TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS II Homología- Afinidad

Ejercicio. Nº 1- Hallar la figura homóloga de la figura dada conociendo el punto A y el homólogo A'.

1º .- Unimos el Centro de homología O con los vértices del triangulo A, B y C.

2º.- Unimos A y C y prolongamos hasta el eje punto 1, unimos el punto 1 con el A’ y obtenemos el punto C’ homologo del C, que se encuentra en la línea que une el centro de homología O con el punto C.

3º.- Se procede de igual forma con el punto B ( pudiendo elegir ente el punto A y el C), elegimos el punto A. Unimos A y B y prolongamos hasta el eje punto 2, unimos el punto 2 con el A’ y obtenemos el punto B’ homologo del B, que se encuentra en la línea que une el centro de homología O con el punto B.

4.- Unimos los puntos A’, B’ y C’ y obtenemos la figura homologa .

Ejercicio. Nº 2- Determinar el vértice, la recta límite RL y el eje de una homología definida por dos pares de puntos homólogos (A-A') y (B-B') y un punto M del eje.

1º.- Unimos los puntos homólogos A-A’ y B-B’ y obtenemos el punto V centro de homología que es la intersección de ambas rectas .

2.- Unimos los puntos homólogos A-B y A’-B’ y obtenemos el punto I-I’ que es un punto doble es decir un punto del eje de homología.

3º.- Unimos el punto M con el punto I-I’ y obtenemos el eje de homología.

Ejercicio. Nº 3 - Hallar las rectas homólogas de las rectas r, s, t dadas. Conociendo el vértice, la recta limite RL y el eje.

1º.- Unimos el punto 1 de la recta limite RL con el origen de homología V . Al cortarse las rectas r, s, t en el punto 1 de la recta limite RL , este resulta un punto impropio es decir su homologo se encuentra en el infinito y las rectas homologas son paralelas a la recta 1-V.

2º.- Por los puntos de intersección de las rectas r, s, t con el eje trazamos las paralelas a V-1, y obtenemos las rectas r’, s’ y t’ homologas de las dadas.

Ejercicio Nº 4.-Hallar el homólogo del punto P en la homología dada.

1º.- Como los puntos A-A’ y P se encuentran en línea recta con el origen de homología O, tenemos que utilizar otro punto cualquiera B.

2º.- Hallamos el homólogo del punto B, unimos B con O y B con A y obtenemos el punto 1 punto doble.

3º.- Hallamos el homólogo del punto B punto B’, unimos el punto doble 1 con el punto A’ que corta a la recta O-B en el punto B’.

4º.- Unimos el punto B con el punto P y obtenemos el punto 2 punto doble .

5º.- Unimos B’ con el punto doble 2 y prolongamos hasta obtener el punto P’ homólogo del P.

Ejercicio Nº 5.-Hallar el triángulo afín del dado, conociendo el eje de afinidad e y dos puntos afines A y A‘.

1º.- Unimos los puntos A y A’ que resulta ser la dirección de afinidad.

2º.- Trazamos por los vértices paralelas a la dirección de afinidad.

3º.- Unimos por ejemplo el vértice C con el A y obtenemos el punto doble 1-1’.

4º.- Unimos el punto doble 1-1’ con A’ y prolongamos para obtener el punto C’ afín del C.

5º.- Prolongamos el lado B-C y obtenemos el punto doble 2-2’.

6º.- Unimos el punto doble 2-2’ con el C’ y obtenemos el punto B’ afín del B.

7º.- Unimos los puntos A’, B’ y C’ y tenemos la figura afín de la dada.

Ejercicio Nº 6.- Hallar el punto homólogo del punto P conociendo un par de puntos homólogos A-A' y B-B' y un punto doble M-M'.

1º.- Unimos los pares de puntos homólogos A-A’ y B-B’ y el punto de intersección O resulta el origen de homología.

2º.- Prolongamos los segmentos A-B y A’-B’ el punto de corte 1-1’ resulta ser un punto del eje.

3º.- Unimos los puntos dobles M-M’ con 1-1’ y obtenemos el eje de homología.

4º. -Unimos los puntos P y B, y nos determina el punto doble 2-2’ 4º.-Unimos los puntos P y B, y nos determina el punto doble 2-2’. Se une el punto P con el origen de homología O.

