Circuitos Acoplados Magnéticamente Unidad IV Circuitos Acoplados Magnéticamente Conferencia 1 C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 1

Objetivos Contenido Definir el concepto de Inductancia Mutua Definir el fenómeno de acoplamiento magnético y su utilidad en los circuitos eléctricos. Utilizar adecuadamente el modelo del transformador ideal y las relaciones de corriente , voltaje y potencia que lo caracterizan Contenido 4.1 Introducción 4.2 Inductancia mutua 4.3 Consideraciones de energía 4.4 El transformador ideal C. R. Lindo Carrión

4.1 Introducción En circuitos eléctricos I se presentó al inductor como un elemento de circuito, y se definió en términos del voltaje entre sus terminales y la tasa de cambio de la corriente que pasa a través de ellas. Hablando estrictamente, esa fue la definición de auto inductancia, pero en lenguaje común se le llamó sólo inductancia. Ahora es preciso considerar la inductancia mutua, una propiedad que esta asociada mutuamente con dos o más bobinas que se encuentran físicamente cercanas entre sí. No existe ningún elemento de circuito llamado inductor mutuo, lo que es más, la inductancia mutua no es una propiedad asociada con un solo par de terminales, sino que se define con respecto a dos pares de terminales. La inductancia mutua es el resultado de la presencia de un flujo magnético común que enlaza a dos bobinas. C. R. Lindo Carrión

El dispositivo físico cuya operación se basa de manera inherente en la inductancia mutua es el transformador. Como indicamos en la sección anterior de sistemas trifásicos, para suministrar potencia de manera eficiente, ésta se transmite a alto voltaje. Las líneas de 500KV son instalaciones típicas de transmisión. Sin embargo, la potencia que se suministra a nuestras casas, por ejemplo es, típicamente 208/120 Vrms. Para bajar de un nivel alto de voltaje a uno bajo se utiliza un transformador. La mayor parte de los radios contienen uno o más transformadores, así como los receptores de televisión, los equipos de alta fidelidad, algunos teléfonos, automóviles y los tranvías eléctricos. Los transformadores continúan siendo un componente eléctrico importante. Además de los sistemas de potencia, donde los transformadores desempeñan un papel importante. Hay otras aplicaciones. C. R. Lindo Carrión

Por ejemplo, los transformadores se usan para eliminar ruido de alta frecuencia en sistemas de control de audio e industriales, y se construyen conectores de pared especiales que reducen el voltaje para recargar baterías de calculadoras y de herramientas de mano. Se definirá primero la inductancia mutua y se estudiarán los métodos por medio de los cuales sus efectos se incluyen en las ecuaciones de circuito. 4.2 Inductancia Mutua Si por una bobina fluye una corriente que varía en el tiempo, se produce un flujo magnético y por ende un voltaje en esta. Si acercamos otra bobina observamos que las líneas de flujo inciden de manera que recíprocamente en esta se induce un voltaje y si existe trayectoria posible, también existirá una corriente. El voltaje que se induce en la segunda bobina es proporcional al cambio de la corriente de la primera bobina. C. R. Lindo Carrión

Las dos bobinas acopladas se muestran en la Figura 1. Si relacionamos el voltaje inducido en la segunda bobina con la corriente circulante de la primera bobina, se establece un coeficiente llamado inductancia mutua Para comenzar nuestra descripción de dos bobinas acopladas, emplearemos la ley de Faraday, que puede establecer como sigue: El voltaje inducido en una bobina es proporcional a la razón con respecto al tiempo del cambio de flujo y el número de vueltas N, en la bobina. Las dos bobinas acopladas se muestran en la Figura 1. C. R. Lindo Carrión

