Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas II Aplicaciones de Modelos Multi-estados Equipo 7: Aguirre Cardoso José Luis Castañeda Mijangos Karla Allison López Torrijos Laura Mendoza Ballesteros Elsa Patricia Montaño Valdez Alin Olivares Alvarado Mónica

Sección 8.6 “Primas”. Suponga que se tiene una persona de edad x, que actualmente está en el estado i de un modelo de multi-estados. Se busca evaluar una anualidad unitaria pagadera continuamente mientras la persona esté en algún estado j (que puede ser igual a i). El valor presente de la anualidad con una fuerza de interés δ por año es 𝑎 𝑥 𝑖𝑗 =𝐸 0 ∞ 𝑒 −𝛿𝑡 𝐼 𝑌 𝑡 =𝑗 𝑌 0 =𝑖 𝑑𝑡 = 0 ∞ 𝑒 −𝛿𝑡 𝐸 𝐼 𝑌 𝑡 =𝑗 𝑌 0 =𝑖 𝑑𝑡 = 0 ∞ 𝑒 −𝛿𝑡 𝑡 𝑃 𝑥 𝑖𝑗 𝑑𝑡 Donde I representa la función indicadora.

Similarmente, si la anualidad es pagadera al inicio de cada año desde el tiempo actual, considerando la condicional de que la persona inició en el estado j dado que la persona está actualmente en el estado i, el valor esperado será: 𝑎 𝑥 𝑖𝑗 = 𝑘=0 ∞ 𝑣 𝑘 𝑘 𝑃 𝑥 𝑖𝑗 Suponga que un beneficio unitario es pagadero inmediatamente en cada transición futura al estado k, dado que la persona está actualmente en el estado i (que puede ser igual a k). Entonces el valor presente esperado del beneficio es: 𝐴 𝑥 𝑖𝑘 = 0 ∞ 𝑗≠𝑘 𝑒 −𝛿𝑡 𝑡 𝑃 𝑥 𝑖𝑗 𝜇 𝑥+𝑡 𝑗𝑘 𝑑𝑡 Para derivar esto, se considera el pago en el intervalo (t, t+dt);

El monto del pago es 1 El factor de discontinuidad (para un dt suficientemente pequeño) es 𝑒 −𝛿𝑡 , y finalmente La probabilidad de que se pague el beneficio, es la probabilidad de que la persona pase al estado k en el intervalo (t, t+dt), dado que la persona está en el estado i a tiempo 0. Para pasar al estado k en el intervalo mencionado, la persona debe estar en algún estado j que no sea el inmediato anterior a k (la probabilidad de dos transiciones en un tiempo infinitesimal es insignificante), con probabilidad 𝑡 𝑃 𝑥 𝑖𝑗 , luego se tiene la transferencia de j a k en el intervalo supuesto, con probabilidad 𝜇 𝑥+𝑡 𝑗𝑘 . Sumando sobre todos los posibles intervalos de tiempo se deduce la ecuación anterior.

Ejemplo 8.6 Una aseguradora, emite una póliza de seguro de ingresos por discapacidad a 10 años para una persona saludable de edad 60. Calcular las primas para las siguientes dos pólizas diseñadas usando el modelo y parámetros mencionados a continuación. Asumir una tasa de interés del 5% efectiva anual y que no hay gastos. a)Las primas son pagaderas continuamente mientras la persona se encuentre en un estado saludable. Un beneficio de $20000 anual es pagadero continuamente mientras esté en un estado de discapacidad. El beneficio por muerte es de $50000 y se paga inmediatamente al momento de muerte. b)Las primas son pagaderas mensualmente de manera anticipada y están condicionadas a que la persona esté en estado saludable en la fecha de pago de prima. El beneficio por enfermedad de $20000 por año es pagadero mensualmente de manera vencida (¿) si la persona se encuentra en estado de enfermedad al momento de pago. El beneficio por muerte de $50000 es pagadero inmediatamente al momento de muerte.

