Modelos de Cournot dinámicos Master en Economía y Desarrollo Matemáticas II: Teoría de Juegos y Oligopolio Modelos de Cournot dinámicos Jesús Muñoz San Miguel

producción total del mercado: Q= i=1 n q i MODELO DE COURNOT En el mercado operan 𝒏 empresas que compiten fijando una producción q i producción total del mercado: Q= i=1 n q i producción de todos los rivales de la empresa i: Q i =Q− q i . El precio depende de la producción total y viene dado por una función inversa de demanda, p=f Q Los costes dependen de la producción de la empresa y vienen dados por C q i El objetivo de las empresas es maximizar beneficio y se enfrentan al problema de optimización max { q i ∈ℝ} π i q i , Q i = max q i ∈ℝ q i f Q −C q i La condición de primer orden de este programa matemático viene dada por 𝜕 π i q i , Q i 𝜕 q i =f( q i , Q i )+ q i f ′ q i , Q i − C ′ q i =0. En determinados casos es posible resolver la ecuación para q i y obtener q i = R i ( Q i ), la función de reacción de la empresa i que proporciona la cantidad óptima de producción para la empresa i siempre que la función de beneficios sea cóncava El equilibrio de Cournot-Nash cumple 𝑞 𝑖 ∗ =𝑅 𝑄 𝑖 ∗ ∀𝑖=1,…,𝑛

MODELO DE COURNOT (Demanda) La demanda del mercado viene dada por una función inversa de demanda, con la producción total del mercado, Q, la variable explicativa y f ′ Q <0 p=f Q , función de demanda inversa lineal la función de demanda es (0<b<a) 𝑝=𝑎−𝑏𝑄 𝑎 precio de reserva (precio al que se deja de adquirir el producto) 𝑏 sensibilidad de los consumidores a las variaciones en la producción total función de demanda isoelástica la función de demanda es hiperbólica (a>0) 𝑝=𝑎/𝑄 No existe precio de reserva

MODELO DE COURNOT (Costes) Costes marginales constantes Cuando los costes de producción de la 𝑖-ésima empresa son lineales y, por lo tanto, sus costes marginales son constantes, vienen dados por 𝐶 𝑞 𝑖 = 𝑐 𝑖 𝑞 𝑖 . Demanda lineal y demanda isoelástica Costes marginales variables Las empresas tienen una función de costes cuadrática, 𝐶 𝑞 𝑖 = 𝑐 𝑖 𝑞 𝑖 + 𝑒 𝑖 𝑞 𝑖 2 , lo cual significa que los costes marginales son variables a escala. Si 𝑒>0 los costes marginales son crecientes a escala Si 𝑒=0 los costes marginales son constantes Si 𝑒<0 los costes marginales son decrecientes a escala Demanda lineal costes marginales ligeramente decrecientes 𝒆>− 𝒃 𝟐 costes marginales fuertemente decrecientes 𝒆<− 𝒃 𝟐

EL MODELO DE COURNOT ESTÁTICO (Oligopolio) Planteamiento del problema (demanda lineal y costes marginales constantes) El problema de optimización es max { 𝑞 𝑖 ∈ℝ} 𝜋 𝑖 𝑞 𝑖 , 𝑄 𝑖 = max 𝑞 𝑖 ∈ℝ 𝑞 𝑖 𝑎−𝑏 𝑞 𝑖 −𝑏 𝑄 𝑖 − 𝑐 𝑖 𝑞 𝑖 . la condición de primer orden es 𝜕 𝜋 𝑖 𝑞 𝑖 , 𝑄 𝑖 𝜕 𝑞 𝑖 = 𝑎−2𝑏 𝑞 𝑖 −𝑏 𝑄 𝑖 − 𝑐 𝑖 =0 la condición de segundo orden es 𝜕 2 𝜋 𝑖 𝑞 𝑖 , 𝑄 𝑖 𝜕 𝑞 𝑖 2 =−2𝑏≤0 Resolviendo la condición de primer orden para 𝑞 𝑖 obtenemos su curva de reacción 𝑞 𝑖 =𝑅 𝑄 𝑖 = 𝑎− 𝑐 𝑖 2𝑏 − 1 2 𝑄 𝑖 El equilibrio de Cournot-Nash cumple 𝑞 𝑖 ∗ =𝑅 𝑄 𝑖 ∗ ∀𝑖=1,…,𝑛

EL MODELO DE COURNOT ESTÁTICO (Oligopolio) Determinación del equilibrio (demanda lineal y costes constantes) La curva de reacción es 𝑞 𝑖 =𝑅 𝑄 𝑖 = 𝑎− 𝑐 𝑖 2𝑏 − 1 2 𝑄 𝑖 Restando 𝑞 𝑖 /2 a ambos lados de la ecuación y multiplicándola por 2 obtenemos la curva de reacción expresada como función de la producción total del mercado. 𝑞 𝑖 = 𝑎− 𝑐 𝑖 𝑏 −𝑄 Ahora hacemos el sumatorio de los n niveles de producción individuales 𝑄= 𝑛𝑎− 𝑖=1 𝑛 𝑐 𝑖 𝑏 −𝑛𝑄 Si lo escribimos en función del coste marginal medio del mercado y resolvemos la ecuación anterior para Q la producción total de mercado en el equilibrio es 𝑄 ∗ = 𝑛 𝑛+1 𝑎− 𝑐 𝑏 . Sustituyendo en la curva de reacción hallamos el equilibrio de Cournot-Nash. 𝑞 𝑖 ∗ = 𝑎− 𝑐 𝑖 𝑏 − 𝑛 𝑛+1 𝑎− 𝑐 𝑏

EL MODELO DE COURNOT ESTÁTICO Demanda lineal y costes marginales constantes Si sustituimos el nivel de producción de equilibrio en la función de demanda obtenemos el precio de equilibrio. 𝑝 ∗ = 1 𝑛+1 𝑎+ 𝑛 𝑛+1 𝑐 𝑀 . El precio de equilibrio resultante es una media ponderada entre el precio máximo del mercado, 𝒂, y el coste marginal medio de los competidores. Para el caso del duopolio, o cualquier 𝑛 reducido, puede que haya una discrepancia considerable entre el precio máximo del mercado y los costes marginales. Sin embargo, conforme aumenta el número de competidores esta diferencia se hace cada vez más pequeña hasta igualar, o aproximar, el precio y los costes marginales medios del mercado. Este fenómeno, que el número de empresas presione a la baja sobre el precio, es uno de resultados fundamentales del modelo y se debe al aumento de la competencia en el mercado: para un 𝒏 suficientemente alto el peso relativo de cada empresa en el mercado se hace tan pequeño que el mercado está, para todo efecto, en competencia perfecta.

