Introducción Los árboles fueron utilizados por primera vez en 1847 por Gustav Kirchhoff (1824-1887) en su trabajo de redes eléctricas, aunque posteriormente fueron desarrollados y definidos de nuevo por Arthur Cayley (1821-1895). En 1857, Cayley usó estos grafos especiales para enumerar los isómeros diferentes de los hidrocarburos saturados. Algunos tipos especiales de árboles son muy importantes en el estudio de las estructuras de datos, las ordenaciones, la teoría de codificación y en la solución de ciertos problemas de optimización.

Actividad de Apertura ¿Cuál de siguientes grafos son árboles? Explicar su respuesta

Actividad de Apertura ¿Cuál de siguientes grafos son árboles? Explicar su respuesta El grafo 𝐺 1 es un árbol, ya que no contiene lazos es conexo y no contiene ciclos.

Actividad de Apertura ¿Cuál de siguientes grafos son árboles? Explicar su respuesta El grafo 𝐺 2 no es un árbol, pues contiene un ciclo 𝑎,𝑏,𝑐,𝑎 , 𝑏,𝑐,𝑎,𝑏 ,{𝑐,𝑎,𝑏,𝑎}

Actividad de Apertura ¿Cuál de siguientes grafos son árboles? Explicar su respuesta El grafo 𝐺 3 no es conexo,por lo que no puede ser un árbol. Sin embargo cada componente de 𝐺 3 es un árbol; en este caso es un bosque

Actividad de Apertura ¿Cuál de siguientes grafos son árboles? Explicar su respuesta El grafo 𝐺 3 es un bosque recubridor para el grafo 𝐺 4 Por lo tanto un árbol o bosque recubridor de un grafo conexo es un subgrafo recubridor que también es un árbol.

Propiedades de los árboles Teorema 1 Si a,b son vértices distintos en un árbol 𝑇= 𝑉,𝐸 , entonces hay un único camino que conecta estos vértices. Como T es conexo, existe al menos un camino que conecta a y b. Si hubiera más caminos de este tipo, por medio de dos de ellos, algunas aristas podrían forma un ciclo, pero T no tiene ciclos.

Propiedades de los árboles Teorema 2 Si 𝐺=(𝑉,𝐸) es un grafo no dirigido, entonces G es conexo si y sólo si G tiene un árbol recubridor.

Propiedades de los árboles En la figura siguiente se muestran tres árboles no isomorfos para cinco vértices. Aunque no son isomorfos, tienen el mismo números de aristas (cuatro).

Propiedades de los árboles Teorema 3 En cualquier árbol 𝑇=(𝑉,𝐸), 𝑉 = 𝐸 +1

Propiedades de los árboles Teorema 4 En cualquier árbol 𝑇=(𝑉,𝐸), si 𝑉 ≥2, entonces T tiene al menos dos vértices colgantes. Vértice colgante: Es el vértice de grado 1

Evidencia Proceso 1 1) Which of these graphs are trees? Explain your answer

Evidencia Proceso 1 2) Which of these graphs are trees? Explain your answer

Evidencia Proceso 1 3) Answer these question about the rooted tree ilustrated

Evidencia Proceso 1 Which vertex is the root? Which vertices are internal? Which vertices are leaves? Which vertices are children of j? Which vertex is the parent of h? Which vertex are siblings of o? Which vertices are ancestors of m? Which vertices are descendants of b?