Las intensidades de transición para este modelo son: 𝝁 𝒙 𝟎𝟏 = 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝒆𝒙𝒑 𝒄 𝟏 𝒙 𝝁 𝒙 𝟏𝟎 =𝟎.𝟏 𝝁 𝒙 𝟎𝟏 𝝁 𝒙 𝟎𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒆𝒙𝒑 𝒄 𝟐 𝒙 𝝁 𝒙 𝟏𝟐 = 𝝁 𝒙 𝟎𝟐 Donde 𝑎 1 =4× 10 −4 𝑎 2 =5× 10 −4 𝑏 1 =3.4674× 10 −6 𝑏 2 =7.5858× 10 −5 𝑐 1 =0.138155 𝑐 2 =0.087498

Solución a) En este caso se compara el valor presente de las primas con el valor presente de los beneficios. El cálculo del valor presente de los beneficios requiere una integración numérica. Todos los valores abajo pueden ser calculados usando la regla de Simpson, con un tamaño del paso ℎ=1/12, usando la tabla mostrada a continuación

Sea P la prima anual. Entonces, el valor presente de la prima es: 𝑃 𝑎 0:10 00 =𝑃 0 10 𝑒 −𝛿𝑡 𝑡 𝑃 60 00 𝑑𝑡 Donde 𝑎 0:10 00 = 0 10 𝑒 −𝛿𝑡 𝑡 𝑃 60 00 𝑑𝑡 =6.5714 Luego, el valor presente del beneficio por enfermedad es: 20000 𝑎 0:10 01 =20000 0 10 𝑒 −𝛿𝑡 𝑡 𝑃 60 01 𝑑𝑡 De donde se sigue que 𝑎 0:10 01 = 0 10 𝑒 −𝛿𝑡 𝑡 𝑃 60 01 𝑑𝑡 =0.66359

Por último, el valor presente del beneficio por muerte es: 50000 𝐴 60:10 02 =50000 0 10 𝑒 −𝛿𝑡 𝑡 𝑃 60 00 𝜇 60+𝑡 02 + 𝑡 𝑃 60 01 𝜇 60+𝑡 12 𝑑𝑡 Resolviendo la integral se tiene que 𝐴 60:10 02 = 0 10 𝑒 −𝛿𝑡 𝑡 𝑃 60 00 𝜇 60+𝑡 02 + 𝑡 𝑃 60 01 𝜇 60+𝑡 12 𝑑𝑡 =0.16231 La prima anual será: 𝑃= 20000 𝑎 60:10 01 +50000 𝐴 60:10 01 𝑎 60:10 00 =$3,254.65

Ahora se debe encontrar el valor presente de las anualidades pagaderas mensualmente, y se puede calcular usando la tabla de la página anterior. Para calcular el valor presente de los ingresos por prima se calcula: 𝑎 60:10 12 00 = 1 12 1+ 1 12 𝑃 60 00 𝑉 1 12 + 2 12 𝑃 60 00 𝑉 2 12 + 3 12 𝑃 60 00 𝑉 3 12 +…+ 9 11 12 𝑃 60 00 𝑉 9 11 12 =6.5980 Y para calcular el valor presente del beneficio por enfermedad se tiene: 𝑎 60:10 12 01 = 1 12 1+ 1 12 𝑃 60 01 𝑉 1 12 + 2 12 𝑃 60 01 𝑉 2 12 + 3 12 𝑃 60 01 𝑉 3 12 +…+ 10 𝑃 60 01 𝑉 10 =0.66877

Nótese que la prima es pagadera por adelantado, por lo que el último pago es a tiempo 9 11 12 . El beneficio por discapacidad se paga al vencimiento, así que el pago se hará a tiempo 10 si el tenedor de la póliza queda discapacitado para ese momento. El beneficio por muerte es como en el inciso anterior, así que la prima será $3,257.20 anual o $271.43 mensual.

Sección 8.7 “Reservas y Ecuación diferencial de Thiele” La reserva es el valor esperado en ese momento de la variable aleatoria de pérdida futura condicionado a que la póliza se encuentre en un estado determinado en ese momento Notación: 𝑡 𝑉 (𝑖) La clave para calcular la reserva es la ecuación diferencial de Thiele, que puede ser resuelto numéricamente usando el método de Euler. Comenzamos considerando un ejemplo particular representado por el modelo de seguro de ingresos por discapacidad, entonces consideramos el caso general para ello.

