PROBABILIDAD Y ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS UNIDAD VI PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Prueba de hipótesis para la media y diferencia de medias La prueba de hipótesis comienza con una suposición, denominada hipótesis, que hacemos entorno a un parámetro de la población. Reunimos datos muéstrales, producimos datos estadísticos de la muestra y con esta información decidimos la probabilidad de que el parámetro supuesto de la población sea correcto.

No podemos aceptar ni rechazar una hipótesis referente a un parámetro de la población por mera intuición. Por el contrario, necesitamos aprender a decidir con objetividad, basándonos en la información de la muestra, si aceptamos o rechazamos un presentimiento

Hipótesis En estadística, una hipótesis es una aseveración o afirmación acerca de una propiedad de una población. La hipótesis nula es aquella por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro, que se va a constatar con el resultado muestral. La hipótesis alternativa, es toda aquella hipótesis que difiere de la hipótesis nula, es decir, ofrece una alternativa, afirmando que la hipótesis nula es falsa

Tipos de errores Supongamos que un directivo de la universidad desea contratar los servicios del profesor Pérez, para ello es sometido a una entrevista, bajo las siguientes hipótesis: a) El profesor Pérez es competente para desarrollar la labor b) El profesor Pérez no es competente para esa labor.

Error tipo I: Rechazar la hipótesis cuando se debió aceptar Error tipo II: Aceptar la hipótesis cuando se debió rechazar ¿En que condiciones el directivo cometerá errores de tipo I y de tipo II, en cada caso? a) El profesor Pérez es competente para desarrollar la labor. Error tipo I: decidir que el profesor Pérez no es competente si realmente lo es Error tipo II: decidir que el profesor Pérez es competente si realmente no lo es.

b) El profesor Pérez no es competente para esa labor. Error tipo I: decidir que el profesor Pérez es competente cuando realmente no lo es Error tipo II: decidir que el profesor Pérez no es competente si realmente lo es.

Prueba de una y dos colas (lateral y bilateral) Se dice que la prueba es unilateral a la derecha de la curva cuando la hipótesis alternativa de lo que se quiere probar utiliza palabras como: superior, mejor, mayor, entre otras. La prueba unilateral a la izquierda de la curva es cuando la hipótesis alternativa de lo que se quiere probar utiliza palabras como: inferior, menor, bajo, exagera la duración, entre otras. Finalmente se dice que es una prueba bilateral cuando comprende ambas lados de la curva, es decir, que la hipótesis alternativa es diferente y por tanto se omiten los términos anteriores: superior, mayor, mejor, inferior, bajo, menor, entre otras.

Nivel de significancia El nivel de significancia (parámetro de decisión) se refiere a la máxima probabilidad de que se especifique con el fin de hacer mínimo el primer tipo de error, además se fija antes de escoger la muestra. El nivel de significancia se denota con alfa (α) siendo generalmente de 1% (altamente significativo), 5% (significativo) y 10% poco significativo; y se ubica en la zona de rechazo (zona sombreada). La zona de aceptación o de no rechazo es complementaria a la de rechazo.

El valor del nivel de significancia a una área bajo la curva de probabilidad o normal, su localización depende del tipo de prueba (unilateral y bilateral). En las pruebas unilaterales se tomará el valor total de alfa y para la prueba bilateral se divide entre dos y localiza en ambos lados

Procedimiento a seguir para probar hipótesis Establecer o formular la hipótesis nula Elegir el nivel de significancia Establecer o aceptar ciertos supuestos Se formula la respectiva variante estadistica

Prueba de hipótesis de la media con desviación conocida Cola inferior o lateral inferior Cola superior o lateral superior Dos colas o bilateral Hipótesis 𝐻 𝑜 :𝜇≥ 𝜇 𝑜 𝐻 𝑎 :𝜇< 𝜇 𝑜 𝐻 𝑜 :𝜇≤ 𝜇 𝑜 𝐻 𝑎 :𝜇> 𝜇 𝑜 𝐻 𝑜 :𝜇= 𝜇 𝑜 𝐻 𝑎 :𝜇≠ 𝜇 𝑜 Estadístico de prueba 𝑧= 𝑥− 𝜇 𝑜 𝜎/ 𝑛 Regla de rechazo Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≤ 𝑧 ∝ Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≥ 𝑧 ∝ Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≤ 𝑧 ∝/2 o si z ≥ 𝑧 ∝/2 𝐻 𝑜 : hipótesis nula 𝐻 𝑎 : hipótesis alternativa 𝜇 𝑜 : media de la población 𝑥: media aleatoria 𝑛: muestra 𝑧: valor encontrado de tabla normal 𝑧 ∝ : valor de tabla normal de acuerdo a nivel de significancia

Ejemplo 1 Un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una embotelladora por su deficiente llenado que debe ser en promedio de 32.5 onzas. Para ello se toma una muestra de 60 botellas, encontrando que el contenido medio es de 31.9 onzas. Se sabe que la máquina embotelladora debe producir un llenado con una desviación típica de 3.6 onzas. ¿Puede el inspector llegar a la conclusión, a un nivel de significancia del 5%, que se están llenando las botellas por debajo de su especificación de contenido?

