PROBABILIDAD Y ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS UNIDAD III PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Introducción a la probabilidad La probabilidad se emplea como una herramienta; ya que permite evaluar la confiabilidad de las conclusiones respecto a la población cuando solo se tiene información muestral. Experimento: cualquier proceso que permite obtener una observación o medición

Tipos de experimentos Experimento determinista: es aquel en el que los resultados están totalmente determinados, una vez que se fijan las condiciones en las que se realiza el experimento. Experimento aleatorio: está caracterizado por las tres propiedades siguientes Todos sus posibles resultados son conocidos con anterioridad. No se puede predecir el resultado del experimento. El experimento puede repetirse en condiciones idénticas

Ejercicios

Conceptos relacionados con la probabilidad Ensayo o prueba: es la realización concreta de un experimento aleatorio. Dato, observación o resultado: es el símbolo que se ha obtenido en un ensayo de un experimento aleatorio. Espacio muestral (E): conjunto de todos los sucesos elementales. Suceso elemental: cada resultado de un experimento aleatorio.

Ejemplo

Suceso (A, B, : : :): conjunto de sucesos elementales. Suceso seguro: es el espacio muestral. Suceso imposible (φ): no consta de ningún suceso elemental.

Leyes de probabilidad Para el caso de la probabilidad existen axiomas y teoremas que veremos a continuación, para esto es necesario explicar ¿Qué es un axioma y teorema? Axioma: es una verdad evidente que no requiere demostración. Teorema: Es una verdad que requiere ser demostrada

Axioma 1  

Axioma 2 La probabilidad de que el espacio muestral sea un evento seguro, es uno P(A) = 1 Teorema 1  

Axioma 3   Axioma 4  

Teorema 2 ley aditiva de la probabilidad Sean A y B dos eventos no excluyentes, entonces: 𝑃 𝐴 ó 𝐵 =𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴∩𝑦𝐵)

Ejercicio 1 Dada la siguiente tabla (ocupación versus ingresos familiares) Se elige una persona de forma aleatoria. Calcular la probabilidad de: Ama de casa b) Obrero c) Ejecutivo d) Profesional e) Ingreso bajo f) Ingreso medio g) Ingreso alto h) Ejecutivo con ingreso alto i) Ama de casa con ingreso bajo

Probabilidad condicionada En muchas ocasiones, la verificación o no de un suceso se estudia en función de otro suceso de cuya verificación depende o del cual está condicionado. Se dice probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A es:

Propiedad de la multiplicacion Independencia La definición formal de independencia es que A y B son independientes si: Esto equivale de decir que P(A|B) = P(A) y significa que el hecho de que B ocurre no cambia el incertidumbre sobre A. Igualmente, tenemos P(B|A) = P(B) y observar A no influye en la probabilidad de B.

Distribuciones de probabilidad Unidad 3 Distribuciones de probabilidad

Variables aleatorias Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades o una serie interminable con tantos elementos como números enteros, se llama espacio muestral discreto Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades igual al número de puntos en un segmento de recta, se llama espacio muestral continuo

Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles. Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua, se le denomina variable aleatoria continua En la mayor parte de los problemas prácticos, las variables aleatorias continuas representan datos medidos, como son los posibles pesos, alturas, temperaturas o períodos de vida, mientras que las variables aleatorias discretas representan datos contados

Distribuciones de probabilidad Una distribución o densidad de probabilidad de una variable aleatoria x es la función de distribución de la probabilidad de dicha variable Área de curva entre 2 puntos representa la probabilidad de que ocurra un suceso entre esos dos puntos. Las distribuciones probabilidad pueden ser discretas o continuas

Distribuciones discretas más importantes Uniforme discreta Bernoulli Binomial, Binomial Negativa Poisson Geométrica Hipergeométrica Triangular,

Distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) es una función de probabilidad, función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad, si para cada resultado posible x es:

Distribución binomial La distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo: Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos sólo la posibilidad de éxito o fracaso. La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones. La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión

Fórmula n es el número de pruebas. k es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de fracaso q = 1 - p. El número combinatorio es:

Ejemplo 1 La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura ¿Cuál es la probabilidad de que 2 personas hayan leído la novela? n = 4 p = 0.8 q = 0.2 k = 2

Ejemplo 2 Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos n=6 p=0.5 q=0.5 k=2

Ejemplo 3 La probabilidad de que un alumno de 2º de Bachillerato apruebe las Matemáticas es de 0.7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemáticas? n=8 p=0.7 q=1-0.7=0.3 k=5