“El modelo de ingresos por discapacidad” Considere una póliza con un término de n años emitidos a una persona de edad x. Las primas son pagaderas continuamente a lo largo del plazo con prima de tarifa P por año mientras la persona es saludable, un beneficio de anualidad se paga continuamente con beneficio B por año, mientras que la persona está enferma, y ​​una suma global, S, se paga inmediatamente después de la muerte dentro del plazo. Es posible pasar del estado de enfermos a saludable. 𝑃 𝐵 𝑆

𝑡 𝑉 (0) = 𝑡 𝐵 𝑎 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 01 +𝑆 𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 02 −𝑃 𝑎 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 00 Ejemplos. Por simplicidad, ignoraremos los gastos en esta sección, pero estos podrían incluirse como 'beneficios' adicionales o 'primas' negativas siempre que se paguen continuamente a una tasa constante mientras la persona está en un estado determinado y/o se paga como un pago de suma global de inmediato entre la transición de estados. También por simplicidad, supongamos que la prima, los beneficios y la fuerza de interés, 𝛿 por año, son constantes en lugar de depender del tiempo. a) Muestre que para 0 ≤ t < n 𝑡 𝑉 (0) = 𝑡 𝐵 𝑎 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 01 +𝑆 𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 02 −𝑃 𝑎 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 00 Y deduzca una expresión similar 𝑡 𝑉 (1) Sol. APV (Beneficios futuros)=APV (Beneficio de incapacidad futura) +APV (Beneficio de muerte futura) APV (Beneficios futuros) – APV (Primas futuras condicionadas a estar en el estado 0 al tiempo t) = APV (Beneficio de incapacidad futura) + APV (Beneficio de muerte futura) – APV (Primas futuras condicionadas a estar en el estado 0 al tiempo t)

Siguiendo la misma idea, tenemos que: Tenemos que 𝑡 𝑉 (𝑖) es el valor de la póliza al tiempo t estando en el estado i, entonces el lado derecho de la ecuación representa 𝑡 𝑉 (0) y estando al tiempo t y en el estado 0 tenemos que: Siguiendo la misma idea, tenemos que: APV (Beneficio de incapacidad futura) =𝐵 𝑎 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 01 APV(Beneficio de muerte futura) = 𝑆 𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 02 APV(Primas futuras condicionadas a estar en el estado 1 al tiempo t ) = 𝑃 𝑎 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 00 𝑡 𝑉 (1) = APV (Beneficio de incapacidad futura) + APV (Beneficio de muerte futura) – APV (Primas futuras condicionadas a estar en el estado 1 al tiempo 0)

𝒕 𝑽 (𝟏) =𝑩 𝒂 𝒙+𝒕:𝒏−𝒕 𝟏𝟏 +𝑺 𝑨 𝒙+𝒕:𝒏−𝒕 𝟏𝟐 −𝑷 𝒂 𝒙+𝒕:𝒏−𝒕 𝟏𝟎 Lo anterior estando al tiempo t y en el estado 1, entonces : Por lo tanto: APV (Beneficio de incapacidad futura) =𝐵 𝑎 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 01 Debe permanecer en el estado 1 para recibir este beneficio APV(Beneficio de muerte futura) = 𝑆 𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 02 Debe pasar del estado 1 al estado 2 para recibir este beneficio APV(Primas futuras condicionadas a estar en el estado 1 al tiempo t ) = 𝑃 𝑎 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡 00 Debe pasar del estado 1 al estado 0 para volver a pagar primas 𝒕 𝑽 (𝟏) =𝑩 𝒂 𝒙+𝒕:𝒏−𝒕 𝟏𝟏 +𝑺 𝑨 𝒙+𝒕:𝒏−𝒕 𝟏𝟐 −𝑷 𝒂 𝒙+𝒕:𝒏−𝒕 𝟏𝟎

