La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT) Definición de la transformada de Fourier de Tiempo Discreto Propiedades de la transformada de Fourier de Tiempo Discreto La propiedad de convolución y multiplicación (modulación)

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Anteriormente vimos que los coeficientes de la serie de Fourier para una onda cuadrada periódica continua pueden considerarse como las muestras de una función envolvente y que, conforme el periodo de la onda cuadrada se incrementa, estas muestras llegan a estar cada vez más cercanas unas de otras. Esta propiedad sugirió la representación para una señal aperiódica 𝒙(𝒕) construyendo primero una señal periódica 𝒙 (𝒕) que igualara a 𝒙(𝒕) sobre un periodo. Entonces, conforme este periodo se aproximaba a infinito, 𝒙 (𝒕) era igual a 𝒙(𝒕) sobre intervalos de tiempo cada vez más grandes, y la representación en serie de Fourier para 𝒙 (𝒕) se aproximaba a la representación de la transformada de Fourier de 𝒙(𝒕). Ahora, aplicaremos un procedimiento análogo a las señales discretas para desarrollar la representación de la transformada de Fourier para secuencias aperiódicas discretas. Considere una secuencia general x[n] que tiene duración finita. Esto es, para algunos enteros 𝑵 𝟏 y 𝑵 𝟐 , x[n] = 0 fuera del intervalo −𝑵 𝟏 ≤ n ≤ 𝑵 𝟐 . En la figura 5.1(a) se muestra una señal de este tipo. A partir de esta señal aperiódica podemos construir una secuencia periódica 𝒙 [𝒏], con periodo N, para la cual x[n] sea un periodo, como se ilustra en la figura 5.1(b). Cuando hacemos que el periodo sea más grande, 𝒙 [𝒏] es idéntica a x[n] sobre un intervalo más grande, y conforme N →∞, 𝒙 𝒏 =𝒙[𝒏] para cualquier valor finito de n.

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Examinemos ahora la representación en serie de Fourier de 𝒙 𝒏 . En concreto,

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Puesto que 𝒙 𝒏 = 𝒙 𝒏 sobre un periodo que incluye el intervalo −𝑵 𝟏 ≤ n ≤ 𝑵 𝟐 , es conveniente seleccionar un intervalo de la sumatoria en la ecuación (5.2) que incluya este intervalo, de manera que 𝒙 𝒏 pueda reemplazarse por 𝒙 𝒏 en la sumatoria. Por lo tanto, donde en la segunda igualdad nos hemos valido del hecho de que 𝒙 𝒏 es cero fuera del intervalo −𝑵 𝟏 ≤ n ≤ 𝑵 𝟐 . Definiendo la función Vemos que los coeficientes 𝒂 𝒌 son proporcionales a las muestras de 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ), es decir, donde ω 𝟎 =𝟐π/𝑵 es el espaciamiento de las muestras en el dominio de la frecuencia. Combinando las ecuaciones (5.1) y (5.5) obtenemos

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Ya que ω 𝟎 =𝟐π/𝑵 o de manera equivalente 1/N = 𝝎 𝟎 /2𝝅, la ecuación (5.6) se puede rescribir como Conforme N aumenta, ω 𝟎 disminuye, y conforme N → ∞ la ecuación (5.7) se vuelve una integral. Para ver esto más claramente, considere que representamos 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) 𝒆 𝒋𝝎𝒏 como el trazo en la figura 5.2.

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto A partir de la ecuación (5.4), puede verse que 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) es periódica en ω con periodo 𝟐π y también lo es 𝒆 𝒋𝝎𝒏 . Entonces, el producto 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) 𝒆 𝒋𝝎𝒏 también será periódico. Como hemos representado en la figura, cada término en la sumatoria de la ecuación (5.7) representa el área de un rectángulo de altura 𝑿( 𝒆 𝒋𝒌 ω 𝟎 ) 𝒆 𝒋 ω 𝟎 𝒏 y ancho ω 𝟎 . A medida que ω 𝟎 → 0, la sumatoria se vuelve una integral. Más aún, puesto que la sumatoria se lleva a cabo sobre N intervalos consecutivos de ancho ω 𝟎 =𝟐π/𝑵, el intervalo total de integración siempre tendrá un ancho de 𝟐π. Por lo tanto, a medida que N → ∞, 𝒙 𝒏 =𝒙[𝒏], y la ecuación (5.7) se convierte en donde, debido a que 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) 𝒆 𝒋𝝎𝒏 es periódica con periodo 𝟐π, el intervalo de integración se puede tomar como cualquier intervalo de longitud 𝟐π. En consecuencia, tenemos el siguiente par de ecuaciones: Estas ecuaciones son la contraparte del par de la transformada de Fourier continua. La función 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) se conoce como la transformada de Fourier de tiempo discreto y el par de ecuaciones es el par de transformada de Fourier de tiempo discreto. La ecuación (5.8) es la ecuación de síntesis y la (5.9) la ecuación de análisis.