EL MODELO DE COURNOT ESTÁTICO Demanda lineal y costes marginales variables Operando de forma similar al modelo anterior obtenemos el precio de equilibrio 𝑝 ∗ = 1 𝑛+1 𝑎+ 𝑛𝑏 𝑛+1 𝑏+2𝑒 𝑐 Estudiando el precio de equilibrio llegamos a la misma conclusión que en el primer modelo, conforme aumenta el número de empresas en el mercado la competencia presiona a la baja sobre el precio. Si el parámetro e es mayor que cero y los costes marginales son crecientes a escala el número de empresas necesarios para el que este equilibrio se asemeje al de competencia perfecta es mayor que en el modelo de costes lineales. Si el parámetro e toma un valor negativo y los costes marginales son decrecientes a escala las empresas tienen mayor capacidad para elevar el precio por encima del coste marginal.

PRÁCTICA 1: Demanda lineal y costes marginales constantes En el duopolio de Cournot considerar una función de demanda inversa lineal (𝑝=𝑎−𝑏𝑄) y costes marginales constantes (𝐶 𝑞 𝑖 = 𝑐 𝑖 𝑞 𝑖 ). PARTE A Definir las funciones básicas del modelo P[Q_]=a-b Q; c1[q1_]=c1 q1; c2[q2_]=c2 q2; B1[q1_,q2_]=q1 P[q1+q2]-c1[q1]; B2[q1_,q2_]=q2 P[q1+q2]-c2[q2]; Obtener la función de reacción de las empresas sol1=Solve[D[B1[q1,q2],q1]==0,q1] sol2=Solve[D[B2[q1,q2],q2]==0,q2] CR1[q2_]=q1/.sol1[[1]] CR2[q1_]=q2/.sol2[[1]] Comprobar que determinan un máximo del problema Reduce[{D[D[B1[q1,q2],q1],q1]<0},b] Calcular el equilibrio de Cournot-Nash eq=Solve[{q1==CR1[q2],q2==CR2[q1]},{q1,q2}] punto={q1,q2}/.eq

PRÁCTICA 1: Demanda lineal y costes marginales constantes En el duopolio de Cournot considerar una función de demanda inversa lineal (𝑝=𝑎−𝑏𝑄) y costes marginales constantes (𝐶 𝑞 𝑖 = 𝑐 𝑖 𝑞 𝑖 ). PARTE B Calcular la producción total de mercado en equilibrio q1+q2/.eq//Simplify Calcular el precio de equilibrio P[q1+q2]/.eq//Simplify Representar gráficamente las curvas de reacción y el punto de equilibrio param={a->35,b->3,c1->1,c2->2} gr1=Plot[CR2[q1]/.param,{q1,0,12.5}]; gr2=ParametricPlot[{CR1[q2],q2}/.param,{q2,0,12.5}]; gr3=ListPlot[punto/.param]; gr4=Show[gr1,gr2,gr3] Estudiar la influencia de los costes mediante el comando MANIPULATE grafico[A_,B_,C1_,C2_]:=Block[{a=A, b=B,c1=C1,c2=C2}, gr1=Plot[CR2[q1],{q1,0,12.5},PlotStyle->{Blue,Thick}]; gr2=ParametricPlot[{CR1[q2],q2},{q2,0,12.5},PlotStyle->{Red,Thick}]; gr3=ListPlot[{punto},PlotStyle→{PointSize[.02],Black}]; gr4=Show[gr1,gr2,gr3]] Manipulate[grafico[10,1,C1,C2],{C1,0,10,1},{C2,0,10,1}]

PRÁCTICA 2: Demanda lineal y costes marginales variables Considerar el duopolio de Cournot pero suponiendo ahora que todas las empresas tienen una función de costes cuadrática, 𝐶 𝑞 𝑖 = 𝑐 𝑖 𝑞 𝑖 + 𝑒 𝑖 𝑞 𝑖 2 Definir las funciones básicas del modelo Obtener la función de reacción de las empresas Determinar las condiciones para obtener un máximo del problema calcular el equilibrio de Cournot-Nash Estudiar la influencia de los costes mediante el comando MANIPULATE

EL MODELO DE COURNOT ESTÁTICO (Oligopolio) Demanda isoelástica y costes marginales constantes La nueva función de beneficios ahora es 𝜋 𝑞 𝑖 , 𝑄 𝑖 = 𝑞 𝑖 𝑎 𝑄 𝑖 + 𝑞 𝑖 − 𝑐 𝑖 𝑞 𝑖 La condición de primer orden es 𝜕 𝜋 𝑖 𝑞 𝑖 , 𝑄 𝑖 𝜕 𝑞 𝑖 = 𝑎 𝑄 𝑖 (𝑄 𝑖 + 𝑞 𝑖 ) 2 − 𝑐 𝑖 =0, La condición de segundo orden es 𝜕 2 𝜋 𝑖 𝑞 𝑖 , 𝑄 𝑖 𝜕 𝑞 𝑖 2 =− 2𝑎 𝑄 𝑖 ( 𝑞 𝑖 + 𝑄 𝑖 ) 3 ≤0. Se cumple para todo nivel de producción total mayor o igual que cero (podemos imponer la desigualdad estricta ya que una producción nula no tiene sentido debido a la forma hiperbólica de la función de demanda). La función de reacción para este modelo es 𝑞 𝑖 = 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖 = 𝑎 𝑄 𝑖 𝑐 𝑖 − 𝑄 𝑖 La curva de reacción parte del origen aumenta hasta alcanzar un máximo y comienza a descender hasta hacerse cero. El modelo no puede describir el monopolio. Si sustituimos Q i =0 en la función de reacción la producción de la empresa i se hace nula.