Donde 𝑆 𝑛 = 𝑒 𝛿ℎ −1 𝛿 =ℎ+𝑜 ℎ y 𝑒 𝛿ℎ =1+ 𝛿ℎ+𝑜(ℎ) b) Muestre que para 0 ≤ t < n 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 𝑉 (0) = 𝛿 𝑡 𝑉 (0) +𝑃− 𝜇 𝑥+𝑡 01 (𝑡 𝑉 (1) −𝑡 𝑉 (0) )− 𝜇 𝑥+𝑡 02 (𝑆− 𝑡 𝑉 (0) ) Y 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 𝑉 (1) = 𝛿 𝑡 𝑉 (1) +𝐵− 𝜇 𝑥+𝑡 10 (𝑡 𝑉 (0) −𝑡 𝑉 (1) )− 𝜇 𝑥+𝑡 12 (𝑆− 𝑡 𝑉 (1) ) Sol. Pensamos en 𝑡 𝑉 (0) como el monto que el asegurado aporta al tiempo t, dado que el asegurado está en el estado 0 y que, en términos de valores esperados, este monto es exactamente suficiente para afrontar futuras pérdidas. Sea h tal que t < t+h < n pequeña. Considere qué pasa entre t y t+h. Las primas recibidas y el interés ganado va a aumentar el monto del asegurado a: 𝑡 𝑉 (0) = 𝑒 𝛿ℎ +𝑃 𝑆 𝑛 Donde 𝑆 𝑛 = 𝑒 𝛿ℎ −1 𝛿 =ℎ+𝑜 ℎ y 𝑒 𝛿ℎ =1+ 𝛿ℎ+𝑜(ℎ)

𝑡 𝑉 (0) 𝑒 𝛿ℎ +𝑃 𝑆 𝑛 = 𝑡 𝑉 (0) 1+ 𝛿ℎ +𝑃ℎ+𝑜(ℎ) 𝑡 𝑉 (0) 𝑒 𝛿ℎ +𝑃 𝑆 𝑛 = 𝑡 𝑉 (0) 1+ 𝛿ℎ +𝑃ℎ+𝑜(ℎ) Este monto debe ser suficiente para proveer el monto que la aseguradora espera necesitar en el tiempo t + h. En este monto es una póliza de 𝑡+ℎ 𝑉 (0) y posible monto extra de: 𝑺−𝒕+𝒉 𝑽 (𝟎) si el asegurado muere: la probabilidad es 𝒉 𝝁 𝒙+𝒕 (𝟎𝟐) +𝒐(𝒉) 𝒕+𝒉 𝑽 (𝟏) − 𝒕+𝒉 𝑽 (𝟎) si el asegurado enferma: la probabilidad es 𝒉 𝝁 𝒙+𝒕 (𝟎𝟏) +𝒐(𝒉) ⇒ 𝑡 𝑉 (0) (1+𝛿ℎ) +𝑃ℎ=𝑡+ℎ 𝑉 (1) +ℎ 𝜇 𝑥+𝑡 02 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 (1) + 𝜇 𝑥+𝑡 01 (𝑡+ℎ 𝑉 1 −𝑡+ℎ 𝑉 (0) ) 𝜇 𝑥+𝑡 02 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 (1) + 𝜇 𝑥+𝑡 01 (𝑡+ℎ 𝑉 1 −𝑡+ℎ 𝑉 (0) ) +𝑜(ℎ) ⇒ 𝑡 𝑉 (0) (1+𝛿ℎ) ℎ +𝑃= 𝑡+ℎ 𝑉 (0) ℎ + 𝜇 𝑥+𝑡 02 𝑆−𝑡+ℎ 𝑉 (0) + 𝜇 𝑥+𝑡 01 (𝑡+ℎ 𝑉 1 −𝑡+ℎ 𝑉 (0) )+𝑜(ℎ) ⇒ 𝑡 𝑉 (0) − 𝑡+ℎ 𝑉 (0) ℎ =𝛿 𝑡 𝑉 (0) +𝑃− 𝜇 𝑥+𝑡 02 𝑆−𝑡+ℎ 𝑉 0 − 𝜇 𝑥+𝑡 01 (𝑡+ℎ 𝑉 1 − 𝑡+ℎ 𝑉 0 )−𝑜(ℎ) Sacando el limite para h: lim ℎ→0 𝑡 𝑉 (0) −𝑡+ℎ 𝑉 (0) ℎ = 𝛿 𝑡 𝑉 (0) +𝑃− 𝜇 𝑥+𝑡 02 𝑆−𝑡+ℎ 𝑉 0 − 𝜇 𝑥+𝑡 01 (𝑡+ℎ 𝑉 1 −𝑡+ℎ 𝑉 0 )= 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 𝑉 0