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Nuestra deducción de estas ecuaciones indica cómo una secuencia aperiódica puede considerarse como una combinación lineal de exponenciales complejas. En particular, la ecuación de síntesis es en efecto una representación de x[n] como una combinación lineal de exponenciales complejas infinitesimalmente cercanas en frecuencia y con amplitudes 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 )(𝒅ω/𝟐π). Por esta razón, al igual que en el caso continuo, a menudo se hace referencia a la transformada 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) como el espectro de x[n], dado que nos proporciona la información acerca de cómo x[n] está compuesta de exponenciales complejas a frecuencias diferentes. Observe también que, al igual que en tiempo continuo, nuestra deducción de la transformada de Fourier de tiempo discreto nos provee de una importante relación entre la serie y la transformada de Fourier de tiempo discreto. En particular, los coeficientes de la serie de Fourier 𝒂 𝒌 de una señal periódica 𝒙 𝒏 se pueden expresar en términos de muestras igualmente espaciadas de la transformada de Fourier de una señal aperiódica x[n] de duración finita, que es igual a 𝒙 𝒏 en un periodo y es cero en otro caso. Este hecho es de importancia considerable en el procesamiento y análisis de Fourier de señales prácticas. Como se indica en nuestra deducción, la transformada de Fourier de tiempo discreto tiene muchas similitudes con el caso de tiempo continuo. Las principales diferencias entre los dos casos son la periodicidad de la transformada de tiempo discreto 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) y el intervalo finito de integración en la ecuación de síntesis. Estas diferencias emanan de un hecho que hemos indicado ya varias veces: las exponenciales complejas de tiempo discreto que difieren en frecuencia por un múltiplo de 𝟐π son idénticas. Anteriormente vimos que, para las señales periódicas discretas, las implicaciones de esta afirmación consisten en que los coeficientes de la serie de Fourier son periódicos y que la representación en serie de Fourier es una suma finita.

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Para señales aperiódicas las implicaciones análogas indican que 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) es periódica (con periodo 𝟐𝝅) y que la ecuación de síntesis involucra una integración solamente sobre el intervalo de frecuencia que produce distintas exponenciales complejas (es decir, cualquier intervalo de longitud 𝟐𝝅). También se hizo notar que una consecuencia adicional de la periodicidad de 𝒆 𝒋𝝎𝒏 como una función de ω: ω = 0 y ω = 𝟐𝝅 producen la misma señal. Las señales a frecuencias cercanas a estos valores o a cualquier otro valor múltiplo par de 𝝅 varían lentamente y por lo tanto se consideran como señales de baja frecuencia. De manera similar, las altas frecuencias en el caso discreto son los valores de ω cercanos a múltiplos impares de 𝝅. De este modo, la señal 𝒙 𝟏 [𝒏] mostrada en la figura 5.3(a) con la transformada de Fourier representada en la figura 5.3(b) varía más lentamente que la senal 𝒙 𝟐 [𝒏] de la figura 5.3(c), cuya transformada se muestra en la figura 5.3(d).

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La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Convergencia de la transformada de Fourier de tiempo discreto A pesar de que el argumento utilizado para deducir la transformada de Fourier de tiempo discreto se basó suponiendo que x[n] era de duración arbitraria pero finita, las ecuaciones (5.8) y (5.9) siguen siendo válidas para una amplia clase de señales de duración infinita (como las señales en los ejemplos 5.1 y 5.2). En este caso, sin embargo, nuevamente debemos considerar el tema de la convergencia de la sumatoria infinita en la ecuación de análisis (5.9). Las condiciones sobre x[n] que garantizan la convergencia de esta suma son la contraparte directa de las condiciones de convergencia para la transformada continua de Fourier. Específicamente, la ecuación (5.9) convergerá si x[n] es absolutamente sumable. esto es, o si la secuencia tiene energía finita, es decir, En contraste con la situación para la ecuación de análisis (5.9), por lo general no hay problemas de convergencia asociados con la ecuación de síntesis (5.8), ya que la integral en esta ecuación es sobre un intervalo de integración de duración finita. Esta es, con mucho, la misma situación que se presenta con la ecuación de síntesis de la serie de Fourier de tiempo discreto, la cual involucra una suma finita y en consecuencia no presenta problemas de convergencia asociados con ella. En particular, si aproximamos una señal aperiódica x[n] mediante una integral de exponenciales complejas con frecuencias tomadas sobre el intervalo |ω|≤ W, es decir,