La función de reacción para este modelo es 𝑞 𝑖 = 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖 = 𝑎 𝑄 𝑖 𝑐 𝑖 − 𝑄 𝑖 Sumando 𝑄 𝑖 a ambos lados y elevando al cuadrado, la ecuación queda 𝑄 2 = 𝑎(𝑄− 𝑞 𝑖 ) 𝑐 𝑖 Despejando 𝑞 𝑖 𝑞 𝑖 =𝑄− 𝑐 𝑖 𝑎 𝑄 2 . Realizando el sumatorio de todas las producciones individuales, obtenemos la ecuación del nivel de producción total de equilibrio para el mercado 𝑄=𝑛𝑄− 𝑐 𝑎 𝑛 𝑄 2 donde 𝑐 es el coste marginal medio de las empresas del mercado. Si resolvemos la ecuación para 𝑄 y tenemos en cuenta que 𝑄 es no nulo en el modelo 𝑄 ∗ = 𝑎(𝑛−1) 𝑛 𝑐 Si sustituimos en la producción de cada empresa, la producción óptima individual de la empresa i, 𝑞 𝑖 ∗ = 𝑛−1 𝑎 𝑛 𝑐 − 𝑛−1 2 𝑐 𝑖 𝑎 (𝑛 𝑐 ) 2 , ∀𝑖=1, 2, …, 𝑛,

EL MODELO DE COURNOT ESTÁTICO (Oligopolio) Demanda isoelástica y costes marginales constantes Operando de forma similar obtenemos el precio de equilibrio 𝑝 ∗ = 𝑛 𝑛−1 𝑐 El precio de equilibrio, que antes dependía del precio de reserva, a, y los costes marginales medios pasa a ser totalmente dependiente del coste marginal medio del mercado y proporcional al número de empresas que compiten. Al igual que antes, el aumento de la competencia que supone el incremento de n limita la capacidad de las empresas a elevar el precio por encima de sus costes marginales. Para un número de empresas suficientemente alto, se igualarán y habrá competencia perfecta.

PRÁCTICA 3: Demanda isoelástica y costes marginales constantes Considerar el duopolio de Cournot pero suponiendo ahora que la función de demanda es isoelástica (p=a/Q) y los costes marginales son constantes (𝐶 𝑞 𝑖 = 𝑐 𝑖 𝑞 𝑖 ). Definir las funciones básicas del modelo P[Q_] = a/ Q; c1[q1_] = c1 q1; c2[q2_] = c2 q2; B1[q1_, q2_] = q1 P[q1 + q2] - c1[q1]; B2[q1_, q2_] = q2 P[q1 + q2] - c2[q2]; Obtener la función de reacción de las empresas Comprobar que determinan un máximo del problema Calcular el equilibrio de Cournot-Nash eq = FullSimplify[eq, {a > 0, c1 > 0, c2 > 0}] Estudiar la influencia de los parámetros mediante el comando MANIPULATE

MODELO DE COURNOT DINÁMICO En el modelo de Cournot dinámico, las empresas compiten en el tiempo y cada una de las 𝑖 empresas produce una cantidad 𝑞 𝑖 (t). Si los niveles de producción 𝑞 𝑖 (𝑡) son iguales al nivel de equilibrio, 𝑞 𝑖 ∗ , se repite la conclusión del modelo estático y a ninguna empresa le interesa variar unilateralmente su producción. Si los niveles de producción 𝒒 𝒊 (𝒕) son distintos al nivel de equilibrio, 𝒒 𝒊 ∗ , ( 𝒒 𝒊 (𝒕)≠ 𝒒 𝒊 ∗ ), las empresas pueden aumentar sus beneficios si aumentan, o reducen, su producción y cada una toma una nueva decisión sobre sus niveles de producción con el fin de maximizar sus beneficios. Se desarrolla un proceso de ajuste dinámico en tiempo discreto (t=1, 2, 3…) en el que las empresas tienen información completa sobre todos los períodos anteriores al actual, es decir, hacen sus decisiones sobre la producción en t con la información acumulada de t−1, t−2, …, 0.

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Dinámica de mejor respuesta 𝑞 𝑖𝑡 =𝐵 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑖=1,…,𝑛 Equilibrio dinámico 𝑞 𝑖𝑡−1 = 𝑞 𝑖𝑡 = 𝑞 𝑖 ∗ , 𝑖=1,…,𝑛 Equilibrio estratégico 𝑞 𝑖 ∗ =𝐵 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖 ∗ 𝑖=1,…,𝑛 Procesos de ajuste dinámico Capacidad de las empresas de hacer variar sus niveles de producción (variación instantánea en dinámica mejor respuesta ). Formación de expectativas de las empresas sobre la producción rival (expectativas ingenuas en dinámica mejor respuesta )

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Dinámica de mejor respuesta con función inversa de demanda lineal y costes marginales constantes 𝑞 𝑖𝑡 =𝐵 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 = 𝑎− 𝑐 𝑖 2𝑏 − 1 2 𝑄 𝑖𝑡−1 𝑖=1,…,𝑛 Teorema (Theocharis) El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n<3 El equilibrio de Cournot-Nash es periódicamente estable siempre que n=3 El equilibrio de Cournot-Nash es inestable siempre que n>3. Lema previo: Sea 𝐴∈ ℳ 𝑛𝑥𝑛 (ℛ𝑥ℛ) 𝑨= 𝑎 𝑏 … 𝑏 𝑏 𝑎 … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑏 𝑏 … 𝑏 𝑎 La ecuación característica de los autovalores es 𝐴−𝜆𝐈 = 𝜆−𝑎 −𝑏 … −𝑏 −𝑏 𝜆−𝑎 … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ −𝑏 −𝑏 … −𝑏 𝜆−𝑎 = (𝜆−𝑎+𝑏) 𝑛−1 𝜆−𝑎− 𝑛−1 𝑏 =0 Los autovalores de A son 𝜆 1 = 𝜆 2 =…= 𝜆 𝑛−1 =𝑎−𝑏 𝜆 𝑛 =𝑎+ 𝑛−1 𝑏.