⇒ 𝑡 𝑉 1 𝑒 𝛿ℎ +𝐵 𝑆 𝑛 = 𝑡 𝑉 1 1+ 𝛿ℎ +𝐵ℎ+𝑜(ℎ) Ahora, con 𝑡 𝑉 1 , también debemos tener lo suficiente para afrontar los gastos futuros también consideramos t < t+h < n, h pequeño. Pero como estamos en el estado 1 no se reciben primas si no que se pagan beneficios, entonces entre t y t+h tenemos: ⇒ 𝑡 𝑉 1 𝑒 𝛿ℎ +𝐵 𝑆 𝑛 = 𝑡 𝑉 1 1+ 𝛿ℎ +𝐵ℎ+𝑜(ℎ) ⇒ 𝑡 𝑉 1 (1+𝛿ℎ) +𝐵ℎ= 𝑡+ℎ 𝑉 1 +ℎ 𝜇 𝑥+𝑡 12 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 1 + 𝜇 𝑥+𝑡 11 ( 𝑡+ℎ 𝑉 0 − 𝑡+ℎ 𝑉 1 ) 𝜇 𝑥+𝑡 12 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 1 + 𝜇 𝑥+𝑡 11 ( 𝑡+ℎ 𝑉 0 − 𝑡+ℎ 𝑉 1 ) +𝑜(ℎ) ⇒ 𝑡 𝑉 1 (1+𝛿ℎ) ℎ −𝐵= 𝑡+ℎ 𝑉 1 ℎ + 𝜇 𝑥+𝑡 12 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 1 + 𝜇 𝑥+𝑡 11 ( 𝑡+ℎ 𝑉 0 − 𝑡+ℎ 𝑉 1 )+𝑜(ℎ) ⇒ lim ℎ→0 𝑡 𝑉 (1) − 𝑡+ℎ 𝑉 (1) ℎ =𝛿 𝑡 𝑉 1 − 𝜇 𝑥+𝑡 12 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 1 + 𝜇 𝑥+𝑡 11 𝑡+ℎ 𝑉 0 − 𝑡+ℎ 𝑉 1 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 𝑉 1

Calcule P usando el principio de equivalencia c) Suponga que x=40, n=20, δ=0.04, B= $100000, S= $500000 Y 𝜇 𝑥 01 =𝑎1+𝑏1𝑒𝑥𝑝 𝑐1𝑥 𝜇 𝑥 10 =0.1 𝜇 𝑥 01 𝜇 𝑥 02 =𝑎2+𝑏2𝑒𝑥𝑝 𝑐2𝑥 𝜇 𝑥 12 = 𝜇 𝑥 02 Con a1 = 4 𝑥 10 −4 , b1 = 3.4674 𝑥 10 −6 , c1 = 0.138155 a2 = 5 𝑥 10 −4 , b2 = 7.5858 𝑥 10 −5 , c2 = 0.087498 Calcule 10 𝑉 (0) , 10 𝑉 (1) y 0 𝑉 (0) para n = 20 usando el método de Euler con periodos de 1/12 de año dado que P = $5,500 y P = $6,000. Calcule P usando el principio de equivalencia

Sol. (i) El método de Euler para la evaluación numérica de 𝑡 𝑉 1 y 𝑡 𝑉 0 se basa en reemplazar los derivados obtenidos en el inciso anterior para la aproximación discreta para los periodos h. Con esto podemos escribir: Poniendo esto en el resultado de lo anterior tendríamos una fórmula para 𝑡+ℎ 𝑉 0 en términos de 𝑡 𝑉 1 y 𝑡 𝑉 0 . Esto no es lo ideal; teniendo los valores iniciales 0 𝑉 1 = 0 𝑉 0 =0 y la que al final todo el dinero del asegurado se le regresa, no quede nada en la reserva, si es que llega vivo podemos trabajar con fórmulas recursivas para n-h, n-2h … y así sucesivamente hasta llegar al 0. 𝒅 𝒅𝒕 𝒕 𝑽 𝟏 = 𝒕+𝒉 𝑽 𝟏 − 𝒕 𝑽 𝟏 𝒉 + 𝒐(𝒉) 𝒉 𝒅 𝒅𝒕 𝒕 𝑽 𝟎 = 𝒕+𝒉 𝑽 𝟎 − 𝒕 𝑽 𝟎 𝒉 + 𝒐(𝒉) 𝒉