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto entonces 𝐱 𝐧 =𝐱[𝐧] para W = π. De esta manera, esperaríamos no poder observar ningún comportamiento de error o diferencia al evaluar la ecuación de síntesis de la transformada de Fourier de tiempo discreto. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

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La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto La transformada de Fourier de tiempo discreto para señales periódicas Al igual que en el caso continuo, las señales periódicas discretas se pueden incorporar dentro del marco de referencia de la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando se interpreta la transformada de una sedal periódica como un tren de impulsos en el dominio de la frecuencia. Para deducir la forma de esta representación, considere la señal En el caso continuo vimos que la transformada de Fourier de 𝒆 𝒋 ω 𝟎 se puede interpretar como un impulso en 𝝎=𝝎 𝟎 . Por lo tanto, podemos esperar que resulte el mismo tipo de transformada para la señal discreta de la ecuación (5.17). Sin embargo, la transformada de Fourier de tiempo discreto debe ser periódica en 𝝎 con periodo 2π. Esto sugiere entonces que la transformada de Fourier de x[n] en la ecuación (5.1 7) debe tener impulsos en 𝝎 𝟎 , 𝝎 𝟎 ± 2π, 𝝎 𝟎 ± 4π y así sucesivamente. De hecho, la transformada de Fourier de x[n] es el tren de impulsos el cual se ilustra en la figura 5.8.

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Para verificar la validez de esta expresión, debemos evaluar la transformada inversa. Sustituyendo la ecuación (5.18) en la ecuación de síntesis (5.8), encontramos que Observe que cualquier intervalo de longitud 2π incluye exactamente un impulso en la sumatoria dada en la ecuación (5.18). Por lo tanto, si el intervalo de integración seleccionado incluye el impulso localizado en 𝝎 𝟎 +2πr, entonces Ahora considere una secuencia periódica x[n] con periodo N y representación en serie de Fourier En este caso, la transformada de Fourier es de modo que la transformada de Fourier de una señal periódica en tiempo discreto se puede construir de manera directa a partir de sus coeficientes de Fourier.

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Para verificar que la ecuación (5.20) es, en efecto. correcta, observe que x[n] en la ecuación (5.19) es una combinación lineal de señales de la forma en la ecuación (5.17), y as la transformada de Fourier de x[n] debe ser una combinación lineal de transformadas de la forma de la ecuación (5.18). En particular, suponga que seleccionamos el intervalo de la sumatoria en la ecuación (5.19) como k = 0, 1, ..., N - 1, de modo que De tal 4orma, x[n] es una combinación lineal de señales, como en la ecuación (5.1 7), con 𝝎 𝟎 =𝟎, 2π/N, 4π/N, ..., (N-1)2π/N. La transformada de Fourier resultante se ilustra en la figura 5.9. En la figura 5.9(a) hemos representado la transformada de Fourier del primer término del miembro derecho de la ecuación (5.21): la transformada de Fourier de la señal constante 𝒂 𝟎 = 𝒂 𝟎 𝒆 𝒋𝟎−𝒏 es un tren de impulsos periódicos, como en la ecuación (5.18), con 𝝎 𝟎 =𝟎 y un escalamiento de 2π 𝒂 𝟎 en cada uno de los impulsos. Además, sabemos que los coeficientes de la serie de Fourier 𝒂 𝒌 son periódicos con periodo N, de modo que 2π 𝒂 𝟎 =2π 𝒂 𝑵 =2π 𝒂 −𝑵 . En la figura 5.9(b) hemos ilustrado la transformada de Fourier del segundo término en la ecuación (5.21), donde hemos usado nuevamente la ecuación (5.18), en este caso para 𝒂 𝟏 𝒆 𝒋 𝟐𝝅 𝑵 𝒏 , y el hecho de que 2π 𝒂 𝟏 =2π 𝒂 𝑵+𝟏 =2π 𝒂 −𝑵+𝟏 . De manera similar, la figura 5.9(c} muestra el término final. Por último, la figura 5.9(d) ilustra la expresión completa de 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ). Observe que debido a la periodicidad de 𝒂 𝒌 , 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) se puede interpretar como un tren de impulsos que ocurren en múltiplos de la frecuencia fundamental 2π/N, con el área 2π 𝒂 𝒌 del impulso localizada en 𝝎=2πk/N, siendo 2π 𝒂 𝒌 la cual es exactamente la establecida en la ecuación (5.20).