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Dinámica de mejor respuesta con función inversa de demanda lineal y costes marginales constantes 𝑞 𝑖𝑡 =𝐵 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 = 𝑎− 𝑐 𝑖 2𝑏 − 1 2 𝑄 𝑖𝑡−1 𝑖=1,…,𝑛 Teorema (Theocharis) El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n<3 El equilibrio de Cournot-Nash es periódicamente estable siempre que n=3 El equilibrio de Cournot-Nash es inestable siempre que n>3. Demostración (esquema) La matriz del sistema es 0 −1 2 … −1 2 −1 2 0 … −1 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ −1 2 … … 0 Los autovalores de A son 𝜆 1 = 𝜆 2 =…= 𝜆 𝑛−1 =1/2 𝜆 𝑛 =− 𝑛−1 /2. La estabilidad del sistema depende del módulo de los autovalores: El n-ésimo autovalor será estrictamente menor que uno siempre que n≤2, e igual a uno siempre que n=3.

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Dinámica de mejor respuesta con función inversa de demanda lineal y costes marginales constantes 𝑞 𝑖𝑡 =𝐵 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 = 𝑎− 𝑐 𝑖 2𝑏 − 1 2 𝑄 𝑖𝑡−1 𝑖=1,…,𝑛 Teorema (Theocharis) El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n<3 El equilibrio de Cournot-Nash es periódicamente estable siempre que n=3 El equilibrio de Cournot-Nash es inestable siempre que n>3. Práctica con Mathematica A partir de los autovalores de A 𝜆 1 = 𝜆 2 =…= 𝜆 𝑛−1 =1/2 𝜆 𝑛 =− 𝑛−1 /2. Estudiar la estabilidad del sistema mediante la instrucción REDUCE

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Dinámica de mejor respuesta con demanda lineal y costes marginales variables 𝑞 𝑖𝑡 =𝑅 𝑄 𝑖,𝑡−1 = 𝑎−𝑐 2 𝑏+𝑒 − 𝑏 2 𝑏+𝑒 𝑄 𝑖,𝑡−1 Teorema El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que 𝑛< 2𝑒 𝑏 +3 e>−𝑏/2 El equilibrio de Cournot-Nash es inestable en otro caso (excepto 𝑛= 2𝑒 𝑏 +3) Demostración (esquema) La matriz del sistema es 0 −𝑏 2(𝑏+𝑒) … −𝑏 2(𝑏+𝑒) −𝑏 2(𝑏+𝑒) 0 … −𝑏 2(𝑏+𝑒) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ −𝑏 2(𝑏+𝑒) … … 0 , Práctica con Mathematica A partir de los autovalores de A 𝜆 1 = 𝜆 2 =…= 𝜆 𝑛−1 = 𝑏 2 𝑏+𝑒 y 𝜆 𝑛 = −𝑏 𝑛−1 2 𝑏+𝑒 Estudiar la estabilidad del sistema mediante la instrucción REDUCE

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Dinámica de mejor respuesta con demanda lineal y costes marginales variables 𝑞 𝑖𝑡 =𝑅 𝑄 𝑖,𝑡−1 = 𝑎−𝑐 2 𝑏+𝑒 − 𝑏 2 𝑏+𝑒 𝑄 𝑖,𝑡−1 Teorema El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que 𝑛< 2𝑒 𝑏 +3 e>−𝑏/2 El equilibrio de Cournot-Nash es inestable en otro caso (excepto 𝑛= 2𝑒 𝑏 +3) Conclusiones Cuanto más rápidamente aumenten los costes marginales mayor será el número de empresas que pueda acomodar el mercado sin llevar a trayectorias divergentes. los costes marginales decrecientes reducen el número total de empresas que pueden competir en el mercado costes marginales fuertemente decrecientes −b<e<−𝑏/2 Inestable independientemente del número de empresas

PRÁCTICA 10 Dinámica de mejor respuesta con función inversa de demanda lineal y costes marginales variables Partiendo del duopolio estático de Cournot P[Q_] = a - b Q; cost1[Q_] = c1 Q + e1 Q^2;cost2[Q_] = c2 Q + e2 Q^2; B1[q1_, q2_] = q1 P[q1 + q2]-cost1[q1];B2[q1_, q2_]=q2 P[q1 + q2]-cost2[q2]; sol1 = Solve[D[B1[q1, q2], q1] == 0, q1][[1]]; sol2 = Solve[D[B2[q1, q2], q2] == 0, q2][[1]]; CR1[q2_] = q1 /. sol1 CR2[q1_] = q2 /. sol2 eq = Solve[{CR1[q2] == q1, q2 == CR2[q1]}, {q1, q2}]; punto = {q1, q2} /. eq Plantear el duopolio dinámico con dinámica de mejor respuesta eq1 = q1[t] == CR1[q2[t - 1]] eq2 = q2[t] == CR2[q1[t - 1]] sist1 = {eq1, eq2} ci = {q1[0] == q10, q2[0] == q20}; Comprobar que el equilibrio dinámico coincide con el estático Solve[sist1 /. {q1[t - 1] -> x1, q2[t - 1] -> x2, q1[t] -> x1, q2[t] -> x2}, {x1, x2}]