5º.-Unimos los puntos 2-2’ y B’, y nos determina el punto P’ homologo del P.

Ejercicio Nº 7.- En una homología definida por el vértice V, la RL y un par de puntos homólogos A-A'. Determinar el homólogo de un punto B dado y el eje.

1º.-Unimos el punto B con el centro de homología O.

2º.- Unimos el punto A y B y obtenemos el punto 1’ de la recta limite RL.

3º.- Unimos el origen de homología V con el punto 1’ y la recta homologa de la A-B será paralela a esta recta V-1’ y tendrá que pasar por A’.

4º.- Por A’ trazamos la paralela a V-1’ que nos determina el punto doble 2-2’ punto del eje.

5º.- Por el punto doble 2-2’ trazamos una paralela a la recta limite RL y tenemos el eje, el punto B’ es la intersección de la recta A’-2-2’ con la recta V-B resulta el homologo del punto B.

Ejercicio Nº 8.- Hallar el segmento homólogo del AB conociendo de la homología la recta límite RL, el centro V y el eje.

1º.- Prolongamos el segmento A-B hasta que corte al eje en punto 2 y a la recta limite en el punto 1’.

2º.- Unimos el centro de homología V con el punto 1’.

3º.- Por el punto 2 trazamos una paralela a la recta V-1’, que es la recta homologa de A-B.

4º.- Unimos el centro de homología V con los puntos A y B, y obtenemos los puntos homólogos A’ y B’.

Ejercicio Nº 9.- Determinar las rectas límites de una homología definida por el vértice V, el eje y un par de rectas homólogas.

1º.- Por V trazamos una paralela a r’ que corta a r en el punto M que es un punto de la recta limite.

2º.- Por V trazamos una paralela a r.

3º.- Prolongamos la recta r’ y nos determina el punto N’ que resulta ser un punto de la recta limite RL’.

4º.- Por los puntos M y N’ trazamos las rectas limites RL y RL’ paralelas al eje.

Ejercicio N 10.- Determinar las rectas límites de la homología dada por el vértice V, el eje y una par de punto homólogos A y A'.

1º.- Por el punto A trazamos una recta cualquiera r.

2º.- Por A’ trazamos la recta r’ homologa de la recta r.

3º.- Por el centro de homología V trazamos la paralela a la recta r que corta a la homologa r’ en el punto N’ que es un punto de la recta limite RL’.

4º.- Por el centro de homología V trazamos la paralela a la recta r’ que corta a la r en el punto M que es un punto de la recta limite RL.

5º.- Por los puntos M y N’ trazamos las rectas limites RL y RL’ paralelas al eje.

Ejercicio Nº 11.- Hallar el homólogo del triángulo ABC dado.

1º.- Prolongamos el lado C-B que corta al eje en el punto 1 y a la recta limite RL en el punto 2.

2º.- Unimos el origen de homología V con el punto 2 y por el punto 1 trazamos una paralela a V-2.

3º.- Prolongamos V-B y V-C hasta que corten a la paralela anterior que trazamos por 1.

4º. - El punto A’ coincide con V y A 4º.- El punto A’ coincide con V y A . Unimos A’, B’ y C’ y tenemos la figura buscada.

Ejercicio Nº 12.- Hallar el homólogo del punto P conociendo el vértice V y las dos rectas límites.

1º.- Por el punto P trazamos una recta cualquiera r que corta a RL en el punto A.

2º.- Por el centro de homología V trazamos una paralela a r que corta en N’ a la recta limite RL’.

3º.- Unimos V con A y por N’ trazamos una paralela r’ a V-A que resulta ser la recta homologa de r .

4º.- Unimos V con P y obtenemos el punto P’ homologo del P.

Ejercicio Nº 13.- Hallar el punto afín del B conociendo el eje de afinidad y un par de puntos afines A y A‘.

1º.- Tomamos un punto auxiliar C que unimos con A para obtener el punto 1-1’.

2º.- Por el punto auxiliar C trazamos una paralela a la dirección de afinidad A-A’, unimos el punto 1-1’ con A’ , para obtener el punto C’.