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La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto y Pares Básicos Ahora consideraremos varias propiedades de la transformada de Fourier de tiempo discreto. En la tabIa 5.1 proporcionamos un listado detallado de estas propiedades. Estas propiedades nos proporcionan un gran conocimiento acerca de la transformada y de la relación que existe entre las descripciones de una señal en los dominios del tiempo y de la frecuencia. Además, muchas de estas propiedades son a menudo útiles para reducir la complejidad en la evaluación de las transformadas o de las transformadas inversas de Fourier de tiempo discreto. En el libro de texto de este curso, “Señales y Sistemas”, Oppenheim y Willsky, 2da Edición, Pearson-Prentice Hall, se presenta la demostración matemática de estas propiedades. En clase, por restricciones de tiempo, obviaremos la mayoría de estas demostraciones para concentrarnos en algunas cuantas propiedades que se consideran pertinentes para los fines del presente curso. Sin embargo, se le hace saber al estudiante la importancia de estudiar todas las demostraciones de las propiedades de la transformada de Fourier. En la tabla 5.2 se presentan algunos pares básicos de transformadas de Fourier.

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La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto La relación de Parseval Si x[n] y 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) son un par de transformada de Fourier, entonces La cantidad del miembro izquierdo de la ecuación (5.47) es la energía total en la señal x[n] y la relación de Parseval establece que esta energía también se puede determinar integrando la energía por unidad de frecuencia, 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) 𝟐 /𝟐𝝅, sobre un intervalo completo 𝟐𝝅 de distintas frecuencias de tiempo discreto. En analogía con el caso continuo, 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) 𝟐 se conoce como el espectro de densidad de energía de la señal x[n]. Observe también que la ecuación (5.47) es la contraparte para señales aperiódicas de la relación de Parseval para señales periódicas, la cual iguala la potencia promedio en una señal periódica con la suma de las potencias promedio de sus componentes armónicas individuales.

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La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto La Propiedad de Convolución Anteriormente analizamos la importancia de la transformada continua de Fourier con respecto a su efecto sobre la operación de convolución y su uso en el tratamiento de los sistemas LTI continuos. Una relación idéntica se aplica en tiempo discreto, y ésta es una de las principales razones por las cuales la transformada de Fourier de tiempo discreto resulta de gran valor para representar y analizar los sistemas LTI discretos. En concreto, si x[n], h[n] y y[n] son la entrada, la respuesta al impulso y la salida, respectivamente, de un sistema LTI, tal que Entonces donde 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ), 𝑯( 𝒆 𝒋𝝎 ) y 𝒀( 𝒆 𝒋𝝎 ) son las transformadas de Fourier de x[n], h[n] y y[n], respectivamente. Además, vemos que la respuesta en frecuencia de un sistema LTI, 𝑯( 𝒆 𝒋𝝎 ), como se definió antes en el curso, es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del sistema, h[n].

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La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Dualidad Al considerar la transformada continua de Fourier observamos una simetría o dualidad entre la ecuación de análisis (4.9) y la ecuación de síntesis (4.8). Para la transformada de Fourier de tiempo discreto no existe una dualidad correspondiente entre la ecuación de análisis (5.9) y la ecuación de síntesis (5.8). Sin embargo, sí hay una dualidad en las ecuaciones (3.94) y (3.95) de la serie de Fourier de tiempo discreto, la cual no trataremos en el curso, pero se invita al estudiante a analizarla (el libro de texto cubre este tema). Sin embargo, también existe una dualidad entre la transformada de Fourier de tiempo discreto y la serie continua de Fourier que vale la pena tratar. En concreto, comparemos las ecuaciones (3.38) y (3.39) de la serie continua de Fourier con las ecuaciones (5.8) y (5.9) de la transformada de Fourier de tiempo discreto. Por conveniencia repetimos las ecuaciones:

La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto Observe que las ecuaciones (5.73) y (5.76) son muy similares, así como lo son las ecuaciones (5.74) y (5.75) y, de hecho, podemos interpretar las ecuaciones (5.73) y (5.74) como la representación en serie de Fourier de la respuesta en frecuencia periódica 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ). En particular, puesto que 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) es una función periódica de 𝝎 con periodo 2π, tiene una representación en serie de Fourier dada por una suma ponderada de funciones exponenciales periódicas de 𝝎 relacionadas armónicamente, todas las cuales tienen un periodo común de 2π : Esto es, 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) se puede representar en una serie de Fourier como una suma ponderada de las señales 𝒆 𝒋𝝎𝒏 , n = 0, ±1, ±2, …. A partir de la ecuación (5.74), vemos que el coeficiente enésimo de Fourier en esta expansión (es decir, el coeficiente que multiplica a 𝒆 𝒋𝝎𝒏 ) es x[-n]. Además, ya que el periodo de 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) es 2π, la ecuación (5.73) se puede interpretar como la ecuación de análisis de la serie de Fourier para el coeficiente x[n] de la serie de Fourier, es decir, para el coeficiente que multiplica a 𝒆 −𝒋𝝎𝒏 en la expresión para 𝑿( 𝒆 𝒋𝝎 ) en la ecuación (5.74).

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