INSTITUCIÓN EDUCATIVA “MANUEL E INSTITUCIÓN EDUCATIVA “MANUEL E. MENDOZA” El Carmen de Bolívar - Colombia Prof. Lic. JORGE FERRER S. Ferrermiprofe.worpress.com

TRIGONOMETRÍA

ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN

Concepto de ángulo Es la región del plano situada entre dos semirrectas que tienen un origen común. Las dos semirrectas se llaman LADOS y el origen común se llama VERTICE. Un ángulo se genera (origina) por la rotación de uno de sus lados. B O C

B Lado final Vértice A C Lado inicial

Formas de nombrar un ángulo Utilizando tres letras mayúsculas: una en un punto de cada lado y la otra en el vértice Leemos “ ángulo A“ Se escribe < BAC C A B

Escribiendo una letra griega entre los lados β Leemos: ángulo beta Escribimos : < β * Consultar las letras griegas con sus respectivos nombres

Colocando una letra mayúscula en el vértice se escribe : < A ángulo A se lee: “ángulo A” ángulo B ángulo C A A B

Ángulos trigonométricos Ángulos positivos: son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en sentido contrario a la rotación de las manecillas de un reloj. Lado final 45º Lado inicial

Ángulos negativos: son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en el sentido de la rotación de las manecillas de un reloj. Lado inicial - 45º Lado final

Ángulos en Posición Normal Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial con el semieje positivo de las x.

Pueden ser: Ángulos del primer (I) cuadrante Ángulos del segundo (II) cuadrante Ángulos del tercer (III) cuadrante Ángulos del cuarto (IV) cuadrante II I III IV

y II I (x , y) (- , +) (x , y) (+ , +) x III IV (x , y) (- , -) (x , y) (+ , -)

Ángulos del Primer Cuadrante Un ángulo θ es del primer (I) cuadrante si es mayor que 0º y menor que 90º, es decir, 0º < θ < 90º I cuadrante Ej. Θ = 60º 60º

Ángulos del segundo Cuadrante Un ángulo θ es del segundo (II) cuadrante si es mayor que 90º y menor que 180º, es decir, 90º < θ < 180º 130º II cuadrante Ej. Θ = 130º

Ángulos del tercer Cuadrante Un ángulo θ es del tercer (III) cuadrante si es mayor que 180º y menor que 270º, es decir, 180º < θ < 270º III cuadrante Ej. Θ = 240º 240º

Ángulos del cuarto Cuadrante Un ángulo θ es del cuarto (IV) cuadrante si es mayor que 270º y menor que 360º, es decir, 270º < θ < 360º IV cuadrante Ej. Θ = 300º 300º x

Ángulo Giro o Completo Es aquel que se genera cuando el lado inicial hace una rotación de una vuelta o un solo giro. Su valor es de 360º. Θ = 360º Θ x

Ángulos Complementarios Dos ángulos A y B son complementarios, si la suma de ellos es igual a 90º. Es decir, Si A y B son complementarios, A + B = 90º Ej: 30º y 60º ; 20º y 70º

Ángulos Suplementarios Dos ángulos A y B son suplementarios, si la suma de ellos es igual a 180º. Es decir, Si A y B son suplementarios, A + B = 180º Ej: 120º y 60º ; 30º y 150º

Ángulos Coterminales Dos ángulos son coterminales si sus lados iniciales y terminales coinciden respectivamente. 120º y - 240º 100º y 460º

Ángulo Central Es aquel cuyo vértice es el centro de un círculo y los lados cortan a la circunferencia en uno, o, en dos puntos C y x < BAC con arco ByC < BAC con arco BxC A B

SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Sistema Sexagesimal Sistema Cíclico Sistema Centesimal

Es aquel en el que las unidades varían de 60 en 60 unidades. Sistema Sexagesimal Es aquel en el que las unidades varían de 60 en 60 unidades. Unidades : Su unidad principal es el GRADO (º), que se define como la trescientos sesenta ava parte del ángulo giro. 1º = (1/360) del ángulo giro

OBSERVEMOS: 1 vuelta completa Ξ 1 ángulo giro = 360º 1 vuelta completa = 360º 1/2 Vuelta = 180º 1/4 de vuelta = 90º 3/4 de vuelta = 270º 90º 180º 0º 360º 270º

OTRAS UNIDADES El minuto (´) y el segundo (´´) 1º = 60´ 1´ = 60´´ Medida de una Circunferencia = 360º

ACTIVIDADES Expresar en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: 40,28º 5259´´ 325,4´ 356´ 125´´ E. 36° 158´ 305´´

Sistema Cíclico Llamado también Sistema Circular; porque la medida de los ángulos se hace con referencia al círculo. La unidad de medida utilizada en éste sistema es el Radián.

Radián Es la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. Si AB = r, entonces, < O = 1 radián B r r r A

Medida en radianes de una Circunferencia Longitud de la circunferencia mC = -------------------------------------------- radio 2πr mC = ------------ = 2 π r mC = 2 π rad

Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico 360° = 2 π rad Equivale a decir, 180° = π rad

Conversión de unidades

De Grados a Radianes Expresar en radianes un ángulo de 30°. Solución: Formamos una regla de tres simple, así : 180° π rad 30° x

Luego, 1 3 0° ( π rad) 3 π x = ----------------------- = ----- rad 1 8 0° 18 6 π Por lo tanto, 30° = ------- rad. 6

Conclusión: Para expresar de grados a Radianes, multiplicamos la cantidad de grados , por el factor de conversión, π ------- y simplificar, si es posible. 180°

Usemos este factor de conversión 2. Expresar en radianes, un ángulo de 150°. Solución: π 150° = 1 5 0° ------- rad 1 8 0° 15 π 5 π 150° = -------- rad = ------- rad. 18 6

Ahora, vamos a practicar Expresar en radianes los siguientes ángulos 45° 60° 120° 210° 330°

De Radianes a Grados Expresar en grados un ángulo de 5 π 4 Solución: Planteamos una regla de tres, similar a la anterior : 180° π rad x 5 π / 4

Entonces, 5 π 180° -------- 4 X = --------------------------- π Cancelamos los π , y simplificamos a 180° con el 4 , nos queda,

45° 90° 5 π 180° -------- 4 2 1 X = ------------------------ = 45° x 5 = 225° π Por lo tanto, 5 π / 4 rad = 225°.

Conclusión: Para expresar de radianes a grados, multiplicamos la cantidad de radianes, por el factor de conversión, 180° -------- , y simplificar, si es π posible.

Usemos este factor de Conversión 2. Expresar en grados un ángulo de 2 π ------ rad. 3 Solución: 60° 2 π 180° 2 π / 3 rad = --------- ------- = 2x60° =120° 3 π 1

Ahora, vamos a practicar Expresar en grados los siguientes ángulos π /3 rad 4 π / 3 rad 5 π /12 rad 3 π / 2 rad π / 4 rad