Inecuaciones Lineales en una Variable Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2006-2007 © Derechos Reservados
Objetivos de la lección Conocer el significado de una inecuación sencilla, trivial, y dobles o compuestas Conocer los símbolos que se usan para las inecuaciones Conocer cuál es la gráfica de la solución de una inecuación Conocer las propiedades de las desigualdades Conocer el proceso para resolver una desigualdad Aplicar las propiedades de las desigualdades para resolver una inecuación
Definiciones Fundamentales y Ejemplos
Definición de Inecuación Una inecuación es una desigualdad que contiene variables.
Reflexión… Una desigualdad expresa cantidades que no son iguales. Si dos cantidades no son iguales entonces una es mayor o menor que la otra. Los símbolos matemáticos que se usan para indicar cantidades que no son iguales son: > significa “mayor que” < significa “menor que” significa “menor o igual” significa “mayor o igual”
Gráfica de la solución de una inecuación x > 3 x < 3 x 3 x 3 -3 < x < 3 -3 x 3 -3 < x 3 -3 x < 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Cuando tenemos ó se ennegrece el punto ya que se incluye ese valor. Si dice > ó < no incluye el valor, por tanto no se ennegrece.
Gráfica de la solución de una inecuación x > 3 x < 3 x 3 x 3 -3 < x < 3 -3 x 3 -3 < x 3 -3 x < 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Compara la forma que tiene la gráfica de la solución de una doble inecuación y la forma de una inecuación sencilla. ¿Qué observas?
Gráfica de la solución de una inecuación x > 3 x < 3 x 3 x 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Observa que para poder trazar la gráfica de una inecuación sencilla necesitamos tener la variable en el lado izquierdo, de manera que se pueda leer el valor de la variable.
Gráfica de la solución de una inecuación -3 < x < 3 -3 x 3 -3 < x 3 -3 x < 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Observa que para poder trazar la gráfica de una inecuación doble necesitamos tener la variable en el centro, de manera que se pueda leer el valor de la variable. Se lee “x está entre -3 y 3”, “sin incluir a”, si solo es “menor que” o “incluyendo a ” si es “menor o igual”.
Propiedades de las Desigualdades
Propiedades de las Desigualdades Aditiva de la Desigualdad: Si a < b y c es cualquier número Real, entonces: a + c < b + c Multiplicativa de la Desigualdad: Si a < b y c es positivo, entonces: a . c < b . c Si a < b y c es negativo, entonces: a . c > b . c Observa que cuando se multiplica o divide por un negativo el signo de la desigualdad cambia de dirección. Si es > cambia a < . Si es < cambia a >.
Cómo se resuelven las inecuaciones
Ejemplo 1: Resuelve y traza la gráfica 4x – 4 8 4x 8 + 4 4x 12 4 4 x 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ejemplo 2: Resuelve y traza la gráfica -2x + 8 6 -2x 6 – 8 -2x -2 -2 -2 x 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ejemplo 3: Resuelve y traza la gráfica 1 < x - 8 < 4 1 + 8 < x < 4 + 8 9 < x < 12 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Ejemplo 4: Resuelve y traza la gráfica 25 > -5x > 10 -5 -5 -5 -5 < x < -2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Ejemplo 5: Resuelve y traza la gráfica 2 2x + 6 4 2 – 6 2x 4 – 6 -4 2x - 2 -4 2x - 2 2 2 2 -2 x -1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Ejercicio de Aplicación
Resuelve las siguientes inecuaciones y traza la gráfica Resuelve las siguientes inecuaciones y traza la gráfica. Después, haz click en el lápiz para ver las respuestas 1. x + 3 -1 2. 3 (x – 2) 5x + 8 3. ½ (4x + 14) < 3x – 6 4. 4 – 2y > 2y -3 3 3 5. 1 < x + 5 < 7 6. -3 2x – 7 < 7
Fin de la lección Haz click para salir
Contestaciones de los ejercicios x -4 x -7 x > 13 y < 1.75 -4 < x < 2 2 x < 7 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 7 8 9 10 11 12 13 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8