Distribución Hipergeométrica N – T T n – X X P(X|N,T;n)= N n X= Éxitos de la muestra T= Éxitos de la población N= tamaño de la población n= tamaño de la muestra

Ejercicio 1 De 6 empleados 3 han estado en la compañía durante 5 años o mas, si se eligen 4 empleados al azar de ese grupo ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan una antigüedad de 5 años o mas? X= 2 n=4 T=3 N=6

Ejercicio 2 Un cargamento de 20 grabadoras contiene 5 defectuosas, si diez de ellas son aleatoriamente elegidas, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 estén defectuosas? X=2 n=10 T=5 N=20

Ejercicio 3 En una fabrica se hicieron 10 puertas, 4 de estas son defectuosas, si escogemos 5 al azar ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de estas estén defectuosas? X=2 n=5 T=4 N=10

Distribuciones continuas más importantes Normal o Gauss Weibull Lognormal Rayleigh Chi2 de Pearson Gumbel t-Student Logística F-Snedecor Pareto Exponencial Laplace Gamma Cauchy Beta

Distribución de probabilidad de variable aleatoria continúa La función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de números reales, si:

Distribución normal estándar Es la distribución de probabilidad continua más importante. Multitud de variables aleatorias continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal. Una de sus características más importantes es que cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones

Características La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.

La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media. La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones

Diagrama de la distribución normal

Fórmula 𝑍= 𝑋 − 𝜇 𝜎 Z: Valor a obtener para identificar en tabla de distribución normal X: variable aleatoria 𝜇: media muestral 𝜎: desviación muestral

Como usar la tabla de distribución normal ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03? ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -2.03 y +2.03? Hallar P( z >1.25 ) Hallar P ( -0.34 < z <∞ ) Hallar P ( 0.34 < z < 2.30 )

Manejo de tabla La tabla consta de:

Para los ejemplos anteriores: ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03? Como la curva es simétrica: P(-2.03<Z<0)=P(0<Z<2.03) Buscamos en la tabla el valor de Z=2.03 por lo tanto P=0.0212 pero como esta dentro del intervalo de (0,2.3), por lo tanto P=0.5 – 0.0212= 0.4788

2. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -2.03 y +2.03? Como ya sabemos que la P(-2.3<Z<0)=.4788, por lo que P(0<Z<2.3)=.4788 ya que son simétricas, por lo que la probabilidad de P(-2.3<Z<2.3)=.4788+.4788= 0.9576 3. Hallar P( z >1.25 ) Solo por tabla es P=0.1056

4. Hallar P ( -0. 34 < z <∞ ) P(0<Z<0. 34)= 0. 5-0. 3669= 4. Hallar P ( -0.34 < z <∞ ) P(0<Z<0.34)= 0.5-0.3669=.1331 P(0<Z<∞)=0.5 Por lo tanto P=0.1331+0.5=0.6331 5. Hallar P ( 0.34 < z < 2.30 ) P(0<Z<0.34)=.1331 P(0<Z<2.30)=0.5-0.0107=0.4893 Por lo tanto P=0.4893-0.1331=0.3562

Ejercicios Haciendo uso de la tabla Z calcular las probabilidades (áreas) siguientes: P(z<1.35) P(z<-0.33) P(z>2.1) P(z>-1) P(-1.39<z≤-0.44) P(-1.52≤z≤0.897)

Ejemplo 1 uso de formula con tablas Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?

Solucion 𝜇=80 𝜎=10 X > 100 P(X>100)=Z> 100 − 80 10 =Z>2 Buscamos en la tabla Z=2 P(Z>2)=0.0228

Con los datos anteriores con 𝜇=80 y 𝜎=10 ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 60 y 100 Kg? Solución: P(60≤𝑋≤100)=P( 60−80 10 ≤𝑍 ≤ 100−80 10 )= P(-2 ≤𝑍≤ 2)=

P(-2≤Z≤0) = P(0≤z≤2) Buscamos en la tabla Z=2 tenemos que p=0.0228, pero como lo que buscamos esta dentro de la distribución entonces P=0.5-0.0228= 0.4772 Como son simétricas entonces P(-2 ≤𝑍≤ 2)=0.4772+0.4772=0.9544

Tarea Haciendo uso de la tabla calcular las probabilidades de: P(z≤0.22) P(z<-1.8) P(z>1.01) P(z>-1.61) P(-2.06<z<-0.24) P(-0.02≤z≤1.7)

Tarea Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4. a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) ¿ Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5 puntos ?.