PRÁCTICA 10 (cont) Dinámica de mejor respuesta con función inversa de demanda lineal y costes marginales variables Obtener las soluciones del sistema rsol = RSolve[Join[sist1, ci], {q1[t], q2[t]}, t][[1]]; Representar las soluciones del sistema param = {a -> 20, b -> 3, c1 -> 5, c2 -> 5, e1 -> 0, e2 -> 0}; CI = {q10 -> 1, q20 -> 3}; datos1 = Table[{t, q1[t] /. rsol}, {t, 0, 20}] /. param /. CI; datos1b = Table[{t, q1 /. eq[[1]]}, {t, 0, 20}] /. param /. CI; datos2 = Table[{t, q2[t] /. rsol}, {t, 0, 20}] /. param /. CI; datos2b = Table[{t, q2 /. eq[[1]]}, {t, 0, 20}] /. param /. CI; ListPlot[{datos1, datos2, datos1b, datos2b} /. param, Joined -> True, PlotRange -> All, PlotStyle -> {{Blue, Thick}, {Black, Thick}}, PlotLabel -> "q1 y q2 "]

PRÁCTICA 10 (cont.) Dinámica de mejor respuesta con función inversa de demanda lineal y costes marginales variables Representar las trayectorias del sistema param = {a -> 20, b -> 3, c1 -> 5, c2 -> 5, e1 -> -2, e2 -> -2}; CI = {q10 -> 2, q20 -> 0}; f[{x1_, x2_}] = {CR1[x2], CR2[x1]} /. param; lista = NestList[f, {q10, q20} /. CI, 20]; datos1a = Table[{t, Part[Part[lista, t + 1], 1]}, {t, 0, 20}]; datos2a = Table[{t, Part[Part[lista, t + 1], 2]}, {t, 0, 20}]; ListPlot[{datos1a, datos2a}, AxesOrigin -> {0, 0}, PlotRange -> All, Joined -> True, PlotStyle -> {{Blue, Thick}, {Black, Thick}}]

PRÁCTICA 10 (cont.) Dinámica de mejor respuesta con función inversa de demanda lineal y costes marginales variables Obtener la matriz del sistema y sus autovalores Jacobiana = {{D[eq1[[2]], q1[t - 1]], D[eq1[[2]], q2[t - 1]]}, {D[eq2[[2]], q1[t - 1]], D[eq2[[2]], q2[t - 1]]}} ega = Eigenvalues[Jacobiana] Estudiar en el caso simétrico la estabilidad del sistema en función del parámetro e egas = ega /. {e1 -> e, e2 -> e} ineq1 = Reduce[{Abs[egas[[1]]] < 1, Abs[egas[[2]]] < 1, b > 0, b + e > 0}, e]

MODELO DE COURNOT DINÁMICO dinámica de mejor respuesta con demanda isoelástica y costes constantes 𝑞 𝑖𝑡 = 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖𝑡−1 = 𝑎 𝑄 𝑖𝑡−1 𝑐 − 𝑄 𝑖𝑡−1 Consideraciones modelo dinámico no lineal no podemos hallar una solución explícita y exacta del sistema tenemos que aproximarlo estudiando las desviaciones del equilibrio 𝑞 𝑖 ∗ = 𝑛−1 𝑎 𝑛𝑐 − 𝑛−1 2 𝑎 𝑛 2 𝑐 realizamos su desarrollo de Taylor alrededor de ese punto de equilibrio. el sistema aproximado entorno al equilibrio se define matricialmente como 𝒙 𝑡 =𝐉 𝑞 ∗ , 𝑄 𝑖 ∗ 𝒙 𝑡−1 donde 𝒙 𝒕 = ( 𝑞 1𝑡 − 𝑞 1 ∗ , 𝑞 2𝑡 − 𝑞 2 ∗ ,…, 𝑞 𝑛 − 𝑞 𝑛 ∗ ) 𝒕 El equilibrio es estable si todos sus autovalores tienen módulo menor que uno El equilibrio es inestable si algún autovalor tiene módulo mayor que uno No sabemos nada en otro caso

MODELO DE COURNOT DINÁMICO dinámica de mejor respuesta con demanda isoelástica y costes constantes 𝑞 𝑖𝑡 = 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖𝑡−1 = 𝑎 𝑄 𝑖𝑡−1 𝑐 − 𝑄 𝑖𝑡−1 Teorema El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que 𝑛<4. El equilibrio de Cournot-Nash es inestable siempre que 𝑛>4. Demostración (esquema) Jacobiana 𝐉 𝑞,𝑄 = 0 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 1 −1 … 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 1 −1 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 2 −1 0 … 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 2 −1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 𝑛 −1 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 𝑛 −1 ⋯ 0 Jacobiana en equilibrio 𝐉 𝑞 ∗ , 𝑄 𝑖 ∗ = 0 𝑛 2 𝑛−1 −1 … 𝑛 2 𝑛−1 −1 𝑛 2 𝑛−1 −1 0 … 𝑛 2 𝑛−1 −1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑛 2 𝑛−1 −1 𝑛 2 𝑛−1 −1 ⋯ 0 Práctica con Mathematica A partir de los autovalores de A λ 1 , λ 2 ,…, λ n−1 =1− n 2 n−1 λ n =(n−1) n 2(n−1) −1 Estudiar la estabilidad del sistema mediante la instrucción REDUCE

Práctica 11 dinámica de mejor respuesta con demanda isoelástica y costes constantes 𝑞 𝑖𝑡 = 𝑅 𝑖 𝑄 𝑖𝑡−1 = 𝑎 𝑄 𝑖𝑡−1 𝑐 − 𝑄 𝑖𝑡−1 Plantear el duopolio con dinámica de mejor respuesta Obtener el equilibrio del modelo Obtener las trayectorias del sistema Obtener matriz del sistema asociado y sus autovalores Estudiar la estabilidad del sistema

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Procesos de ajuste dinámico (capacidad para hacer variar los niveles de producción). ajuste parcial de la producción 𝑞 𝑖𝑡 =𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 − 𝑞 𝑖,𝑡−1 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 . El nivel de producción de una empresa en el presente es la suma de su producción en el período anterior una proporción 𝛼 𝑖 de la diferencia entre la producción óptima indicada por su función de reacción y la producción que realmente llevó al mercado (velocidad de ajuste con 0< 𝛼 𝑖 ≤1) La velocidad de ajuste determina la rapidez en la realización de ajustes en los niveles de producción 𝛼 𝑖 =1 ajuste instantáneo (dinámica de mejor respuesta) 𝛼 𝑖 nunca puede ser igual a cero, ya que esto implica que la empresa es incapaz de hacer variar la producción y no tiene otro remedio que mantener el nivel de producción inicial a lo largo del tiempo.

