Derivadas parciales en funciones escalares de variable vectorial de dos variables independientes

Derivadas parciales en funciones escalares de variable vectorial de dos variables independientes

Independientemente de la cantidad de variables que intervienen, las derivadas parciales de funciones de varias variables se pueden interpretar físicamente como razones de cambio, variaciones instantáneas o coeficientes de variación, igual que cuando se tiene una sola variable. El ejemplo que vemos a continuación muestra este aspecto.

Derivada parcial con respecto a “y”

Ejemplos

Derivada parcial en un punto La derivada parcial de una función es otra función, por lo tanto, se puede evaluar en un punto en específico. La notación es: 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 , 𝒛 𝟎 Donde P , es el punto en el que se evalúa y es de coordenadas 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 .

Ejemplo Evaluar fx, fy en el punto indicado. Solución.

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Derivadas de segundo orden Si z=f(x,y), entonces las primeras derivadas parciales son que también son funciones derivables, por lo tanto las segundas derivadas parciales son: y Nota. El orden de derivación es de derecha a izquierda.

Ejemplo Sea la función Obtenga sus derivadas de segundo orden. Solución.

Ejemplo Sea , obtenga sus derivadas parciales de segundo orden . Solución.

Solución.

Teorema de Clairaut o teorema de Schwarz  o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas 

Ejemplo

Ejemplos Determinar si se cumple el Teorema de Schwarz en las siguientes funciones: 1 2.

Derivadas parciales terceras (o derivadas de tercer orden)

Ejemplos

Diferencial Total

La diferencial respecto a una variable x es una aproximación de lo que varía f si se incrementa x una cantidad dx. Exactamente lo mismo que la diferencial de una función real de una sola variable real. Y lo mismo para el resto de las diferenciales respecto a las demás variables de f. La suma de las diferenciales de f respecto a varias variables se llama diferencial total de f respecto a esas variables. Por ejemplo, la diferencial de f respecto a x e y en es

Diferencial total

Ejemplo

Ejemplo El radio de la base y la altura de un cono circular recto se han medido dando como resultado 10 cm y 25 cm respectivamente, con un posible error en la medida de 0.1 cm como máximo en cada uno. Utilizar la diferencial para estimar el error que se produce en el cálculo del volumen del cono.

Solución El error cometido es la diferencia entre el valor del volumen en (10, 25) y el valor del mismo en (10 + 0.1, 25 + 0.1): V (10 + 0.1, 25 + 0.1) − V (10, 25) que, aproximadamente, es la diferencial de V en (10, 25). Como la diferencial es

En el punto (10, 25) la diferencial esta dada por Sustituyendo el diferencial de cada una de las variables

Ejemplo (Un caso con tres variables) Se han medido las dimensiones de una caja en forma de paralelepípedo dando como resultado 75 cm, 60 cm y 40 cm respectivamente para el largo, ancho y alto. Sin embargo, se ha cometido un error de 0.2 cm en cada medición. Estimar el error cometido al calcular el volumen de la caja.

Solución En el punto (75, 60, 40) se tiene: dV (75, 60, 40) = 2400dx + 3000dy +4500dz Que es una función em términos de los incrementos, sustituyendo el incremento de cada uma de las variables, se tiene dV = 1980 que es el error cometido al calcular el volumen con las dimensiones dadas y el error dado. A pesar de que parezca mucho 1980 cm3 sólo representa el 1 % del volumen de la caja.

Regla de la cadena. Función de función

Ejemplo

Generalización de la regla de la cadena

Ejemplo

Ejemplo Gráficamente se vería la relación

Solución Tenemos la función z como dependiente de las variables x, y. Por tanto, las dos derivadas primeras se expresarán:

Ejercicio

Gradiente

Gradiente

Gradiente

Gradiente

Ejemplo

Propiedades del vector gradiente El vector gradiente de una función en un punto tiene la importante propiedad de que señala la dirección de máximo crecimiento de la función en dicho punto. Es decir, de entre todas las (infinitas) direcciones que parten del punto la dirección definida por el gradiente es aquella en la que la función f crece más rápidamente. Como consecuencia, la dirección opuesta al gradiente es aquella en la que la función decrece más rápidamente.

Propiedades del vector gradiente Esta propiedad es de una importancia primordial en muchas situaciones reales. Por ejemplo, la quimiotaxis, que es el mecanismo por el que algunas células se mueven de acuerdo con la concentración de ciertas sustancias químicas en su medio ambiente, eligiendo para ello la dirección del gradiente de la concentración, si se busca, por ejemplo, alimento, o la opuesta al gradiente, si se busca, por ejemplo, alejarse de un veneno. En los organismos multicelulares es fundamental tanto en las fases tempranas del desarrollo (por ejemplo en el movimiento de los espermatozoides hacia el óvulo) como en las fases más tardías (como la migración de neuronas o linfocitos)

Ejemplo

Otra forma de ver el diferencial total

Ejemplo El vector df es de componentes (1,-3,2) Un vector paralelo a él pero de dirección contraria sería (-1,3,-2), ambos tienen la misma magnitud pero sentido contrario. Al sustituir el mismo incremento en cada variable el resultado para df con los dos vectores el incremento total sería diferente.

Derivada direccional

Gradiente y derivada direccional

Derivada direccional

Derivada direccional El concepto de derivada direccional se puede explicar con el siguiente ejemplo: Supongamos que nos encontramos sobre una superficie inclinada, por ejemplo, sobre la ladera de una montaña. Dependiendo de la dirección en que caminemos, descenderemos o ascenderemos e incluso nos encontraremos con una mayor o menor pendiente.

Derivada direccional Ahora imaginemos que dicha ladera viene dada por la superficie de ecuación z = f(x, y), donde (x, y) son las coordenadas a nivel del mar del punto donde nos encontramos y z representa la altitud de dicho punto. Las distintas direcciones que parten de ese punto vienen dadas por los distintos vectores (en el plano OXY ) que parten del punto (x, y). La elección de una cierta dirección nos da un cierto control sobre la inclinación del camino a seguir. Dicha inclinación se puede describir mediante la pendiente de la recta tangente al punto de arranque en la dirección del camino. Esto es lo que se llama derivada direccional.

Las derivadas parciales de la función f(x, y), fx y fy, son las derivadas direccionales en las direcciones de los ejes coordenados, esto es, cuando nos movemos en direcciones paralelas a los eje coordenados OX y OY , y en el sentido positivo de los mismos.

Ejemplo Obtenga la derivada direccional de la función en la dirección del vector

Ejemplo

Ejemplo Sea la función 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 a) Obtenga el gradiente de la función Obtenga la derivada direccional de la función en dirección de 𝑢 = 1,−2 . ¿Crece o decrece la función en esa dirección? c) Calcular las derivadas direccionales en las direcciones de 𝑣 = 1,1 y 𝑤 = −1,1 . ¿En cuál de ellas crece la función más rápidamente?

Solución

Plano tangente a una superficie

Plano tangente a una superficie en un punto Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.

Ecuación del plano tangente b

O

Ejemplo

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Recta normal a una superficie

Recta normal a una superficie Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

Ecuación de la recta normal a una superficie Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación estará dada por: Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación es:

Ejemplo

Ejemplo