Geodesia Física y Geofísica I semestre, 2014 Ing. José Francisco Valverde Calderón Email: jose.valverde.calderon@una.ac Sitio web: www.jfvc.wordpress.com Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Capítulo 2 El campo gravitacional y sus anomalías Nomenclatura: W = potencial de gravedad real U = potencial de gravedad normal V = potencial gravitacional  = potencial centrifugo Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Debido a la rotación terrestre, existe una aceleración centrifuga. Se cumplen la relaciones: V es el potencial gravitacional y es armónico fuera de las masas terrestres. Debido a la rotación terrestre, existe una aceleración centrifuga. Se asume una rotación con una velocidad angular () constante. La aceleración centrifuga está dirigida hacia el exterior, de forma perpendicular al eje de rotación. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Aceleración centrifuga Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Además, se define la velocidad angular () de la siguiente manera: Se define el potencial centrifugo  como el potencial cuyo gradiente es la aceleración centrifuga. Además, se define la velocidad angular () de la siguiente manera: Se define la aceleración centrifuga de la siguiente manera: El parámetro p se como: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Por lo tanto, el potencial centrifugo es equivalente a: Se define el potencial de gravedad de la siguiente manera: Expresado de otra forma: La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la gravitación b y la aceleración centrifuga z. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El campo de gravedad normal Primera aproximación: la Tierra representada por una esfera. Segunda aproximación: la Tierra representada por un elipsoide de revolución. Ningún elipsoide es igual a la forma real de la Tierra. Pero el campo de gravedad que se puede asociar es muy importante  es fácil de manejar de forma matemática. Las diferencias entre el C.G del elipsoide y el C.G real de la Tierra son tan pequeñas, que se pueden considerar lineales. Como consecuencia, es mas sencillo estudiar la forma de la Tierra y su campo de gravedad, refiriéndose a un modelo de gravedad. Este modelo nos dará las diferencias del mismo en relación con el Geoide Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El campo de gravedad normal Se asume entonces que la Tierra es un elipsoide de nivel, esto es, un elipsoide de revolución, cuya superficie es una superficie equipotencial del campo de gravedad asociado al elipsoide. A este campo, asociado al elipsoide, lo llamaremos “Campo de Gravedad Normal” y al elipsoide al que se le asocia este campo “Elipsoide Normal” Una ventaja de este elipsoide normal es que le puedo asociar un sistema de coordenadas elipsoídicas. Al definir el elipsoide normal, lo que se logró fue encontrar una buena aproximación al geoide, que es matemáticamente simple y cuyas diferencias con el geoide son muy pequeñas. Al campo de gravedad normal, le asociamos un “potencial de gravedad normal”, que denotamos como U. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El campo de gravedad normal Además, al elipsoide normal se le asocia una masa M y una rotación, con una velocidad angular . Geoide El elipsoide normal posee masa y rotación Elipsoide normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El campo de gravedad normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El campo de gravedad normal Aclaración: se sabe que el potencial depende de la distribución de masas en el interior de las masas atrayentes; en el caso del elipsoide normal, nos basta con suponer que la masa total es M, sin importar si no se conoce con detalle como se comporta la densidad dentro del elipsoide. Por tanto, este elipsoide cumple las siguientes condiciones: Su masa coincide con la de la Tierra, por lo que el valor GM se mantiene. La masa del elipsoide tiene una distribución homogénea (una densidad constante, no importa cual) y gira en el espacio con una velocidad angular igual a la de la Tierra. El centro del elipsoide coincide con el centro de la Tierra. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El campo de gravedad normal Definimos el potencial de gravedad normal de la siguiente forma: El potencial gravitacional normal Velipsoide es generado por la masa del elipsoide. El vector de gravedad normal es el gradiente del potencial de gravedad normal: Una característica del elipsoide normal es que las superficies equipotenciales son de forma elipsoidal, concéntricas y paralelas entre si. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El campo de gravedad normal Recordar que las superficies equipotenciales del campo de gravedad real NO son paralelas. El valor de U en cada punto depende de las dimensiones del elipsoide que se tome como referencia. Entonces, se impone como condición que el potencial normal en la superficie del elipsoide sea igual a Wo, esto es el potencial de gravedad real sobre la superficie del geoide. Campo de gravedad real Campo de gravedad normal W = VTierra +  U = VElipsoide +  Superficie Geoide Elipsoide Normal Potencial W = Wo en el geoide U = Wo en el elipsoide normal Gradiente Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Superficies de nivel en el campo de gravedad real Prof: José Fco Valverde Calderón

