III. PROBABILITATEA PROBABILITATEAREN DEFINIZIOAK PROBABILITATEAREN PROPIETATEAK ZENBATZEKO TEKNIKAK PROBABILITATE BATUKETAREN TEOREMA PROBABILITATE BALDINTZATUA PROBABILITATE BIDERKAKETAREN TEOREMA PROBABILITATE OSOA ETA BAYES-EN TEOREMAK 10/12/2018

3.1 Probabilitatearen definizioak Zorizko esperimentua Gertaera Lagin-espazioa Zorizko gertaeren sailkapena Probabilitatearen ikuspuntuak 10/12/2018

1. PROBABILITATEAREN DEFINIZIOAK 1.1. Zorizko esperimentua ZORIZKO ESPERIMENTUETAN zoriak parte hartzen du eta aldiz aurretik ezin dugu emaitza ezagutu. Adibidea: Laborategiko esperimentu batean, arratoi bat T laberintoan sartzea. 10/12/2018

Zorizko esperimentuaren propietateak Bi emaitza posible edo gehiago. Adibidea: Dadoaren kasuan S1 = 1; S2 = 2; S3; ….S6 = 6 Bi aldiz saiakuntza berdina egiten badugu, ez da derrigorrezkoa emaitza berdina lortzea. 10/12/2018

1.2 Zorizko gertaerak 1.3 Lagin-espazioa Zorizko esperimentuaren emaitza. 1.3 Lagin-espazioa Zorizko gertaera baten emaitza posible guztiak osatzen duten multzoa. Gertaera lagin-espazioaren azpimultzoa da Adibidea: Laberintoa E = [ezkerra, eskuina] 10/12/2018

1.2. Zorizko gertaeren sailkapena Gertaera segurua. Adibidea: Laberintoan irteera bat ipintzea. Ezinezko gertaera. Adibidea: Dadoaren kasuan, 7 aurpegia ateratzea. Gertaera bateraezinak. Adibidea: Dado airera botatzerakoan, 1 zenbakia lortzea eta 2 zenbakia lortzea. Gertaera bateragarriak. Adibidea: Zenbaki bikoitia eta 4 baino txikiagoa izatea. 10/12/2018

1.2. Zorizko gertaeren sailkapena Kontrako gertaerak. Bien artean gertaera segurua osatzen dute. Adibidea: Zenbaki bikoitia eta bakoitia izatea. Gertaera askeak. Bien artean ez dago inongo harramanik. Menpeko gertaerak. Lehenengo gertaerak bigarrena baldintzatzen du. 10/12/2018

1.3. Probabilitatearen ikuspuntuak Klasikoa edo “a priori” P(A) = Aldeko kasuak(nA)/Kasu posibleak (n) Adibidea: Dado bat airera botatzean, 6 aurpegia ateratzeko probabilitatea. P(A) = 1/6= 0,17 10/12/2018

Probabilitate estatistikoa edo “a posterori” Maiztasun erlatiboa (pi) = nA/n nA : definituriko gertaera zenbat bider agertu den n : esperimentua zenbat bider egin den P(A) = Lim nA/n n  10/12/2018

Probabilitatearen propietateak Zorizko gertaeren probabilitatea 0 eta 1-en tartean kokatzen da. Gertaera seguruaren probabilitatea 1 da. Ezinezko gertaeraren probabilitatea 0 da. 10/12/2018

III.2. ZENBATZEKO TEKNIKAK Lagin-espazioa handia denean zaila izaten da zenbatzea, horretarako zenbatzeko teknikak erabiltzen dira. ALDAKUNTZAK PERMUTAZIOAK KONBINAZIOAK 10/12/2018

2. 1. ALDAKUNTZAK M elementuen aldakuntzak elementu guztiak n-ka hartuta eratzen diren talde desberdinak. Baldintzak: A) Elementuren bat diferentea talde desberdina . B) Elementu berdinak eta ordena aldatzen bada talde desberdina. A(m,n) = m!/(m-n)! 10/12/2018

Adibidea (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,4) Lau elementuen (1,2,3,4) aldakuntzak binaka hartuta kalkulatu. (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) A(m,n) = m!/(m-n)!= 4!/ (4-2)! = 4.3.2.1/2.1= 12 10/12/2018

2.2. PERMUTAZIOAK ALDAKUNTZAK m = n Pm = m! Elementuak 1, 2, 3 eta 4 10/12/2018

2.3. KONBINAZIOAK ORDENA EZ DA KONTUTAN HARTZEN 10/12/2018

Adibidea (1,2) (1,4) (2,3) (2,4) (3,1) (3,4) Lau elementuen (1,2,3,4) konbinazioak binaka hartuta kalkulatu. (1,2) (1,4) (2,3) (2,4) (3,1) (3,4) 10/12/2018

Laburpena Aldakuntzak Permutazioak Konbinazioak Errepikatu Ordena bai m = n Ordena ez Ez errepikatu ordena bai 10/12/2018

IV.2.4.Errepikapenezkoak Errepikapenezko Aldakuntzak 10/12/2018

Errepikapenezko Permutazioak 10/12/2018

Errepikapenezko Konbinazioak 10/12/2018

III.3. PROBABILITATE BATUKETAREN TEOREMA A edo B gertaerak suertatzearen probabilitatea A) Gertaera bateraezinak P(AUB) = P(A) + P(B) 10/12/2018

B) Gertaera bateragarriak 10/12/2018

C) Gertaera osagarriak 10/12/2018

4. BALDINTZAZKO PROBABILITATEA Menpeko gertaeretan, B gertaera eman dela jakinik, A gertaera suertatzeko dagoen probabilitatea 10/12/2018

5. PROBABILITATE BIDERKETAREN TEOREMA A eta B gertaerak suertatzearen probabilitatea A) Gertaera askeak Propietateak: P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) 10/12/2018

B) Menpeko gertaerak 10/12/2018

6.1 PROBABILITATE OSOAREN TEOREMA (I) 10/12/2018

6.1 PROBABILITATE OSOAREN TEOREMA (II) Baldintzak: B=gertaera bateraezinak K=geratera-kopurua Nahiz eta P(A) = P(B1). P(A/B1)+ P(B2). P(A/B2) 10/12/2018

6.2. BAYES-EN TEOREMA B gertaerak: bateraezinak 10/12/2018