Los componentes de flujo son: L1 Flujo en la bobina 1, que no se une con la bobina 2; este es producido por la corriente en la bobina 1 L2 Flujo en la bobina 2, que no se une con la bobina 1; este es producido por la corriente en la bobina 2 12 Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la bobina 2 21 Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la bobina 1 11=L1+21 Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la bobina 1 22=L2+12 Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la bobina 2 1 Flujo total en la bobina 1 2 Flujo total en la bobina 2 C. R. Lindo Carrión

En forma matemática la ley de Faraday puede escribirse como: A fin de escribir las ecuaciones que describen las bobinas acopladas, definimos los voltajes y corrientes usando la convención de signos pasivos en cada par de terminales. En forma matemática la ley de Faraday puede escribirse como: El flujo 1 será igual a 11, el flujo de la bobina 1 ocasionado por la corriente de la bobina 1, más o menos el flujo en la bobina 1 producido por la corriente de la bobina 2, es decir, Si la corriente de la bobina 2 es tal que los flujos se suman, entonces se usa el signo más; si la corriente de la bobina 2 es tal que los flujos se oponen uno al otro, se usa un signo menos. La ecuación para el voltaje puede escribirse como: C. R. Lindo Carrión

De la física básica se sabe que 11 = N1i1P11 y 12 = N2i2P12 donde las P son constantes (permeancias) que dependen de las trayectorias magnéticas tomadas por los componentes del flujo. La ecuación del voltaje puede escribirse como: La constante N12P11 = L11 (la misma L que usamos antes) se llama ahora la auto inductancia, y la constante N1N2P12 = L12 se llama inductancia mutua. Por tanto Usando el mismo razonamiento anterior podemos escribir: C. R. Lindo Carrión

Si el medio a través del cual pasa el flujo magnético es lineal, entonces P12 = P21. De aquí, L12 = L21 = M. Por conveniencia, definamos L1 = L11 y L2 = L22. Entonces escribimos: Ahora necesitamos examinar los detalles físicos de las bobinas acopladas. En física básica aprendimos la regla de la mano derecha, la cual afirma que si giramos los dedos de nuestra mano derecha alrededor de la bobina en la dirección de la corriente, el flujo producido por la corriente está en la dirección de nuestro pulgar. A fin de indicar la relación física de las bobinas y, por consiguiente, simplificar la convención de signos para los términos mutuos, empleamos lo que comúnmente se llama la convención de punto. C. R. Lindo Carrión

Se colocan puntos al lado de cada bobina de modo que si entran corrientes en ambas terminales con puntos o salen de ambas terminales con puntos, los flujos producidos por esas corrientes se sumarán. Esto puede verse en la Figura 2. Cuando se escriben las ecuaciones para los voltajes terminales, los puntos se usan para definir el signo de los voltajes mutuamente inducidos. Si las corrientes i1(t) e i2(t) están ambas entrando o saliendo de los puntos, el signo del voltaje mutuo inducido M(di2/dt) será el mismo en una ecuación que el del voltaje autoinducido L1(di1/dt). Si una corriente entra a un punto y la otra sale de un punto, los términos del voltaje mutuo inducido y del voltaje autoinducido tendrán signos opuestos. C. R. Lindo Carrión

Ejemplo Determine la expresión de v1(t) y v2(t) para el circuito que se muestra en la Figura 3. Solución: Las ecuaciones del voltaje v1(t) y v2(t) haciendo uso de la convención de punto es: C. R. Lindo Carrión

Ejemplo Determine la expresión de v1(t) y v2(t) para el circuito que se muestra en la Figura 4. Solución: Las ecuaciones del voltaje v1(t) y v2(t) haciendo uso de la convención de punto es: C. R. Lindo Carrión

Suponga que el circuito de la Figura 3 es excitado con una fuente senoidal. Los voltajes serán de la forma V1ejt y V2ejt, y las corrientes serán de la forma I1ejt e I2ejt, donde V1, V2, I1 e I2 son fasores. Sustituyendo esos voltajes y corrientes en las ecuaciones de v1(t) y v2(t), obtenemos: V1 = jL1I1 + jMI2 V2 = jL2I2 + jMI1 El modelo del circuito acoplado en el dominio de la frecuencia es idéntico al del dominio del tiempo, excepto por la manera en que están marcados los elementos y variables. El signo de los términos mutuos se maneja de la misma forma que se hace en el dominio del tiempo. C. R. Lindo Carrión