Solución 𝜇=32.5 Por lo que la hipótesis es unilateral 𝑛=60 𝑧 𝛼 =−1.64 𝑥 = 31.9 𝑧= 31.9−32.5 3.6/ 60 =−1.29 𝜎=3.6 𝛼=0.05 Como -1.29>-1.64 la embotelladora se encuentra en la zona de aceptación por lo tanto la hipótesis nula es válida. 𝑧= 𝑥− 𝜇 𝑜 𝜎/ 𝑛 Planteamos hipótesis 𝐻 𝑜 : 𝜇=32.5 𝐻 𝑎 : 𝜇<32.5

Ejemplo 2 Un proceso está programado para empacar la cantidad media de una libra (16 onzas) de café. Tomando una muestra aleatoria de 36 paquetes; resulta una media de 14.2 onzas y una desviación estándar de 5.3 onzas. Al nivel del 5% ¿se podrá afirmar que no se está cumpliendo con lo indicado en el empaque?

Solución 𝜇=16 Por lo que la hipótesis es bilateral 𝑛=36 𝑧 𝛼 =±1.96 𝑥 = 14.2 𝑧= 14.2−16 5.3/ 36 =−2.04 𝜎=5.3 𝛼=0.05 Como -2.04 queda fuera de los limites se recha la hipótesis nula y se acepta la alternativa. 𝑧= 𝑥− 𝜇 𝑜 𝜎/ 𝑛 Planteamos hipótesis 𝐻 𝑜 : 𝜇=32.5 𝐻 𝑎 : 𝜇≠32.5

Diferencia de medias Cola inferior o lateral inferior Cola superior o lateral superior Dos colas o bilateral Hipótesis 𝐻 𝑜 : 𝜇 1 − 𝑢 2 ≥0 𝐻 𝑎 : 𝜇 1 − 𝑢 2 <0 𝐻 𝑜 : 𝜇 1 − 𝑢 2 ≤0 𝐻 𝑎 : 𝜇 1 − 𝑢 2 >0 𝐻 𝑜 : 𝜇 1 − 𝑢 2 =0 𝐻 𝑎 : 𝜇 1 − 𝑢 2 ≠0 Estadístico de prueba 𝑧= 𝑥 1 − 𝑥 2 𝜎 1 2 𝑛 1 + 𝜎 2 2 𝑛 2 Regla de rechazo Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≤ 𝑧 ∝ Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≥ 𝑧 ∝ Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≤ 𝑧 ∝/2 o si z ≥ 𝑧 ∝/2 𝐻 𝑜 : hipótesis nula 𝐻 𝑎 : hipótesis alternativa 𝜇 1 , 𝜇 2 : media la población 1y 2 𝑛 1 , 𝑛 2 : muestra 1 y 2 𝑧: valor encontrado de tabla normal 𝑧 ∝ : valor de tabla normal de acuerdo a nivel de significancia

Ejemplo 3 En exámenes estandarizados practicados ya en diversas ocasiones, siempre se ha obtenido una desviación estándar de 10 puntos. Por tanto usara esta información y considerara las desviaciones estándar poblacionales 𝜎 1 = 𝜎 2 =10. Para este estudio se específica un nivel de significancia 𝛼=0.05. Con muestras aleatorias simples independientes de n1=30 individuos del centro A y n2=40 individuos del centro B, las medias muéstrales 𝑥 1 =82, 𝑥 2 =78. ¿estos datos indican que existe una diferencia significativa entre la medias poblaciones de los centros de enseñanza?

Solución 𝑥 1 =82, 𝑥 2 =78 𝜎 1 = 𝜎 2 =10 n1=30, n2=40 𝛼=0.05 𝑧= 𝑥 1 − 𝑥 2 𝜎 1 2 𝑛 1 + 𝜎 2 2 𝑛 2 Plantear hipótesis 𝐻 𝑜 : 𝜇 1 − 𝑢 2 =0 𝐻 𝑎 : 𝜇 1 − 𝑢 2 ≠0 Por lo que la hipótesis es bilateral 𝑧 𝛼 =±1.96 𝑧= 82−78 10 2 30 + 10 2 40 =1.66 Por lo tanto z< 𝑧 𝛼 por lo tanto no se puede rechazar por lo que no se puede diferenciar entre los dos centros

