Teoría de Lenguajes Dr. Rogelio Dávila Pérez Profesor - Investigador E-mail: rdav09@hotmail.com

Conjuntos Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones. Ej. A={a,b}, N={1, 2, 3, …} Los elementos pertenecen a conjuntos y un conjunto esta formado por todos sus elementos. Ej. a  A -- a pertenece a A a  N -- a no pertenece a N

Operadores Lógicos 1 Símbolos Lógicos y Significado      and or not cond. idéntico     ~   1 x. p(x) – Para todo x, es verdad que p(x) x. p(x) – Existe al menos un x, tal que es verdad que p(x)

Identidades Lógicas (f)  x. (x)  x.  (x) (a)       v  (b) Ley de Contraposición:          (c) Leyes Distributivas: (i)  v (  )  ( v )  ( v ) (ii)   ( v )  (  ) v (  ) (e) Leyes de DeMorgan: (i)  ( v )       (ii)  (  )    v   (f)  x. (x)  x.  (x) (g)  x. (x)  x.  (x)

Conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, denotado como B  A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A. B  A  xB, (xA) Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B  A, y A  B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B  A. B = A  B  A  A  B Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B  A, si y solo si, B  A y B  A. B  A  B  A & A  B

Operaciones con Conjuntos Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A  B = {x | x  A  x  B} Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A  B = {x | x  A  x  B} Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A - B = {x | x  A  x  B}

Operaciones con Conjuntos Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A x B = {(x,y) | x  A  y  B} Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2A o P(A), es el conjunto: P(A) = {X | X  A} Ejemplos: Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}: A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}

Inducción Matemática Sea el conjunto C = {x  N| P(x)}. Si se satisface: P(1) es verdadero. Si se cumple que para un k arbitrario (k  N): De suponer P(k), logramos demostrar P(k+1) Entonces C = N (C es el conjunto de los Naturales) Ejemplo:

Relaciones y Funciones Def. Sean A1, A2, …, An una secuencia de conjuntos. Definimos una relación como un subconjunto del producto cartesiano A1x A2x…x An. Def. Sean dos conjuntos arbitrarios A y B. Una función f:AB es una relación en AxB, que satisface: Dos parejas distintas no pueden tener el mismo elemento: x,yA, f(x)f(y)  x  y

Relaciones y Funciones Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:AB, es inyectiva, si se satisface que: a1, a2A, [ a1a2  f(a1)  f(a2) ] Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:AB, es sobreyectiva o suprayectiva, si se satisface: xB, aA, f(a)= x Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:AB, es biyectiva, si es inyectiva y suprayectiva.

Cardinalidad y Conjuntos Infinitos Def. Se dice que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad, si existe una función biyectiva que va de los elementos de A a los elementos de B. Def. Se llama un conjunto contable a aquel conjunto que es finito o que puede ser colocado en relación uno-a-uno con el conjunto de los números naturales N.

Ejercicios Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos: a). A– (B ∩ C) = (A – B) U (A – C) b). A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) 2. Demuestre los siguientes enunciados: a). Si A y B son dos conjuntos arbitrarios, existen entre ellos al menos dos relaciones posibles (pudiendo ser la misma). b). Sean A = { a, b } y B = { 1, 2 }, entonces, entre A y B existen 16 posibles relaciones.

Ejercicios (cont.) 3. Defina una función f: Z  Z (Z es el conjunto de los enteros), tal que satisfaga las condiciones que a continuación se muestran: a). f sea inyectiva pero no sobreyectiva. b). f sea sobreyectiva pero no inyectiva. c). f sea biyectiva. 4. Demuestre que la función f: Z  Z, definida como f(n) = 2n (nZ), es inyectiva.

Ejercicios (cont.) 5. Un conjunto se dice que es contable, si es un conjunto de cardinalidad finita o si su cardinalidad es igual a la de los números naturales N. Demuestre que el conjunto resultado de la unión de dos conjuntos contables, es contable.