Los códigos usados son: M para "Markoviano" D G II.- Un código similar que representa el proceso de servicio (tiempo de servicio). Se usan los mismos símbolos. III.- El número de canales de servicio (o servidores). IV.- La capacidad del sistema, o el número máximo de clientes permitidos en el sistema incluyendo esos en servicio. V.- El orden de prioridad en la que los trabajos en la cola son servidos: First Come First Served (FCFS) o First In First Out (FIFO) Last Come First Served (LCFS) o Last In First Out (LIFO) Service In Random Order (SIRO) Processor Sharing 6. El tamaño del origen de las llamadas. El tamaño de la población desde donde los clientes vienen. Esto limita la tasa de llegadas.

CLASIFICACIÓN DE KENDALL Y LEE: A/B/C: (D/E/F) Donde las letras o campos se usan según la siguiente convención: -A = En esta campo se coloca la distribución del tiempo entre llegadas -B = En este campo se especifica la distribución del tiempo de servicio -C = Se usa para identificar el número de estaciones de servicio, en paralelo -D = En este campo se especifica la prioridad del sistema. Por defecto se supone que es FIFO. -E = Indica la capacidad de sistema (Por defecto y se supone que es limitada) -F = Tamaño de la fuente (Por defecto se asume que es ilimitada) Para especificar la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se servicio se usa la siguiente convención: M = Distribución exponencial G = Distribución general Ek = Distribución de Erlang D = Distribución constante

INSTALACIÓN DE SERVICIOS O ESTACIONES Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: La cola y la instalación del servicio. Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio. Los clientes o llegadas pueden ser: - Personas. - Automóviles. - Máquinas que requieren reparación. - Documentos. -Entre muchos otros tipos de artículos. Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio. Si no, se une a la cola. Es importante señalar que la cola no incluye a quien está recibiendo el servicio. Las llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola. Generalmente ésta es primero en llegar, primero en ser servido. Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades.

SISTEMAS DE COLAS BÁSICO SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL CON UN SOLO SERVIDOR

SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL CON MÚLTIPLES SERVIDORES SISTEMA DE COLAS CON MÚLTIPLES CANALES CON MÚLTIPLES SERVIDORES El tiempo que transcurre para un cliente desde el inicio del servicio hasta su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor (y tal vez para los distintos clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores. El flujo de los elementos que recibirán servicios puede formar una cola única, una cola múltiple o una combinación de ambas y pueden ser brindadas por un servidor o múltiples servidores.

1. Un Servidor - Una Cola: Es el tipo más sencillo de estructura y existen fórmulas directas para resolver el problema con distribución normal de patrones de llegada y de servicio. 2. Múltiples Servidores (en paralelo) – Varias Colas: El problema con este formato es que las diferencias en el tiempo de servicio para cada cliente ocasionan un flujo o velocidad desigual en las colas.

3. Múltiples Servidores (en paralelo) – Una Cola 4. Múltiples Servidores (en serie) – Una Cola

5. Múltiples Servidores - Fases Múltiples SISTEMA DE COLAS CON MÚLTIPLES CANALES CON MÚLTIPLES SERVIDORES SISTEMA DE COLAS MULTIFACETICO

SELECCIÓN A PARTIR DE LA COLA O LÍNEA DE ESPERA, DISCIPLINA DE COLA La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien llegó primero) Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la disciplina LIFO (atender primero al último).

Modelos de línea de espera: Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola. Las características operativas de interés incluyen las siguientes: 1.Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema. 2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera. 3. Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo). 4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera. 5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio). 6. Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio.

Estructura de un sistema de línea de espera Línea de espera de un solo canal Distribución de llegadas Distribución de tiempos de servicio Disciplina en la línea de espera Operación de estado estable

Modelos de línea de espera de un solo canal con llegadas de poisson y tiempos de servicios exponenciales: Consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. Estas fórmulas son aplicables si existen las siguientes condiciones. 1. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson. 2. Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial. Proceso de Poisson: Es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "sucesos raros") que ocurren a lo largo del tiempo. El tiempo entre cada par de eventos consecutivos tiene una distribución exponencial con el parámetro λ, y cada uno de estos tiempos entre llegadas se supone que es independiente de otros tiempos entre llegadas. Es llamado así por el matemático Siméon Denis Poisson.

Análisis económico de las líneas de espera Antes de que pueda llevarse a cabo un análisis económico de una línea de espera, debe elaborarse un modelo de costo total, el cual incluye el costo de esperar y el costo de servicio. Para realizar un análisis económico de una línea de espera debemos obtener estimaciones razonables del costo de esperar y el costo de servicio.

PARÁMETROS: Existen Tres tipos de parámetros: 1. Parámetros Asociados a la Cola – Entidades: Lq / Ls 2. Parámetros Asociados al tiempo: Wq / Ws 3. Parámetros Asociados eficiencia =Factor Utilización: ρ = λ/ µ En donde: -Lq: Número de entidades en la cola. -Ls: Número promedio de entidades en el sistema. -Wq: Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la cola. TERMINOLOGÍA: Estado del sistema: Número de clientes en el sistema. Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio. N (t): Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t  0). Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero. s: Número de servidores en el sistema de colas. n: Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.  n: Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema, «  n» representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados logran terminar sus servicios. * n: Cuando n es constante para toda n *  n: Cuando  n es constante para toda n  1 -Ws: Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema. -µ= Tasa de Servicio. -λ= Tasa de Llegado. -ρ= Factor de Utilización.