DOCENTE: ANGEL PALACIO BIENVENIDOS AL MUNDO DEL LICENCIADO EN MATEMATICAS Y FISICA EGRESADO DE LA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

A L G E B R A Es el nombre que identifica a una rama de las Matemáticas que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas

Termino algebraico Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más variables literales. 3w 2z Ejemplos: 15a3b5, ab2c, 5x2y,

GRADO DE UN TERMINO ALGEBRAICO Se define el grado de un término algebraico como la suma de los exponentes de cada factor de la parte literal. Grado = 5 + 4 + 7 = 16 

Expresión algebraica Es una expresión en la que se combinan números y letras, ligados entre si por los signos de las operaciones matemáticas Ejemplos: 1). 4x2 – 35y 2). 8a3 + 7xy2 – 3x + 10y 3). 2a3 b2 + 5ab – 3a + 2

Clasificación de las expresiones algebraicas MONOMIO: Expresión algebraica que consta de un solo termino algebraico POLINOMIO: Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. EJEMPLOS: 1). 3a3 + 5a 2). 7x4 – 9x3 + 6x – 10 3). 8xy2 + 5xy – 4x2 Ejemplos: 25a3, 9xy2, 45x2z5

EN LOS POLINOMIOS ENCONTRAMOS: BINOMIOS: Polinomios que consta de dos términos algebraicos EJEMPLO: TRINOMIOS: Polinomios que consta de tres términos 4x7y2 + 5xy 2a3 b2 + 5ab – 3a2

Lenguaje algebraico “Un número cualquiera” x “La suma de dos números” LENGUAJE VERBAL LENGUAJE ALGEBRAICO “Un número cualquiera” x “La suma de dos números” X + y “La diferencia de dos números” X - y “El producto de dos números” xy “El cubo de un número” X3 “El cociente de dos números” 𝑥 𝑦 “El triple del cuadrado de un número” 3x2 “La suma de los cuadrados de dos números” X2 + y2 “El cubo de la quinta parte de un número” 𝑥 5 3

Lenguaje algebraico “¿Cuál es el número que agregado a tres suma ocho?” X + 3 = 8 “las tres quintas partes de un número aumentado en un cuarto” 3𝑥 5 + 1 4 “La diferencia entre un número y su anterior” X – ( x – 1 ) “La suma entre un número par y el triple del siguiente” 2x + 3(2x + 2 ) “El cociente entre un número y su mitad” 𝑥 𝑥 2 “la raíz cubica del cuadrado de la suma de dos números” 3 𝑥+𝑦 2 “la tercera parte de un número aumentado en diez” 𝑥 3 + 10 “Las dos tercera partes de la suma de dos números” 2 3 𝑥+𝑦

TERMINOS SEMEJANTES En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes. EJEMPLOS: 1). 2). El término 4x3 y z2 es semejante con − 7 3 x3 y z2 - Los términos 6a2b 5a2b son semejantes.

Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones, … pero no divisiones.

Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde los ordenadores y la informática hasta la carrera espacial. La fórmula para calcular el volumen de un cubo en función de la longitud (l) de su lado viene dada por: La fórmula que expresa el movimiento de un cuerpo en caída libre viene dada por el siguiente polinomio: t: tiempo g: gravedad

Monomios Son monomios: NO son monomios: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potencia de exponente natural. Son monomios: NO son monomios:

Partes de un monomio Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando. La parte literal la forman las letras y sus exponentes. El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.

Tipos de monomios Monomios opuestos: son semejantes y sus coeficientes Monomios semejantes: tienen la misma parte literal. Monomios opuestos: son semejantes y sus coeficientes son números opuestos. NO semejantes NO opuestos

Operaciones con monomios La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal. Ejemplo 1: Ejemplo 2: No son semejantes, luego no se pueden sumar.

Operaciones con monomios Para multiplicar por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales. Ejemplo 1: Ejemplo 2:

Operaciones con monomios Para dividir por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede). Ejemplo 1: Ejemplo 2:

Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios no semejantes. Grado: 2 + 5 = 7 Coeficiente principal Término independiente Términos Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal se llama término independiente. Se llama coeficiente principal al coeficiente del monomio de mayor grado. El mayor de los grados de todos sus términos se denomina grado del polinomio.

Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio P (x), para un valor x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio. Ejemplo:

Polinomio opuesto El polinomio opuesto de un polinomio P(x), que designamos como -P(x), se obtiene cambiando el signo de todos los términos de P(x). Ejemplo: Polinomio opuesto:

Operaciones con polinomios Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Ejemplo:

Resta de polinomios Para restar polinomios sumamos al primero el opuesto del segundo. Ejemplo:

Multiplicación de polinomios Para multiplicar un monomio por un polinomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo:

Multiplicación de polinomio por polinomio El producto de dos polinomio se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios semejantes. Ejemplo:

División de polinomios Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplos:

Division de polinomio entre polinomio Para dividir un polinomio entre un polinomio, seguiremos los siguientes pasos: 1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal.

División de polinomios 2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente. 3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.

División de polinomios 4º) Se suman algebraicamente. 5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.

División de polinomios 6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

División de polinomios Polinomio dividendo Polinomio divisor Polinomio cociente Polinomio resto

Regla de Ruffini La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo. 1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.

Regla de Ruffini 2º) Se colocan los coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. 3º) A la izquierda se pone el número que se resta a “x” en d(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado. 4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman .

Regla de Ruffini 5º) El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. El último número (recuadro rojo) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.