Prueba de hipótesis de la proporción Cola inferior o lateral inferior Cola superior o lateral superior Dos colas o bilateral Hipótesis 𝐻 𝑜 :𝑝≥ 𝑝 𝑜 𝐻 𝑎 :𝑝< 𝑝 𝑜 Estadístico de prueba 𝑧= 𝑝 − 𝑝 𝑜 𝑝 𝑜 (1− 𝑝 𝑜 ) 𝑛 Regla de rechazo Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≤ 𝑧 ∝ Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≥ 𝑧 ∝ Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≤ 𝑧 ∝/2 o si z ≥ 𝑧 ∝/2 𝐻 𝑜 : hipótesis nula 𝐻 𝑎 : hipótesis alternativa 𝑝 𝑜 : proporción poblacional hipotética 𝑝 : proporción muestral 𝑛: muestra 𝑧: valor encontrado de tabla normal 𝑧 ∝ : valor de tabla normal de acuerdo a nivel de significancia

Ejemplo 4 Por estadísticas que se tienen, se ha podido establecer que por lo menos el 40% de los jóvenes toman regularmente Coca-Cola, cuando tienen sed. Una muestra aleatoria de 450 jóvenes reveló que 200 de ellos suelen tomar dicha bebida para calmar su sed. ¿Cuál podría ser la conclusión al nivel del 1% en relación a lo que muestran las estadísticas?

Es bilateral n= 450 𝑧 𝛼 =±2.57 𝑝 𝑜 = 0.40 𝑝 =200/400 Solución Es bilateral 𝑧 𝛼 =±2.57 𝑧= 0.44−0.40 0.40(1−0.40) 450 =1.73 z< 𝑧 𝛼 aceptamos la hipótesis nula y concluimos que las estadísticas son correctas n= 450 𝑝 𝑜 = 0.40 𝑝 =200/400 𝑧= 𝑝 − 𝑝 𝑜 𝑝 𝑜 (1− 𝑝 𝑜 ) 𝑛 Planteamos hipótesis 𝐻 𝑜 :𝑝=0.40 𝐻 𝑎 :𝑝≠0.40

Prueba de hipótesis de la diferencia de proporciones Cola inferior o lateral inferior Cola superior o lateral superior Dos colas o bilateral Hipótesis 𝐻 𝑜 : 𝑝 1 − 𝑝 2 ≥0 𝐻 𝑎 : 𝑝 1 − 𝑝 2 <0 𝐻 𝑜 : 𝑝 1 − 𝑝 2 ≤0 𝐻 𝑎 : 𝑝 1 − 𝑝 2 >0 𝐻 𝑜 : 𝑝 1 − 𝑝 2 =0 𝐻 𝑎 : 𝑝 1 − 𝑝 2 ≠0 Estadístico de prueba 𝑧= 𝑝 1 − 𝑝 2 𝑝 (1− 𝑝 )( 1 𝑛 1 + 1 𝑛 2 ) Regla de rechazo Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≤ 𝑧 ∝ Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≥ 𝑧 ∝ Rechazar 𝐻 𝑜 si valor z ≤ 𝑧 ∝/2 o si z ≥ 𝑧 ∝/2 𝐻 𝑜 : hipótesis nula 𝐻 𝑎 : hipótesis alternativa 𝑝 1 , 𝑝 2 : proporción poblacional hipotética 𝑝 : proporción muestral= 𝑝 = 𝑛 1 𝑝 1 + 𝑛 2 𝑝 2 𝑛 1 + 𝑛 2 𝑛 1 ,2: muestras 𝑧: valor encontrado de tabla normal 𝑧 ∝ : valor de tabla normal de acuerdo a nivel de significancia

Ejemplo 5 En dos grupos A y B de 100 personas se presenta determinada enfermedad. Un suero es suministrado en el grupo A, pero no al B. Por lo demás, los grupos fueron tratados igual. Si se encuentra que 75 pacientes del grupo A y 65 del grupo B se recuperaron. Probar la hipótesis de que el suero cura la enfermedad con nivel de significancia del 5%

Solución Es unilateral superior 𝑧 ∝ =1.64 𝑧= .75−.65 0.7 (1− 0.7)( 1 100 + 1 100 ) z=1.54 𝑧 ∝ >z por lo tanto no hay suficiente evidencia de que el suero cure la enfermedad. n1= n2=100 p1=75/100 p2=65/100 𝑝 = 75+65 200 =0.7 𝑧= 𝑝 1 − 𝑝 2 𝑝 (1− 𝑝 )( 1 𝑛 1 + 1 𝑛 2 ) Prueba de hipótesis 𝐻 𝑜 : 𝑝 1 − 𝑝 2 =0 𝐻 𝑎 : 𝑝 1 − 𝑝 2 >0