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Ajuste parcial de la producción con demanda lineal y costes marginales constantes 𝑞 𝑖𝑡 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 𝑎− 𝑐 𝑖 2𝑏 − 1 2 𝑄 𝑖𝑡−1 Teorema El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n< 4−α α El equilibrio de Cournot-Nash es periódicamente estable cuando n= 4−α α El equilibrio de Cournot-Nash es inestable en otro caso Demostración (esquema) La matriz es 1−𝛼 −𝛼 2 … −𝛼 2 −𝛼 2 1−𝛼 … −𝛼 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ −𝛼 2 … … 1−𝛼 Práctica con Mathematica A partir de los autovalores de A 𝜆 1 , 𝜆 2 ,…, 𝜆 𝑛−1 =1− 𝛼 2 𝜆 𝑛 =1− 𝑛+1 2 𝛼 Estudiar la estabilidad del sistema mediante la instrucción REDUCE

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Ajuste parcial de la producción con demanda lineal y costes marginales constantes 𝑞 𝑖𝑡 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 𝑎− 𝑐 𝑖 2𝑏 − 1 2 𝑄 𝑖𝑡−1 Teorema El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n< 4−α α El equilibrio de Cournot-Nash es periódicamente estable cuando n= 4−α α El equilibrio de Cournot-Nash es inestable en otro caso Conclusiones El número de empresas que puedan operar en el mercado sin desestabilizar el equilibrio depende de la velocidad del ajuste en la producción Cuanto menor sea la velocidad mayor será el número de empresas que puedan operar en el mercado sin desestabilizar el equilibrio .

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Ajuste parcial de la producción con demanda lineal y costes marginales variables 𝑞 𝑖𝑡 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 𝑎−𝑐 2 𝑏+𝑒 − 𝑏 2 𝑏+𝑒 𝑄 1,𝑡−1 Teorema El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n< 4(b+e)−(b+2e)α αb 𝑒> −𝑏 2 El equilibrio de Cournot-Nash es inestable en otro caso (excepto n= 4(b+e)−(b+2e)α αb ) Demostración (Esquema) Matriz del sistema 1−𝛼 −𝛼𝑏 2(𝑏+𝑒) … −𝛼𝑏 2(𝑏+𝑒) −𝛼𝑏 2(𝑏+𝑒) 1−𝛼 … −𝛼𝑏 2(𝑏+𝑒) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ −𝛼𝑏 2(𝑏+𝑒) … … 1−𝛼 Práctica con Mathematica A partir de los autovalores de A 𝜆 1 = 𝜆 2 =…= 𝜆 𝑛−1 =1−𝛼 𝑏+2𝑒 2 𝑏+𝑒 𝜆 𝑛 = 1−𝛼 1+ 𝑏(𝑛−1) 2(𝑏+𝑒) Estudiar la estabilidad del sistema mediante la instrucción REDUCE

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Ajuste parcial de la producción con demanda lineal y costes marginales variables 𝑞 𝑖𝑡 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 𝑎−𝑐 2 𝑏+𝑒 − 𝑏 2 𝑏+𝑒 𝑄 1,𝑡−1 Teorema El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n< 4(b+e)−(b+2e)α αb 𝑒> −𝑏 2 El equilibrio de Cournot-Nash es inestable en otro caso (excepto n= 4(b+e)−(b+2e)α αb ) Conclusiones El número de empresas que pueden operar en el mercado sin perder la estabilidad depende de la velocidad de ajuste, los costes marginales y la pendiente de la demanda aumenta conforme aumentan los costes marginales y la velocidad de ajuste

Práctica 12 Ajuste parcial de la producción con función inversa de demanda lineal y costes marginales variables 𝑞 𝑖𝑡 =𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 − 𝑞 𝑖,𝑡−1 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 . Partiendo del duopolio estático de Cournot plantear el duopolio con ajuste parcial de la producción eq1 = q1[t] == (1 - alpha1) q1[t - 1] + alpha1 CR1[q2[t - 1]] eq2 = q2[t] == (1 - alpha2) q2[t - 1] + alpha2 CR2[q1[t - 1]] Obtener las soluciones del sistema Representar las soluciones del sistema Representar las trayectorias del sistema Obtener la matriz del sistema y sus autovalores Estudiar en el caso simétrico la estabilidad del sistema en función de e y α

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Ajuste parcial de la producción con demanda isoelástica y costes marginales constante 𝑞 𝑖𝑡 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 𝑎 𝑄 𝑖𝑡−1 𝑐 − 𝑄 𝑖𝑡−1 Teorema El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que 𝑛<4/𝛼. El equilibrio de Cournot-Nash es inestable siempre que 𝑛>4/𝛼. Demostración (esquema) Jacobiana 𝐉 𝑞,𝑄 = 1−𝛼 𝛼 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 1 −1 … 𝛼 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 1 −1 𝛼 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 1 −1 1−𝛼 … 𝛼 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 1 −1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 1 −1 𝛼 𝑎 2 𝑎𝑐 𝑄 1 −1 ⋯ 1−𝛼 Jacobiana en equilibrio 𝐉 𝑞 ∗ , 𝑄 𝑖 ∗ = 1−𝛼 𝛼 𝑛 2 𝑛−1 −1 … 𝛼 𝑛 2 𝑛−1 −1 𝛼 𝑛 2 𝑛−1 −1 1−𝛼 … 𝛼 𝑛 2 𝑛−1 −1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼 𝑛 2 𝑛−1 −1 𝛼 𝑛 2 𝑛−1 −1 ⋯ 1−𝛼 Práctica con Mathematica A partir de los autovalores de A λ 1 , λ 2 ,…, λ n−1 =1−𝛼 𝑛 2(𝑛−1) 𝜆 𝑛 = 2−𝛼𝑛 2 Estudiar la estabilidad del sistema mediante la instrucción REDUCE

