APLICACIONES DE LAS FUNCIONES U. D. 12 * 4º ESO E. AC. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Aplicaciones de proporcionalidad inversa U. D. 12.4 * 4º ESO E. AC. Aplicaciones de proporcionalidad inversa @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Mecanografía Un estudio realizado nos indica la relación que hay entre el número de p.p.m. de un alumno al estudiar mecanografía y el número de clases impartidas. La función resultante es: 350·x + 350 f(x) = -----------------, siendo x el número de clases x + 20 a) En primer lugar averigua el número de horas de academia que debes pagar para asegurarte tener 120 ppm; para 240; para 300; y para llegar a las 350. b) Haz ahora una tabla de valores para obtener las ppm en función del número de horas de academia. No te olvides dar a la variable “x” los cuatro valores obtenidos antes. c) Analiza las ppm obtenidas en los mayores valores dados a “x”. Incluso puedes dar algún valor más, ampliar la tabla. ¿Qué pasa con dichos valores ?. d) Construye la Gráfica para visualizar mejor la función. ¿Lo ves?. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases RESOLUCIÓN f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases a) Calculamos el número de horas necesarias: 120 = [350.(x+1)] / (x+20)  120.(x+20) = 350.x+350 120.x+2400 = 350.x+350  2050 = 230.x  x = 9 horas. 240 = [350.(x+1)] / (x+20)  240.(x+20) = 350.x+350 240.x+4800 = 350.x+350  4450 = 110.x  x = 40 horas. 300 = [350.(x+1)] / (x+20)  300.(x+20) = 350.x+350 300.x+6000 = 350.x+350  5650 = 50.x  x = 130 horas. 350 = [350.(x+1)] / (x+20)  350.(x+20) = 350.x+350 350.x+7000 = 350.x+350  6650 = 0.x  x = Error (oo horas). b) Tabla de valores: Horas – 20 9 24 40 130 oo – 153 Ppm 17´5 120 200 240 300 350 400 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Vemos que para obtener 350 ppm necesitaríamos infinitas horas. RESOLUCIÓN c) Análisis: Vemos que para obtener 350 ppm necesitaríamos infinitas horas. Y además, lo que es absurdo, al pretender pasar de 350 ppm el número de horas es negativo. d) ¿Significa que nunca podemos llegar a las 350 ppm?. Veamos que no, pues hay una asíntota horizontal que nos lo impide. Dividimos numerador y denominador y queda: 6.650 k y = 350 – ---------  Que es la forma y = b + -------- x + 20 x – a b = 350  y = 350 es la asíntota horizontal existente. Horas – 20 9 24 40 130 oo – 153 Ppm 17´5 120 200 240 300 350 400 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Nº de pulsaciones por minuto Parte de la gráfica que justifica un número de horas negativo al pretender pasar las 350 ppm. Nº de pulsaciones por minuto 350 35 -10 0 10 20 30 40 Tiempo en horas de clase @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Medicamento En un laboratorio se ha obtenido la siguiente fórmula de un compuesto 75·x y = -------- x + 1 Siendo y el porcentaje de curaciones y x la cantidad en mgr de un determinado componente. a) Averigua la cantidad necesaria del componente para obtener el 25%, el 50%, el 75% y el 100% de curaciones. b) Representa gráficamente dicha función para poder visualizar el proceso y comprender algunas “rarezas” que te han debido salir en los anteriores cálculos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

f(x) = 75.x / (x+1), siendo x la cantidad del componente en mg RESOLUCIÓN f(x) = 75.x / (x+1), siendo x la cantidad del componente en mg a) Calculamos las cantidades necesarias: 25 = 75.x / (x+1)  25.(x+1) = 75.x 25.x+25 = 75.x  25 = 50.x  x = 0,50 mg 50 = 75.x / (x+1)  50.(x+1) = 75.x 50.x+50 = 75.x  50 = 25.x  x = 2 mg 75 = 75.x / (x+1)  75.(x+1) = 75.x 75.x+75 = 75.x  75 = 0.x  x = Error (oo mg) 100 = 75.x / (x+1)  100.(x+1) = 75.x 100.x+100 = 75.x  25.x = – 100  x = – 4 mg b) Tabla de valores: Cantidad mg. – 1 0,50 2 oo – 4 % Curaciones 25 50 75 100 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Porcentaje de curaciones (%) Parte de la gráfica que justifica un número de mg negativo al pretender pasar del 75% Porcentaje de curaciones (%) 75 50 25 Al dividir numerador y denominador: 75 y = 75 – ------- x + 1 a = – 1 b = 75 k = – 75 y = 75 es la asíntota horizontal. -1 0 1 2 3 4 Cantidad en mg @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Velocidad uniforme Un coche lleva un movimiento uniforme con velocidad de 100 km/h. Haz una tabla en la que se refleje el espacio recorrido, hora a hora, desde las 6 a las 14 horas. Haz el gráfico correspondiente. Otro coche parte del mismo sitio y hora a una velocidad uniforme de 120 km/h; a las 11 para una hora para desayunar; y reanuda la marcha con velocidad uniforme de 90 km/h hasta llegar al mismo sitio que el primer coche. ¿A qué hora llegó el segundo coche a su destino?. Expresa el espacio recorrido por ambos coches de forma algebraica. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución E=v.t E1 = 100.t E E1 = 100.8 = 800 km E2 = 120.t1+90.t2 t2 = 200 / 90 = 2,22 h 12 + 2,22 = 14,22 h llegó el segundo coche, 13 minutos después que el primero. E 800 600 400 200 6 8 10 12 14 h @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Movimiento acelerado Un vehículo lleva un movimiento uniformemente acelerado, con velocidad inicial de 30 m/s y aceleración de 6 m/s2 Expresa el espacio recorrido en función del tiempo transcurrido. Haz una gráfica. A los 20 segundos parte un segundo vehículo al encuentro del primero con una aceleración de 8 m/s2 Haz una gráfica en el mismo sistema cartesiano que la anterior. ¿Cuándo alcanza el segundo vehículo al primero?. Resuélvelo gráfica y analíticamente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución E1 = vo.t + ½ a. t2 E(m) E1 = 30.t + ½ 6. t2 E2 = ½ a. t2 E2 = ½ .8. t2 E2= 1800 + E1 4. t2 = 1800 + 30.t + 3.t2 t2 – 30.t – 1800 = 0 Resolviendo: t = 60 s E2= ½ .8.602 = 14400 m E(m) 15000 12000 9000 6000 3000 14400 1800 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t(s) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.