TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL La fórmula para calcular esta probabilidad es: Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito : Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

 Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%  Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.

EJERCICIO #1 Se sabe que el 65% de los accidentes de tráfico que se producen durante la noche de los sábados se deben a la ingesta excesiva de alcohol, el 25% se deben a la imprudencia del conductor (sobrio) y el resto a otras causas, (fallo mecánico...etc.). En estos accidentes, el resultado es nefasto el 30% de las veces en el primer caso, el 20% en el segundo y el 5% en el tercero. a) Calcular la probabilidad de que uno de estos accidentes tenga resultado nefasto. (Ejercicio PAU) Solución Llamemos: A1 al suceso “tener un accidente por circular con una ingesta excesiva de alcohol” A2 al suceso “tener un accidente por imprudencia del conductor” y A3 al suceso “tener un accidente por otras causas”. Estos sucesos son incompatibles dos a dos y su unión es el espacio muestral, por lo que se verifican las hipòtesis del teorema de la probabilidad total. Sea N el suceso “tener resultado nefasto” P(N)=P(A1)P(N/A1)+ P(A2)P(N/A2)+ P(A3)P(N/A3)= =0,650,3+0,250,2+0,10,05=0,25

Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos: a) Carlos, con una probabilidad del 60% b) Juan, con una probabilidad del 30% c) Luis, con una probabilidad del 10% En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente: a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%. b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%. c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%. En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?: 1.- Los tres candidatos forman un sistema completo 2.- Aplicamos la fórmula: P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15 Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...

En una sala tenemos 17 hombres y 20 mujeres, de los 17 hombres 5 llevan gafas y de las 20 mujeres, 8 llevan gafas. Si cojo una persona al azar, probabilidad de que lleve gafas y si cojo una al azar probabilidad de que no lleve gafas. Personas en total: 37 Se hace el diagrama. Probabilidad de que sea hombre 17/37 Probabilidad de que sea mujer: 20/37 Dentro de los hombres de que alguien lleve gafas hay 5/17 Probabibilidad de que alguno no lleve gafas 12/17 (se resta 5-17: 12)