La ecuación de la LKV para la malla 1 y 2 es: Ejemplo Determine el voltaje de salida Vo el circuito que se muestra en la Figura 5. Solución: La ecuación de la LKV para la malla 1 y 2 es: (2 + j4)I1 – j2I2 = 24|30º -j2I1 + (2 + j6 – j2)I2 = 0 Resolviendo las ecuaciones se obtiene: I2 = 2.68|3.43º A Vo = 2I2 = 5.36|3.43º V C. R. Lindo Carrión

4.3 Análisis de Energía Ahora haremos un análisis de energía en un par de bobinas mutuamente acopladas como la red que se muestra en la Figura 6. Primero colocamos todos los voltajes y corrientes en el circuito igual a cero. Una vez que el circuito esta inactivo, comenzamos haciendo que la corriente i1(t) se incremente de cero a algún valor I1 con las terminales del lado derecho abierto, es decir i2(t) = 0, y por consiguiente la potencia que entra en esas terminales es cero. La potencia instantánea que entra en las terminales del lado izquierdo es: C. R. Lindo Carrión

Sin embargo, durante el intervalo t1 a t2 el voltaje v1(t) es La energía almacenada dentro del circuito acoplado en t1 cuando i1(t) = I1 es entonces: Ahora comenzando en el tiempo t1, dejamos que la corriente i2(t) se incremente de cero a algún valor I2 en el tiempo t2 mientras se mantiene i1(t) constante a I1. La energía entregada a través de las terminales del lado derecho es: Sin embargo, durante el intervalo t1 a t2 el voltaje v1(t) es C. R. Lindo Carrión

Por lo tanto, la energía total almacenada en la red para t > t2 es: Como i1(t) es constante I1, la energía liberada a través de las terminales del lado izquierdo es: Por lo tanto, la energía total almacenada en la red para t > t2 es: Podemos, por supuesto, repetir completo nuestro análisis anterior pero con uno de los puntos en sentido inverso, y en este caso el signo del término de la inductancia mutua sería negativo, produciendo: C. R. Lindo Carrión

Es importante darse cuenta que en nuestra derivación de la ecuación anterior, los valores I1 e I2 podrían haber sido cualesquiera valores en cualquier tiempo; por consiguiente, la energía almacenada en las bobinas acopladas magnéticamente en cualquier instante de tiempo esta dad por la expresión: Las dos bobinas acopladas representan una red pasiva, y, por lo tanto, la energía almacenada dentro de esta red debe ser no negativa para cualesquiera valores de las inductancias y de las corrientes. La ecuación para la energía instantánea almacenada en el circuito magnético puede escribirse como: C. R. Lindo Carrión

Sumando y restando el término: y arreglando la ecuación se obtiene: En esta expresión reconocemos que la energía instantánea almacenada será no negativa si Observe que esta ecuación especifica un límite superior del valor de la inductancia mutua. Definimos el coeficiente de acoplamiento entre las dos bobinas L1 y L2 como: C. R. Lindo Carrión

notamos que el rango de valores de M es: 0  k  1 Este coeficiente es una indicación de qué cantidad de flujo de una bobina está ligado con la otra bobina; es decir, si todo el flujo de una bobina alcanza la otra bobina, entonces tenemos el 100% de acoplamiento y k=1. Para valores grandes de k (es decir, k>0.5), se dice que las bobinas están fuertemente acopladas, y para pequeños valores (es decir, k0.5), se dice que las bobinas están débilmente acopladas. Las ecuaciones anteriores indican que el valor para la inductancia mutua esta limitado al intervalo Y que el límite superior es la media geométrica de las inductancias L1 y L2. C. R. Lindo Carrión