Plantear el duopolio con ajuste parcial de la producción Práctica 13 (evaluable) Ajuste parcial de la producción con demanda isoelástica y costes marginales constante 𝑞 𝑖𝑡 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 𝑎 𝑄 𝑖𝑡−1 𝑐 − 𝑄 𝑖𝑡−1 Plantear el duopolio con ajuste parcial de la producción Obtener las trayectorias del sistema Obtener la matriz del sistema asociado y sus autovalores Estudiar la estabilidad del sistema

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Ajuste parcial de la producción (Mejor respuesta diferenciable) 𝑞 𝑖𝑡 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i 𝑄 𝑖𝑡−1 Jacobiana en equilibrio 𝐉 𝑞,𝑄 = 1− 𝛼 1 𝛼 1 𝑟 1 … 𝛼 1 𝑟 1 𝛼 2 𝑟 2 1− 𝛼 2 … 𝛼 2 𝑟 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼 𝑛 𝑟 𝑛 𝛼 𝑛 𝑟 𝑛 ⋯ 1− 𝛼 𝑛 con 𝑟 𝑖 = 𝐵𝑅 𝑖 ′( 𝑄 𝑖 ∗ ) demanda lineal y costes marginales variables 𝑟=− 𝑏 2 𝑏+𝑒 Demanda isoelástica y costes marginales constantes r= 𝑛 2 𝑛−1 −1

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Formación de expectativas sobre la producción rival Mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales q it = BR i Q it e , ∀i=1, 2, …,n Formación de expectativas adaptativas 𝑄 𝑖𝑡 𝑒 = 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 − 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 = 1− 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 modificamos las expectativas en una proporción 𝛽 𝑖 del error cometido 𝛽 𝑖 determina la magnitud de los cambios en las expectativas velocidad de ajuste con 0< 𝛽 𝑖 ≤1 𝛽 𝑖 =1 expectativas ingenuas =ajuste instantáneo de expectativas = dinámica de mejor respuesta 𝛽 𝑖 ≠0 (si fuese cero la empresa sería incapaz de cambiar sus expectativas) El comportamiento de las empresas queda caracterizada por 2n ecuaciones, n indican la reacción a cambios en la producción de los rivales y n regulan la capacidad de utilizar la información disponible para cambiar el objetivo de producción.

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Formación de expectativas sobre la producción rival Mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales q it = BR i Q it e , ∀i=1, 2, …,n Formación de expectativas adaptativas 𝑄 𝑖𝑡 𝑒 = 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 − 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 = 1− 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 El equilibrio se da cuando la producción alcanza un valor constante en el tiempo, pero esta vez con el requisito añadido de que la producción esperada de los rivales también ha de alcanzar un estado estacionario. Este equilibrio es el mismo equilibrio de Cournot-Nash que hallamos en el modelo estático. Los procesos de ajuste dinámico no influyen en el nivel de producción final del sistema sino que determinan el número de períodos necesarios para alcanzarlo o, más bien, si lo alcanza, ya que el sistema podría ser inestable para algunas velocidades de aprendizaje.

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Formación de expectativas sobre la producción rival Mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales q it = BR i Q it e , ∀i=1, 2, …,n Formación de expectativas adaptativas 𝑄 𝑖𝑡 𝑒 = 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 − 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 = 1− 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 Antes: nuestro sistema de ecuaciones estaba formado por las n distintas funciones de dinámica de mejor respuesta Ahora: tenemos que ampliar el sistema en otras n ecuaciones en diferencias adicionales para caracterizar la formación de expectativas. Repercusiones sobre la forma de la matriz de coeficientes: perderá la estructura que caracterizaba a todas las que hemos estudiado hasta ahora y nos obligará a encontrar otra forma de estudiar su estabilidad. VEREMOS que cuanto más lento sea el ajuste de las expectativas, más empresas podrán competir en el mercado y llegar al equilibrio de Cournot-Nash ANALIZAMOS EL CASO SIMÉTRICO EN PARTICULAR

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Formación de expectativas sobre la producción rival Mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales q it = BR i Q it e , ∀i=1, 2, …,n Formación de expectativas adaptativas 𝑄 𝑖𝑡 𝑒 = 1− 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 Los resultados son los mismos que para ajuste de la producción Demostración (Esquema) Jacobiana en equilibrio 𝐉 𝑞 ∗ , 𝑄 ∗ = 𝐉 𝟏𝟏 𝐉 𝟏𝟐 𝐉 𝟐𝟏 𝐉 𝟐𝟐 , con 𝐉 𝟏𝟏 = 0 𝛽𝑟 … 𝛽𝑟 𝛽𝑟 0 … 𝛽𝑟 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛽𝑟 𝛽𝑟 … 0 , 𝐉 𝟏𝟐 = 1−𝛽 𝑟 0 … 0 0 1−𝛽 𝑟 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1−𝛽 𝑟 , 𝐉 𝟐𝟏 = 0 𝛽 … 𝛽 𝛽 0 … 𝛽 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛽 𝛽 … 0 , 𝐉 𝟐𝟐 = (1−𝛽) 0 … 0 0 (1−𝛽) … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … (1−𝛽) , Los autovalores no nulos son los mismos que los de la matriz 𝐻= 1−𝛽 𝑟𝛽 … 𝑟𝛽 𝑟𝛽 1−𝛽 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑟𝛽 𝑟𝛽 … 1−𝛽 ,