3º.- Unimos el punto B con C y prolongamos hasta que corte al eje en el punto 2-2’.

4º.- Unimos el punto 2-2’ con C’ y obtenemos el punto B’ afín del B.

Ejercicio Nº 14.- Hallar la figura afín del triángulo A B C conociendo el eje y un punto A' afín del A.

1º.- Unimos el punto A con A’ y obtenemos la dirección de afinidad.

2º.- Por los puntos B y C trazamos paralelas a la dirección de afinidad A-A’.

3º.- Prolongamos el lado A-B hasta el eje punto 1-1’, y unimos este con el punto A’ para obtener el punto B’.

4º.- Prolongamos el lado B-C hasta el eje punto 2-2’, y unimos este con el punto B’ para obtener el punto C’.

5º.- Unimos los puntos A’, B’ y C’ y tenemos la figura afín de la dada.

Ejercicio Nº 15.- Hallar la figura afín del cuadrado ABCD dado, conociendo A’.

1º.- Unimos los puntos A y A’ y tenemos la dirección de afinidad.

2º.- Por los puntos B, C y D, trazamos paralelas a la dirección de afinidad A-A’.

3º.- Unimos el punto A’, con el punto de corte del lado A-D con el eje de afinidad y obtenemos el punto D’ , punto de intersección con la recta que parte del vértice D.

4º.- Por D’ trazamos la paralela al eje de afinidad y obtenemos el punto C’ afín del vértice C. Como el lado D-C es paralelo al eje su afín D’-C’ será también paralelo.

5º.- Unimos el punto C’ con la intersección del eje con el lado B-C y obtenemos el punto B’ afín del punto B, y tenemos la figura afín de la dada. También se podría hallar trazando paralela al eje por el punto A’.

6º.- Unimos los puntos A’, B’, C’ y D’ y tenemos la figura afín de la dada.

Ejercicio Nº 16.- Hallar la figura afín de un triángulo ABC, sabiendo que la razón de afinidad es -1 y se trata de una afinidad ortogonal.

1º.- Al ser la dirección de afinidad ortogonal, será perpendicular al eje de afinidad por lo que por A, B y C trazamos perpendiculares al eje.

2º.- Como la razón de afinidad es -1, la distancia de un punto al eje tiene que ser igual que la de su afín al eje pero a diferente lado del mismo y además como es ortogonal en realidad resulta ser una simetría axial. Por lo que haciendo centro en los puntos de intersección de las perpendiculares trazadas por A, B y C con el eje , puntos 1, 2 y 3 trazamos un arcos de circunferencia de radios 1-A, 2-B y 3-C que nos determinan los puntos A’, B’ y C’ afines de los dados.

3º.- Unimos los puntos A’, B’ y C’ y obtenemos la figura afín de la dada.

Ejercicio Nº 17.- Conocidas dos figuras afines ABC y A'B'C' determinar el punto afín de un punto dado P.

1º.- Unimos los puntos A’-B’ y A-B y obtenemos el punto 1 que es un punto doble es decir del eje.

2º.- Unimos los puntos C’-B’ y C-B y obtenemos el punto 2 que es un punto doble es decir del eje. Por lo que si unimos los puntos 1 y 2 tenemos el eje de afinidad.

3º.- Por el punto P trazamos la paralela a la recta A-A’ que es la dirección de afinidad ( lo mismo que C-C’ o B-B’).

4º.- Unimos el punto A con el P y obtenemos el punto 3.

3º.- Unimos el puntos 3 con A’ y obtenemos el punto P’ afín del punto P.

Ejercicio Nº 18.- Hallar la figura homotética del triangulo ABC conociendo en centro O y un punto homotético A' del A.

1º.- Unimos los puntos A y B con el centro de homotecia O (los puntos homotéticos se encuentran en línea recta con el centro de homotecia).

2º.- Por el punto A’ trazamos una paralela al lado A-B que nos determina el punto B’ homotético del B al cortarse con la recta B-O. Los lados homotéticos son paralelos.

3º.- Por el punto A’ trazamos una paralela al lado A-C que nos determina el punto C’ homotético del C al cortarse con la recta C-O.

4º.- Unimos los puntos A’ , B’ y C’ y tenemos la figura homotética de la dada.