Campo de gravedad real y normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El elipsoide normal se puede definir con cuatro parámetros: La forma y el tamaño del elipsoide (a,b) , (a,f); Una velocidad angular ; La masa M. Se puede definir una fórmula para calcular el potencial de gravedad normal de la siguiente manera: Las únicas constantes en la anterior fórmula son kM (en algunos libros GM), a, b y . (1) = E, E = (a2 – b2)^1/2 u = b Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Elipsoide normal Con q y qo (2) (3)  = latitud reducida Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teorema de Stokes-Poincare “Si un cuerpo de masa total M rota con una velocidad angular () constante alrededor de un eje fijo y si S es una superficie de nivel de su campo de gravedad, encerrando toda la masa M, entonces el potencial de gravedad en el espacio exterior de S es determinado de forma única por medio de los parámetros masa, velocidad angular y S. Donde S queda definida por los parámetros geométricos del elipsoide. Haciendo que u=b, q=qo se tiene: (4) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

En términos de la latitud reducida : Fórmula de Somigliana La fórmula de Somigliana permite calcular el valor de la gravedad normal en la superficie del elipsoide normal, para una latitud reducida : En términos de la latitud reducida : (5) En términos de la latitud geodésica : (6) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

a= gravedad normal en el ecuador b=gravedad normal en el polo Considerando que: a= gravedad normal en el ecuador b=gravedad normal en el polo a = semieje mayor del elipsoide b =semieje menor del elipsoide =latitud reducida  = latitud geodésica La gravedad normal para una latitud dada, es una función de los valores de la gravedad normal en el ecuador, el polo y la geometría del elipsoide de referencia. (7) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teorema de Clairaut Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Forma rigurosa de una aproximación del teorema de Clairaut (8) (9) (10) (11) Forma rigurosa de una aproximación del teorema de Clairaut (12) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teorema de Clairaut Considerando la siguiente expresión: Donde f es el achatamiento geométrico del elipsoide Si se hace  = 90º, r = b,  = b Despejando f y f*: (13) (14) Prof: José Fco Valverde Calderón Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teorema de Clairaut Luego se tiene: Cuya fórmula equivale al teorema de Clairaut en su forma original. (15) El teorema de Clairaut es uno de los teoremas mas notables de la geodesia física: El achatamiento geométrico f, puede calcularse por medio de la determinación de f* y m, las cuales son cantidades netamente dinámicas obtenidas por medio de mediciones gravimétricas, es decir, el achatamiento de la Tierra se puede determinar a partir de mediciones gravimétricas. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Considerando m es igual a: Donde: Teorema de Clairaut Donde f es el achatamiento del elipsoide geométrico y f* es el achatamiento gravimétrico o achatamiento por gravedad. Considerando m es igual a: Donde: 2a = fuerza centrifuga en el Ecuador a = gravedad normal en el Ecuador (16) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Gravedad normal en el ecuador y el polo: Otras expresiones: Potencial normal: (17) Gravedad normal en el ecuador y el polo: (18) (19) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teorema de Clairaut: La razón 2b/a se puede expresar como: (20) La razón 2b/a se puede expresar como: Para mas información, ver de la página 69 a la 81 del libro “Geodesia Física” de Hoffman-Wellenhof y H. Moritz (21) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Gravedad normal a una altura h Se puede calcular la gravedad normal para un punto con latitud , que se encuentra a una altura h de la siguiente manera: Donde o se calcula con base a valores, que varían cada cierto periodo. Se puede calcular la o con base a la formula: (22) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Gravedad normal a una altura h Para el GRS-67, se tiene: Para el GRS-80, se tiene: También es valido para el GRS80: (23) (24) Revisar la formula del GRS80 (25) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Sistema de referencia geodésico GRS80 A través de los años, se han adoptado diferentes sistemas geodésicos, los cuales han sido definidos a partir de los cuatro parámetros que definen el elipsoide normal. El mas actual* es el GRS 80, definido por a, J2, KM y  El coeficiente J2 se llama “factor de forma dinámica” Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Sistema de referencia geodésico WGS84 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014