Operador de Suma La Letra Griega ∑ (sigma) se usa para indicar una suma, de manera qué:

Operador de Suma Algunas de las propiedades más importantes de la operación suma son: Para una constante, c Si i=1,2…n, y a y b son constantes, tenemos: Lo que NO puede hacerse:

Operador de Suma Algunas de las propiedades más importantes de la operación suma son: Una suma interesante, es la llamada media aritmética. La desviación de la media siempre es 0: Demostración:

Operador de Suma Algunas de las propiedades más importantes de la operación suma son: Esto significa qué: Ejemplo: Demuestre con xi=(6,1,-2,0,5) A consecuencia de las propiedades anteriores, tenemos:

Operador de Suma Para dos variables también puede demostrarse qué: Sumas Múltiples:

Espacios Muestrales El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina la población o espacio muestral y cada miembro de este espacio muestral se denomina un punto muestral. Ejemplo: Experimento lanzar dos monedas. El espacio muestral consta de estos cuatro resultados posibles: CC, CS, SC y SS, donde CC significa una cara en el primer lanzamiento y nuevamente una cara en el segundo lanzamiento, CS significa una cara en el primer lanzamiento y un sello en el segundo lanzamiento, y así sucesivamente. Cada uno de los eventos anteriores constituye un punto muestral.

Eventos Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Suponga qué A= (ocurrió una cara y un sello), entonces, de los posibles resultados anteriores, solamente dos pertenecen a A: CS y SC. A constituye un evento. Si B=(ocurrieron dos caras), B también es un evento. Los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno impide la ocurrencia de otro. Si en el ejemplo anterior ocurre CC, la ocurrencia del evento CS al mismo tiempo no es posible. Los eventos son exhaustivos (colectivamente) si todos los resultados posibles de un experimento se agotan. Así, en el ejemplo, los eventos (a) dos caras, (b) dos sellos y (c) un sello y una cara, agotan todos los resultados posibles; por tanto, son eventos exhaustivos (colectivamente).

Probabilidades Sea A un evento en el espacio muestral. Denominamos P(A) como la proporción de veces que el evento A ocurrirá en ensayos repetidos de un experimento. Propiedades de Probabilidad:

Variables Aleatorias, VA Variable Aleatoria (VA): Cuando su valor se encuentra determinado por un experimento estocástico. Pueden ser discretas (si adoptan un número finito de valores) o continuas (si adoptan un número infinito).

Funciones de Densidad de Probabilidad Sea X una VA discreta con valores x1, x2, … xn. Entonces, Es la Función de Densidad de Probabilidad (FDP) de X. Ejemplo: Lanzar dos dados tiene una FDP

FDP para el evento lanzar 2 dados También podemos graficar la PDF

Funciones de Densidad de Probabilidad Sea X una VA continua. Entonces, f(x) es la FDP se X si ocurre: Ejemplo: La siguiente es una FDP continua: Pues cumple con los tres requisitos anteriores (Verificar)

Momentos Una distribución de probabilidad a menudo puede resumirse en términos de algunas de sus características, conocidas como los momentos de la distribución. Dos de los momentos más ampliamente utilizados son la media, o valor esperado y la varianza. Valor Esperado de una VA discreta: Ejemplo: El Valor Esperado E(X) del evento tirar dos dados es

Momentos Valor Esperado de una VA continua: Ejemplo: El Valor Esperado E(X) de la VA Es:

Propiedades de Valor Esperado El valor esperado de una constante es la constante misma Si b es una constante, E(b) = b. Si a y b son constantes, E(aX +b) = aE(X) + b Si X e Y son variables aleatorias independientes, E(XY) = E(X)E(Y) La esperanza del producto XY es el producto de las esperanzas individuales de X y Y. Si X es una variable aleatoria con FDP (x) y si g(X) es cualquier función de X, entonces:

Propiedades de Valor Esperado Entonces, si g(x)=X2, tenemos Ejemplo: La FDP Tiene momentos iguales a:

Varianza Sea X una VA y sea E(X) = μ La distribución o dispersión de los valores de X alrededor del valor esperado puede ser medida por la varianza, la cual se define como: Y se calcula:

Varianza, una fórmula más eficiente Una manera más computacionalmente eficiente de calcular la varianza es: Por ejemplo, la varianza de la FPD: Con Momentos Será simplemente:

Propiedades de la Varianza 1. E(X – μ)2 = E(X2) – μ2 La varianza de una constante es cero. Si a y b son constantes, entonces var (aX + b)= a2var (X) Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces var (X + Y) = var (X) + var (Y) var (X – Y) = var (X) + var (Y) Si X YY son va independientes ya y b son constantes, entonces var (aX + bY) = a2 var (X) + b2 var (Y)

Covarianza Sean X e Y dos VA con medias μx y μy. Entonces, la covarianza entre las dos variables se define como: Si es discreta, se calcula con: Y si es continua, usando:

Propiedades de la Covarianza Si X e Y son independientes, su Covarianza es cero: Para constantes positivas, tenemos:

Coeficiente de Correlación El coeficiente de correlación ρ está definido: Y es una medida de la asociación lineal entre dos variables. Se encuentra entre -1 y 1, donde -1 indica una asociación lineal perfecta negativa, y 1 indica una asociación lineal perfecta positiva. Ejercicio: Demuestre que,

Varianzas de VA correlacionadas Resultados importantes para dos VA correlacionadas: Observe qué: si las VA NO ESTÁN correlacionadas, entonces tanto COV=0 cómo ρ=0, por lo que los resultados anteriores siguen siendo válidos sin el último término.

Para n VA correlacionadas El resultado anterior se puede generalizar:

Para n VA correlacionadas Ejemplo: Para 3 VA correlacionadas La es: Lo que equivale a:

Momentos Superiores Aun cuando la media y la varianza son muy importantes, ocasionalmente requerimos de la información que nos dan los momentos superiores. El tercer y cuarto momento muestral se definen como: Y se usan para medir la asimetría y la curtosis

Asimetría

Kurtosis