Mª Stefani López Leticia Silva Jimena Sosa 2º C POLIEDROS REGULARES Mª Stefani López Leticia Silva Jimena Sosa 2º C

POLIEDRO Un poliedro (superficie poliédrica) es la parte del espacio limitada por un conjunto finito de polígonos (regulares o no) que reciben el nombre de caras. Cada lado de una de estas caras pertenece también a otra y solo a otra. Ambas caras se llaman contiguas. Dos caras contiguas están en planos diferentes.

POLIEDRO CONVEXO La superficie poliédrica se llama convexa si además se cumple que el plano que contiene a cada cara deja en un mismo semiespacio a las demás caras. Llamaremos poliedro convexo al conjunto de los puntos comunes a estos semiespacios.

POLIEDRO REGULAR Un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos regulares congruentes , en cada vértice concurren el mismo número de caras y de aristas, todas las aristas tienen la misma longitud y todos los ángulos diedros que forman las caras del poliedro entre sí son iguales.

Solo existen cinco poliedros regulares Con caras triangulares Tetraedro regular Octaedro regular Icosaedro regular Con caras cuadradas Hexaedro o cubo Con caras pentagonales Dodecaedro regular

¿Por qué son solamente cinco? Para mostrar por qué son cinco deberíamos decir que: Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos, las caras estarían pegadas y no tendríamos un sólido.) La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.

Triángulos equiláteros Podemos formar ángulo poliedro con: 3 caras se origina el 4 caras se origina el 5 caras se origina el

Pero si queremos hacer un vértice con seis triángulos no podemos porque se completa todo el plano no quedando hueco para unir. Por lo tanto en un vértice sólo pueden confluir tres, cuatro o cinco triángulos equiláteros.

Cuadrados Podemos formar ángulo poliedro con: 3 caras se origina el En un vértice sólo pueden confluir tres, porque si tomamos cuatro se completa el plano y no queda hueco para unir y que se levante el vértice.

Pentágonos regulares Podemos formar ángulos poliedros con: 3 caras se origina el Con pentágonos, podemos hacer confluir tres (queda un pequeño hueco) pero evidentemente nunca cuatro porque se montaría encima del primero.

Pero si lo que usamos son hexágonos, tres de ellos ya completan el plano y no dejan hueco para juntar y levantar el vértice. Obviamente tampoco se pueden hacer vértices con polígonos de más lados porque ya se montan unos encima de otros.

EN CONCLUSIÓN SOLO EXISTEN CINCO POLIEDROS REGULARES

Tetraedro regular Es un poliedro regular cuyas caras son 4 triángulos equiláteros iguales. Es una pirámide triangular regular. Características: Número de caras: 4. Número de vértices: 4. Número de aristas: 6. Nº de aristas concurrentes en un vértice: 3.

Hexaedro regular o cubo Es un poliedro regular cuyas caras son 6 cuadrados iguales. Características del cubo Número de caras: 6. Número de vértices: 8. Número de aristas: 12. Nº de aristas concurrentes en un vértice: 3.

Octaedro regular Es un poliedro regular cuyas caras son 8 triángulos equiláteros iguales. Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales. Características del octaedro Número de caras: 8. Número de vértices: 6. Número de aristas: 12. Nº de aristas concurrentes en un vértice: 4.

Dodecaedro regular Es un poliedro regular cuyas caras son 12 pentágonos regulares iguales. Características del dodecaedro Número de caras: 12. Número de vértices: 20. Número de aristas: 30. Nº de aristas concurrentes en un vértice: 3.

Icosaedro regular Es un poliedro regular cuyas caras son 20 triángulos equiláteros iguales. Características del icosaedro Número de caras: 20. Número de vértices: 12. Número de aristas: 30. Nº de aristas concurrentes en un vértice: 5.

Bibliografía Copetti, Mario. “Geometría”. Ochoviet, Cristina; Olave, Mónica. “Matemática 4”