PROBABILIDAD Y ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS UNIDAD II ANALISIS DE DATOS: MEDIDAS DE POSICION Y DE VARIABILIDAD

ANÁLISIS DE DATOS MEDIDAS DE POSICION O DE TENDENCIA CENTRAL: La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución. Media Mediana Moda MEDIDAS DE DISPERSION Y VARIABILIDAD: se refieren a la separación de los datos en una distribución Rango Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación Sesgo Curtosis

MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA MEDIANA MODA

MEDIA Es el promedio de los datos DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS POBLACIÓN MUESTRA fi fi

Ejemplo 1 La Davis furniture Company tiene un acuerdo de crédito revolvente con el first national bank. El préstamo mostró los siguientes saldos de fin de mes durante el año pasado La compañía puede obtener una tasa de interés menor si su saldo mensual promedio es mayor que $ 65000. ¿Califica para esa tasa de interés menor? Enero $121300 Mayo $ 72800 Septiembre $ 50400 Febrero $112300 Junio $ 57300 Octubre $ 52800 Marzo Julio $ 58700 Noviembre $ 49200 Abril Agosto $ 61100 Diciembre $ 46100

Solución   65000 la compañía puede acceder a un interés menor

Ejemplo 2 La siguiente distribución de frecuencias representa el tiempo en segundos que los cajeros de un banco necesitaron para servir a una muestra de clientes en un mes. TIEMPO (SEG) FRECUENCIA (fi) 20-29 6 30-39 16 40-49 21 50-59 29 60-69 25 70-79 22 80-89 11 90-99 7 100-109 4 110-119 120-129 2 Calcular el tiempo promedio de los cajeros que tardan en servir a un cliente

Solución   fi Realizar la tabla para calcular las marcas de clase y posterior multiplicar con la frecuencias absolutas.

TIEMPO (SEG) FRECUENCIA (fi) MARCA CLASE (mi) mifi 20-29 6 24.5 147 30-39 16 34.5 552 40-49 21 44.5 934.5 50-59 29 54.5 1581 60-69 25 64.5 1613 70-79 22 74.5 1639 80-89 11 84.5 929.5 90-99 7 94.5 661.5 100-109 4 104.5 418 110-119 114.5 120-129 2 124.5 249 sumas 143 8724 𝑥 = 8724 143 =61.00 5. 61 segundos es el tiempo promedio que tarda un cajero en atender a un cliente

MODA Es el valor que mas se repite en los datos DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS POBLACIÓN Y MUESTRA 𝑥: Dato que repite varias veces. Si hay mas datos cuyas frecuencias son iguales entonces se indica que la moda es polimodal, y el valor de moda es el valor de los datos cuyas frecuencias son iguales. Se selecciona el intervalo de clase que tiene mayor frecuencia llamado clase modal 𝑥 : 𝑙 𝑥 0 + 𝑑 1 𝑑 1 + 𝑑 2 h 𝑥 : moda 𝑙 𝑥 0 : limite inferior de la clase modal. 𝑑 1 : frecuencia de la clase modal menos la frecuencia anterior 𝑑 2 : fecuencia de la clase modal menos frecuencia posterior h: amplitud del intervalo

Ejemplo 3 Encuentra la moda del ejemplo 1 de la media. Solución: Verifica que tipos de datos son: no agrupados Usar los datos De acuerdo a la tabla la cantidad de $ 72800 es la cantidad que se repite en tres meses por lo que de acuerdo a la moda también la compañía esta sujeta a un interés menor Enero $121300 Mayo $ 72800 Septiembre $ 50400 Febrero $112300 Junio $ 57300 Octubre $ 52800 Marzo Julio $ 58700 Noviembre $ 49200 Abril Agosto $ 61100 Diciembre $ 46100

Ejemplo 4 Encuentra la moda del ejemplo 2 de la media Solución: Verifica que tipos de datos son: agrupados Usar los datos Encontrar la clase modal: La clase modal esta en el intervalo de clase 50-59 con fi=29 Limite inferior de la clase modal: 𝑙 𝑥 0 =50 𝑑 1 : frecuencia de la clase modal menos la frecuencia anterior 𝑑 1 = 29-21=8 𝑑 2 : frecuencia de la clase modal menos frecuencia posterior 𝑑 2 = 29-25=4 Calcula valor de h: h=10 Uso de la formula: 𝑥 : 𝑙 𝑥 0 + 𝑑 1 𝑑 1 + 𝑑 2 h 𝑥 =50+ 8 8+4 (9) = 56 56 segundos es lo que tarda un banquero en atender a un cliente de acuerdo a la moda TIEMPO (SEG) FRECUENCIA (fi) 20-29 6 30-39 16 40-49 21 50-59 29 60-69 25 70-79 22 80-89 11 90-99 7 100-109 4 110-119 120-129 2

MEDIANA Es el valor que divide al conjunto ordenado de datos, en dos subconjuntos con la misma cantidad de elementos. La mitad de los datos son menores que la mediana y la otra mitad son mayores DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS POBLACIÓN Y MUESTRA Se presentan dos situaciones: Número impar de datos: Ordenar los datos de menor a mayor La mediana es el dato que esta en la posición 𝑛+1 2 𝑥 = 𝑥 𝑛+1 2 Número par de datos: La mediana es el promedio entre los dos datos centrales 𝑥 = 𝑥 𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2 +1 2 Se selecciona el intervalo de clase de la frecuencia acumulada absoluta que contenga al elemento: 𝑛+1 2 al cual llamaremos clase mediana Calcular la mediana 𝑥 = 𝑙 𝑥 0 + 𝑛+1 2 − 𝐹 𝑖−1 𝑓 𝑖 h 𝑥 : mediana 𝑙 𝑥 0 : limite inferior de la clase mediana n: cantidad de datos 𝐹 𝑖−1 : frecuencia acumulada absoluta anterior 𝑓 𝑖 : frecuencia absoluta de la clase mediana h: amplitud del intervalo