Por esto es más conveniente tener fórmulas para 𝑡+ℎ 𝑉 0 y 𝑡+ℎ 𝑉 1 escribiendo: Y análogamente para 𝑡−ℎ 𝑉 1 : 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 𝑉 0 = 𝑡 𝑉 0 − 𝑡−ℎ 𝑉 0 ℎ + 𝑜(ℎ) ℎ ⇒ 𝑡 𝑉 0 − 𝑡−ℎ 𝑉 0 ℎ + 𝑜(ℎ) ℎ = 𝛿 𝑡 𝑉 0 +𝑃− 𝜇 𝑥+𝑡 02 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 0 + 𝜇 𝑥+𝑡 01 ( 𝑡+ℎ 𝑉 1 − 𝑡+ℎ 𝑉 0 ) ⇒ 𝑡−ℎ 𝑉 0 = 𝑡 𝑉 0 (1−𝛿ℎ) −𝑃ℎ+ℎ 𝜇 𝑥+𝑡 02 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 0 + 𝜇 𝑥+𝑡 01 ( 𝑡+ℎ 𝑉 1 − 𝑡+ℎ 𝑉 0 ) 𝜇 𝑥+𝑡 02 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 0 + 𝜇 𝑥+𝑡 01 ( 𝑡+ℎ 𝑉 1 − 𝑡+ℎ 𝑉 0 ) +𝑜(ℎ) ⇒ 𝑡−ℎ 𝑉 1 = 𝑡 𝑉 1 (1−𝛿ℎ) −𝐵ℎ+ℎ 𝜇 𝑥+𝑡 12 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 1 + 𝜇 𝑥+𝑡 10 ( 𝑡+ℎ 𝑉 0 − 𝑡+ℎ 𝑉 1 ) 𝜇 𝑥+𝑡 12 𝑆− 𝑡+ℎ 𝑉 1 + 𝜇 𝑥+𝑡 10 ( 𝑡+ℎ 𝑉 0 − 𝑡+ℎ 𝑉 1 ) +𝑜(ℎ)

(ii) El principio de equivalencia nos dice que nuestros ingresos son iguales a los egresos a valor presente (no hay ni ganancias ni pérdidas). Entonces se traen las primas a valor presente (nota: no debe de seguir en el estado 0 el asegurado para seguir pagando las primas) y del otro lado de la ecuación de traen a valor presente B (para lo cual se debe pasar al estado 1, viniendo del estado 0, ya que se supone que el asegurado al inicio de la póliza está sano) y S (también con la condición de comenzar en el estado 0 pero pasar al estado 2) Entonces: Con: 𝑃 𝑎 40:20 00 =𝐵 𝑎 40:20 01 +𝑆 𝐴 40:20 02 ⇒ 𝑃= 100,000 0.31593 +500,000(0.08521) 12.8535 =5,772.59 𝑎 40:20 00 = 0 20 𝑒 −4𝑡 𝑡 𝑝 40 00 𝑑𝑡=12.8535 𝑎 40:20 01 = 0 20 𝑒 −4𝑡 𝑡 𝑝 40 01 𝑑𝑡=0.31593 𝐴 40:20 01 = 0 20 𝑒 −4𝑡 ( 𝑡 𝑝 40 01 𝜇 𝑥 12 + 𝑡 𝑝 40 00 𝜇 𝑥 02 ) 𝑑𝑡=0.08521

𝝁 𝒙𝒚 𝟎𝟏 =𝑨+𝑩 𝒄 𝒚 𝝁 𝒙𝒚 𝟎𝟐 =𝑨+𝑫 𝒄 𝒙 𝝁 𝒙𝒚 𝟎𝟑 =𝟓× 𝟏𝟎 −𝟓 Ejercicio 8.5 Una compañía aseguradora emite una póliza de seguro de vida conjunta a un matrimonio. El esposo tiene edad 28 y la esposa edad 27. La póliza proporciona un beneficio de $500,000 inmediatamente a la muerte del esposo siempre que él muera primero. Se estipula que si la pareja muere al mismo tiempo, se considera que el de mayor edad murió primero. Las primas son pagaderas anualmente por adelantado mientras ambos permanezcan con vida por a lo más 30 años. Calcular la prima neta anual usando una tasa efectiva de interés del 5% por año y las intensidades de transición dadas a continuación 𝝁 𝒙𝒚 𝟎𝟏 =𝑨+𝑩 𝒄 𝒚 𝝁 𝒙𝒚 𝟎𝟐 =𝑨+𝑫 𝒄 𝒙 𝝁 𝒙𝒚 𝟎𝟑 =𝟓× 𝟏𝟎 −𝟓 Donde A=0.0001, B=0.0003, C=1.075, D=0.00035.