De los datos la inductancia mutua es: Ejemplo El circuito acoplado de la Figura 6 tiene un coeficiente de acoplamiento de 1 (es decir, k=1). Se desea determinar la energía almacenada en la bobinas mutuamente acopladas en el tiempo t=5ms. L1=2.653mH y L2=10.61mH. Solución: De los datos la inductancia mutua es: El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 8. C. R. Lindo Carrión

Las ecuaciones de malla para la red son: (2 + j1)I1 – j2I2 = 24|0º -j2I1 + (4 + j4)I2 = 0 Resolviendo las ecuaciones se obtiene: I1 = 9.41|-11.31º A I2 = 3.33|33.69º A Expresadas estas ecuaciones en el tiempo, son: i1(t) = 9.41cos(377t -11.31º) A i2(t) = 3.33cos(377t +33.69º) A A t=5ms, 377t = 1.885rad ó 108º por consiguiente: i1(5ms) = 9.41cos(108º -11.31º)= -1.1 A i2(5ms) = 3.33cos(108º +33.69º)=-2.61 A C. R. Lindo Carrión

4.4 El transformador ideal Por lo tanto, la energía almacenada por las bobinas acopladas en t=5ms es: 4.4 El transformador ideal Consideremos la situación que se ilustra en la Figura 9, que muestra dos bobinas de alambre embobinado en un solo núcleo magnético cerrado. El núcleo magnético concentra el flujo de manera que todo el flujo una todas las vueltas de ambas bobinas. En el caso ideal también ignoramos la resistencia del alambre. C. R. Lindo Carrión

y, por tanto la razón de v1 a v2 es: Examinemos ahora las ecuaciones de acoplamiento bajo la condición de que el mismo flujo vaya a través de cada devanado y, por tanto y, por tanto la razón de v1 a v2 es: Para desarrollar la relación entre las corrientes i1 e i2 empleamos la Ley de Ampere que se escribe en forma matemática como: C. R. Lindo Carrión

Sin embargo, como v1 = (N1/N2)v2, tenemos donde H es la intensidad del campo magnético y la integral esta sobre la trayectoria cerrada recorrida por el flujo alrededor del núcleo del transformador. Para el material del núcleo ideal μ=, H=0. Por tanto Observe que si dividimos la ecuación anterior entre N1 y la multiplicamos por v1 obtenemos: Sin embargo, como v1 = (N1/N2)v2, tenemos y de aquí la potencia total en el dispositivo es cero, lo que significa que un transformador ideal no tiene pérdidas. C. R. Lindo Carrión

donde ambos voltajes tienen referencia positiva en los puntos y Por tanto, para resumir la convención de punto para un transformador ideal, donde ambos voltajes tienen referencia positiva en los puntos y donde se define que ambas corrientes entran a los puntos. Considere ahora el circuito que se muestra en la Figura 10, donde el símbolo usado para el transformador indica que es un transformador con núcleo de hierro. C. R. Lindo Carrión

y las corrientes fasoriales, están relacionadas por: Debido a la relación entre los puntos, las corrientes y voltajes asignados; los voltajes fasoriales V1 y V2 están relacionados por la expresión y las corrientes fasoriales, están relacionadas por: El signo es inverso al obtenido anteriormente, ya que la dirección de I2 es inversa. Las dos ecuaciones anteriores pueden rescribirse como: También note que: C. R. Lindo Carrión

Si ahora definimos la razón de vuelta como De la Figura notamos que ZL = V2/I2, y, por lo tanto la impedancia de entrada es: Si ahora definimos la razón de vuelta como Entonces las ecuaciones de definición del transformador ideal son: Debe tenerse cuidado al usar estas relaciones, debido a que los signos de los voltajes y las corrientes dependen de las referencias asignadas y de cómo están relacionadas con los puntos. C. R. Lindo Carrión