Ejemplo 5 Calcular la mediana del ejemplo 1. Solución: Verifica que tipos de datos son: no agrupados Usar los datos Ordenar los datos de menor a mayor Identificar si el número de datos es par o impar Par Como es par necesitamos buscar la posición de mis dos valores de los datos para poder generar el promedio: 𝑥 𝑛 2 = 𝑥 12 2 = 𝑥 6 , buscar el valor de la posición 6, 𝑥 6 = 58700 𝑥 𝑛 2 +1 = 𝑥 12 2 +1 = 𝑥 7 , buscar el valor de la posición 7, 𝑥 7 = 61100 Sacar promedio de los valores 𝑥 = 58700+61100 2 = $ 59900 De acuerdo a la mediana y su valor menor a los 65000, no es apto reducir el interes. numero mes costo 1 Diciembre $ 46,100.00 2 Noviembre $ 49,200.00 3 Septiembre $ 50,400.00 4 Octubre $ 52,800.00 5 Junio $ 57,300.00 6 Julio $ 58,700.00 7 Agosto $ 61,100.00 8 Marzo $ 72,800.00 9 Abril 10 Mayo 11 Febrero $ 112,300.00 12 Enero $ 121,300.00

Ejemplo 6 Calcular la mediana del ejemplo 2. Solución: Verifica que tipos de datos son: agrupados Usar los datos Encontrar la clase mediana 𝑛+1 2 = 143+1 2 = 72 El intervalo es 50-59 𝑙 𝑥 0 : limite inferior de la clase mediana 𝑙 𝑥 0 =50 n: cantidad de datos n: 143 𝐹 𝑖−1 : frecuencia acumulada absoluta anterior 𝐹 𝑖−1 =43 𝑓 𝑖 : frecuencia absoluta de la clase mediana 𝑓 𝑖 = 29 h: amplitud del intervalo h= 10 Mediana: 𝑥 = 𝑙 𝑥 0 + 𝑛+1 2 − 𝐹 𝑖−1 𝑓 𝑖 h 𝑥 = 50 + 72−43 29 (9)=59 s 59 segundos es lo que tarda un banquero en atender aun cliente TIEMPO (SEG) FRECUENCIA (fi) ACUMULADA (Fi) 20-29 6 30-39 16 22 40-49 21 43 50-59 29 72 60-69 25 97 70-79 119 80-89 11 130 90-99 7 137 100-109 4 141 110-119 120-129 2 143

MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN VARIANZA DESVIACIÓN ESTÁNDAR COEFICIENTE DE VARIACIÓN RANGO SESGO

VARIANZA Y DESVIACION ESTÁNDAR DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTANDAR DE LA MUESTRA 2 2

COEFICIENTE DE VARIACION DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS POBLACION MUESTRA

EJEMPLO 7 Los siguientes datos representan una muestra de la cantidad de pedidos diarios entregados : 17 25 28 27 16 21 20 22 18 23 a) Hallar la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación e interpretar.

SOLUCIÓN Para encontrar el rango primero debemos ordenar los datos. VARIANZA: posición datos fi datos - (datos - )2 1 16 21.7 -5.7 32.49 2 17 -4.7 22.09 3 18 -3.7 13.69 4 20 -1.7 2.89 5 21 -0.7 0.49 6 22 0.3 0.09 7 23 1.3 1.69 8 25 3.3 10.89 9 27 5.3 28.09 10 28 6.3 39.69 suma 217 152.1 𝑥 𝑥 𝑥 𝑠 2 = 152.1 10−1 = 152.1 9 =16.9 DESVIACIÓN ESTÁNDAR: 𝑆 = 16.9 =4.11 En promedio, la cantidad de pedidos se separa de la media, en 4,11 (pedidos).

EJEMPLO 8 La edad de los residentes de twin lakes tiene la siguiente distribución de frecuencias Calcula la varianza y la desviación estándar Calcula el coeficiente de variación clase frecuencia 47 - 51.9 4 52 - 56.9 9 57 - 61.9 13 62 - 66.9 42 67 - 71.9 39 72 - 76.9 20 77 -81.9

RANGO Es la diferencia que existe del dato mayor y menor de los valores de los datos o intervalos de clases R = DM - Dm

Asimetría Estas medidas nos indican no sólo el grado de asimetría de la curva sino también la dirección de la misma. Si su valor es negativo, la asimetría es hacia la izquierda y si es positiva la asimetría será hacia la derecha. Se calcula mediante: Ak = 3( 𝑥 − 𝑥 ) 𝑠

Referencias bibliográficas Spiegel, M. R., Schiller, J. J. & Srinivasan, R. Probabilidad y estadística. Edit. McGraw-Hill Bogotá. 2010 Triola, M. F. Estadística. Edit. Pearson Educación. México. 2009 Case, K. E. & Fair, R. C. Probabilidad y estadística. Edit. Pearson Educación. México. 2008