Esposo vivo Esposa viva Estado 0 Esposo vive Esposa muere Estado 1 Esposo muere Esposa muere Estado 3 Esposo muere Esposa vive Estado 2

𝑷=$𝟒,𝟗𝟒𝟖.𝟐𝟒 Solución de manera analítica Por lo visto anteriormente, se sabe que la fórmula para la prima anual es 𝑃 𝑎 28:27:30 =500,000 0 ∞ 𝑉 𝑡 𝑡 𝑃 28:27 00 ( 𝜇 28+𝑡:27+𝑡 02 + 𝜇 28+𝑡:27+𝑡 03 )𝑑𝑡 Donde 𝑎 28:27:30 00 = 𝑘=0 29 𝑉 𝑘 𝑘 𝑃 28:27 00 y 𝑡 𝑃 28:27 00 = exp − 0 𝑡 𝜇 28+𝑡:27+𝑡 01 + 𝜇 28+𝑡:27+𝑡 02 + 𝜇 28+𝑡:27+𝑡 03 𝑑𝑡 = exp − 𝐴 𝑡 ×exp − 𝐵 ln 𝐶 𝐶 28 𝐶 𝑡 −1 ×𝑒𝑥𝑝 −𝐴 𝑡 ×exp − 𝐷 ln 𝐶 𝐶 27 𝐶 𝑡 −1 × exp − 5× 10 −5 𝑡 Y resolviendo las integrales, finalmente se obtiene que 𝑷=$𝟒,𝟗𝟒𝟖.𝟐𝟒

Solución con ayuda de Excel y mathematica Se resolvió el ejercicio mediante el uso de Excel y se calculó la integral haciendo uso de wólfram. DATOS   edades x 28 y 27 beneficio 500000 i 0.05 pago prima 30 intensidades mxy(01) 0.002214218 mxy(02) 0.002751582 mxy(03) 0.00005 A 0.0001 B 0.0003 C 1.075 D 0.00035

seguro 0.4062007 PRIMA 4948.239999 anualidad t V^t tP^(00) 28:27 1   t V^t tP^(00) 28:27 1 0.135335283 0.95238095 0.994848359 2 0.90702948 0.989754293 3 0.8638376 0.984099389 4 0.82270247 0.978060043 5 0.78352617 0.97161272 6 0.7462154 0.964732859 7 0.71068133 0.957394921 8 0.67683936 0.949572438 9 0.64460892 0.941238067 10 0.61391325 0.932363683 11 0.58467929 0.922920479 12 0.55683742 0.912879102 13 0.53032135 0.902209821 14 0.50506795 0.890882719 15 0.4810171 0.87886794 16 0.45811152 0.866135959 17 0.43629669 0.852657918 18 0.41552065 0.838405994 19 0.39573396 0.823353837 20 0.37688948 0.807477059 21 0.35894236 0.790753779 22 0.34184987 0.773165237 23 0.32557131 0.754696471 24 0.31006791 0.735337048 25 0.29530277 0.715081865 26 0.28124073 0.693931989 27 0.26784832 0.671895553 28 0.25509364 0.648988675 29 0.24294632 0.625236394 ä28:27(30) 41.04496347 seguro 0.4062007 PRIMA 4948.239999

Puede verse que en ambas soluciones al problema se llegó al mismo resultado, por lo que finalmente se concluye que la prima debe ser $4,948.24. A manera de conclusión, puede verse que, en los seguros de vidas múltiples o conjuntas, resulta de utilidad tomar en cuenta todos los posibles escenarios de siniestro, así como considerar la posibilidad de que las vidas conjuntas terminen al mismo tiempo. De esta manera no se da lugar a ambigüedades y los cálculos resultan más precisos, lo cual es de gran utilidad e importancia para cualquier compañía aseguradora.

¡Gracias! 