Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas Esp. Maestrante. Daniel Sáenz C.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. Una ecuación diferencial de la forma 𝑦 / =𝑓 𝑎 1 𝑥+ 𝑏 1 𝑦+ 𝑐 1 𝑎 2 𝑥+ 𝑏 2 𝑦+ 𝑐 2 Se puede llevar a una ecuación diferencial homogénea median el siguiente algoritmo. ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. 1. Solucionamos el sistema lineal 𝑎 1 𝑥+ 𝑏 1 𝑦+ 𝑐 1 =0 𝑎 2 𝑥+ 𝑏 2 𝑦+ 𝑐 2 =0 Si la solución del sistema es 𝑥= 𝛼 ;𝑦= 𝛽 2. El cambio de variable 𝑥=𝑈+ ∝, 𝑑𝑥=𝑑𝑈 𝑦=𝑉+𝛽 , 𝑑𝑦=𝑑𝑉 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. Transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación homogénea en las variables 𝑈 , 𝑉 , de la siguiente forma. 𝑦 / =𝑓 𝑎 1 𝑈+ 𝑏 1 𝑉 𝑎 2 𝑈+ 𝑏 2 𝑉 Solucionamos la ecuación homogénea resultante ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. Ejemplo 1. Solucionar la ecuación diferencial 𝑦 / = 4𝑥+𝑦−9 𝑥−4𝑦+2 Solucionamos el sistema lineal 4𝑥+𝑦−9=0 𝑥−3𝑦+2=0 4𝑥+𝑦=9 𝑥−3𝑦=−2 La solución es: 𝑥=2 , 𝑦=1 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. Cambio de variable 𝑥=𝑈+2 𝑑𝑥=𝑑𝑈 𝑦 =𝑉+1 𝑑𝑦=𝑑𝑉 Reemplazando 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4 𝑈+2 + 𝑉+1 −9 𝑈+2−4 𝑉+1 +2 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4𝑈+8+𝑉+1−9 𝑈+2−4𝑉−4+2 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4𝑈+𝑉 𝑈−4𝑉 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. Resolvemos la ecuación diferencial homogénea 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4𝑈+𝑉 𝑈−4𝑉 Sea 𝑉 = 𝑈𝑊 , entonces 𝑑𝑉 𝑑𝑈 =𝑊+𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 ; 𝑊= 𝑉 𝑈 Dividiendo la E.D.H por U 𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 4+ 𝑉 𝑈 1−4 𝑉 𝑈 𝑊+𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 = 4+𝑊 1−4𝑊 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. 𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 = 4+𝑊 1−4𝑊 −𝑊 𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 = 4+𝑊−𝑊+4 𝑊 2 1−4𝑊 𝑈 𝑑𝑊 𝑑𝑈 = 4+4 𝑊 2 1−4𝑊 1−4𝑊 1+ 𝑊 2 𝑑𝑊= 4𝑑𝑈 𝑈 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. 1−4𝑊 1+ 𝑊 2 𝑑𝑊 =4 𝑑𝑈 𝑈 Separando en dos integrales 1 1+ 𝑊 2 𝑑𝑊− 4𝑊 1+ 𝑊 2 𝑑𝑊=4 𝑑𝑈 𝑈 𝑇𝑎𝑛 −1 𝑊 −2𝐿𝑛 1+ 𝑊 2 =4𝐿𝑛 𝑈 +𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. 𝑇𝑎𝑛 −1 𝑉 𝑈 −2𝐿𝑛 1+ 𝑉 𝑈 2 =4𝐿𝑛 𝑈 +𝐶 𝑇𝑎𝑛 −1 𝑦−1 𝑥−2 −2𝐿𝑛 1+ 𝑦−1 𝑥−2 2 =4𝐿𝑛 𝑥−2 +𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. Solucionar ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

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ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. Si el sistema lineal no tiene solución, es porque las rectas son paralelas y en ese caso se procede mediante el siguiente algoritmo. Solucionar 𝑦 / = 𝑥+𝑦+1 2𝑥+2𝑦−1 El sistema 𝑥+𝑦+1=0 2𝑥+2𝑦+1=0 no tiene solución ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. Observamos que en el denominador de la ecuación diferencial podemos factorizar 2, 𝑦 / = (𝑥+𝑦)+1 2(𝑥+𝑦)−1 llamamos 𝑈 = 𝑥 + 𝑦 , con lo que se tienen 𝑑𝑈 𝑑𝑥 =1+ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 y así 𝑑𝑈 𝑑𝑥 −1= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Reemplazando 𝑑𝑈 𝑑𝑥 −1= 𝑈+1 2𝑈−1 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. 𝑑𝑈 𝑑𝑥 = 𝑈+1 2𝑈−1 +1 𝑑𝑈 𝑑𝑥 = 𝑈+1+2𝑈−1 2𝑈−1 𝑑𝑈 𝑑𝑥 = 3𝑈 2𝑈−1 2𝑈−1 𝑈 𝑑𝑈=3𝑑𝑥 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. 2𝑈−1 𝑈 𝑑𝑈=3 𝑑𝑥 2𝑈−𝐿𝑛 𝑈 =3𝑥+𝐶 2 𝑥+𝑦 −𝐿𝑛 𝑥+𝑦 =3𝑥+𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. ACTIVIDAD Solucionar ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO. Esperamos que este material le halla permitido resolver las dudas sobre ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ CO.