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Formación de expectativas sobre la producción rival Mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales q it = BR i Q it e , ∀i=1, 2, …,n Formación de expectativas adaptativas 𝑄 𝑖𝑡 𝑒 = 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 − 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 = 1− 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 OLIGOPOLIO SIMÉTRICO Suponemos que todas las empresas tienen las mismas características y los parámetros el mismo valor. Todos los niveles de producción son iguales y las expectativas sobre la producción rival son las mismas. Tenemos una empresa representativa y sólo dos variables: la producción de la empresa y las expectativas sobre los rivales. 𝑞 𝑡 = BR i 𝑄 𝑡 𝑒 , ∀i=1, 2, …,n 𝑄 𝑡 𝑒 = 𝑄 𝑡−1 𝑒 +𝛽 𝑄 𝑡−1 − 𝑄 𝑡−1 𝑒 = 1−𝛽 𝑄 𝑡−1 𝑒 +𝛽 𝑄 𝑡−1

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Formación de expectativas sobre la producción rival Teorema Sea un oligopolio de 𝑛 empresas iguales y con las mismas expectativas sobre la producción rival con función de demanda inversa lineal, costes cuadráticos y simétricos, ajuste instantáneo de la producción y expectativas adaptativas. El equilibrio de Cournot Nash es equilibrio asintóticamente estable siempre que 𝑛< 4(𝑏+𝑒)−(𝑏+2𝑒)𝛽 𝑏𝛽 El equilibrio de Cournot-Nash es periódicamente estable para 𝑛= 4(𝑏+𝑒)−(𝑏+2𝑒)𝛽 𝑏𝛽 El equilibrio de Cournot-Nash es inestable para 𝑛> 4(𝑏+𝑒)−(𝑏+2𝑒)𝛽 𝑏𝛽 Demostración (esquema) 𝑞 𝑡 = 𝑎−𝑐 2(𝑏+𝑒) − 𝑏 2 𝑏+𝑒 𝑄 𝑡 𝑒 𝑄 𝑡 𝑒 = 1−𝛽 𝑄 𝑡−1 𝑒 +𝛽 𝑛−1 𝑞 𝑡−1 La matriz del sistema es − 𝑏𝛽 𝑛−1 2 𝑏+𝑒 − 𝑏 1−𝛽 2 𝑏+𝑒 𝛽 𝑛−1 1−𝛽 Práctica con Mathematica A partir de los autovalores de A 𝜆 1 =0 y 𝜆 2 =1−𝛽 (𝑏+2𝑒+𝑏𝑛) 2(𝑏+𝑒) 1 Estudiar la estabilidad del sistema mediante la instrucción REDUCE Observación: No hay restricción sobre los costes

Práctica 14 Formación de expectativas sobre la producción rival Mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales q it = BR i Q it e , ∀i=1, 2, …,n Formación de expectativas adaptativas 𝑄 𝑖𝑡 𝑒 = 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 − 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 = 1− 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 Plantear el duopolio con formación de expectativas adaptativas con demanda lineal y costes marginales variables exp1 = q1e[t - 1] + beta1*(q2[t - 1] - q1e[t - 1]) // FullSimplify; aux1 = CR1[exp1] // FullSimplify; exp2 = q2e[t - 1] + beta2*(q1[t - 1] - q2e[t - 1]) // FullSimplify; aux2 = CR1[exp2] // FullSimplify; eq1 = q1[t] == aux1; eq2 = q2[t] == aux2; eq3 = q1e[t] == exp1; eq4 = q2e[t] == exp2; sist1 = {eq1, eq2, eq3, eq4} Obtener las soluciones del sistema Representar las soluciones del sistema Obtener la matriz del sistema y sus autovalores Estudiar en el caso simétrico la estabilidad del sistema en función de los parámetros e y β

Práctica 15 Formación de expectativas sobre la producción rival con demanda lineal y costes marginales variables (oligopolio simétrico) Mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales 𝑞 𝑡 = BR i 𝑄 𝑡 𝑒 , ∀i=1, 2, …,n Formación de expectativas adaptativas 𝑄 𝑡 𝑒 = 𝑄 𝑡−1 𝑒 +𝛽 𝑄 𝑡−1 − 𝑄 𝑡−1 𝑒 = 1−𝛽 𝑄 𝑡−1 𝑒 +𝛽 𝑄 𝑡−1 Plantear el oligopolio simétrico con formación de expectativas adaptativas exp = qe[t - 1] + Beta ((n - 1) q[t - 1] - qe[t - 1]) // FullSimplify out = CR[exp] // FullSimplify eq1 = q[t] == out; eq2 = qe[t] == exp; sist1 = {eq1, eq2} ci = {q[0] == q0, qe[0] == qe0}; Obtener las soluciones del sistema Representar las soluciones del sistema Obtener la matriz del sistema y sus autovalores Estudiar la estabilidad del sistema en función de los parámetros.

Práctica 16 (Evaluable) Formación de expectativas sobre la producción rival con demanda isoelástica y costes marginales constantes. Mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales q it = BR i Q it e , ∀i=1, 2, …,n Formación de expectativas adaptativas 𝑄 𝑖𝑡 𝑒 = 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 − 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 = 1− 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 Plantear el duopolio con formación de expectativas adaptativas Representar las trayectorias del sistema Obtener la matriz del sistema y sus autovalores Estudiar en el caso simétrico la estabilidad del sistema en función de los parámetros. Plantear el oligopolio simétrico con formación de expectativas adaptativas

MODELO DE COURNOT DINÁMICO Formación de expectativas sobre la producción rival y ajuste parcial de la producción Ajuste hacia la mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales 𝑞 𝑖𝑡 =𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i Q it e − 𝑞 𝑖,𝑡−1 = 1− 𝛼 𝑖 𝑞 𝑖,𝑡−1 + 𝛼 𝑖 BR i Q it e . Formación de expectativas adaptativas 𝑄 𝑖𝑡 𝑒 = 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 − 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 = 1− 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 𝑒 + 𝛽 𝑖 𝑄 𝑖,𝑡−1 Práctica final con demanda lineal y costes marginales variables y/o demanda isoelástica y costes marginales constantes Plantear el duopolio con formación de expectativas adaptativas y ajuste parcial de la producción y estudiar en el caso simétrico la estabilidad del sistema en función de los parámetros Plantear el oligopolio simétrico y estudiar la estabilidad del sistema en función de los parámetros.