Kriging Consideremos información de determinada propiedad en el yacimiento y puntos en los cuales se tiene la estimación dea partir de los puntos

Kriging Existen diversos métodos para obtener Vecino más cercano Interpolación estándar Regresión lineal Métodos basados en Splines... No toman en cuenta la información aportada por el variograma !

Kriging El vecino más cercano

Distancia inversa Kriging

Planteamiento básico de la estimación por Kriging: Considerar la estimación decomo una combinación lineal de las observaciones disponibles y escoger los pesos bajo un criterio en el cual se considera que dicha estimación es óptima. Este es que el estimador sea insesgado y que sea mínima

Kriging Simple El caso más simple se denomina kriging simple y la hipótesis básica es la estacionaridad junto con el hecho de que se asume que la media de la función aleatoria es conocida. Esto es, 1° CASO. m = 0 Bajo esta condición se asegura que el estimador de kriging es insesgado, ya que KRIGING SIMPLE

Ahora sólo resta hallar los pesos para que la condición de varianza mínima se satisfaga. Considérese primero el caso en que se cuenta con una sola observación Entonces Kriging Simple

Derivando respecto al parámetro e igualando a cero se tiene Con lo cual Es decir, el estimador de kriging simple es igual al valor conocido de la variable multiplicado por la correlación que existe entre la variable en el punto objetivo y la variable en el punto de observación. Kriging Simple

Utilizando el valor del parámetro se obtiene que: Este tipo de resultado generalmente se utiliza para determinar el error asociado a la estimación. Debe ser usado con cautela porque no depende directamente de los datos si no de la continuidad espacial de estos ! Utilizando la forma del estimador de kriging se puede demostrar que: Kriging Simple

Considérese ahora el caso en que se cuenta con dos observaciones: + Kriging Simple

Ahora hay dos parámetros desconocidos y por lo tanto hay que calcular dos derivadas e igualarlas a cero De esta manera se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se puede escribir en forma matricial como: Kriging Simple

Utilizando el hecho de que los parámetros resuelven el sistema de ecuaciones se obtiene que: Nuevamente, el error no depende directamente de los datos si no de la continuidad espacial de estos. Kriging Simple

Utilizando el hecho de que los valores ’s resuelven el sistema de ecuaciones se puede demostrar que: Es decir, el estimador de kriging simple es ortogonal al error. Esto es una propiedad muy importante que solo satisface el kriging simple. Utilizando este resultado se tiene que Lo que muestra que: Kriging Simple

El caso general se obtiene de manera análoga: Derivando respecto a cada uno de los parámetros e igualando a cero se obtiene un sistema de N ecuaciones con N incógnitas Kriging Simple

Relación entre las observaciones Relación de las observaciones con el punto a estimar o equivalentemente Kriging Simple

La varianza del error o varianza del kriging es entonces: Nuevamente, el error no depende directamente de los datos si no de la continuidad espacial de estos. Kriging Simple

2° CASO. m  0 En este caso se consideran nuevas funciones aleatorias de media cero para aplicar el caso de kriging simple estudiado anteriormente. La nueva función aleatoria es estacionaria y tiene media cero, por lo cual el estimador de kriging simple es: Kriging Simple

Que ocurre si todos los valores observados son no correlacionados entre si ? Y la solución es El estimador de kriging simple es entonces una combinación lineal de los valores observados, donde los pesos de cada observación corresponden a la correlación entre dicha observación y el punto a estimar. Kriging Simple

Que ocurre si todos los valores observados son no correlacionados con el punto a estimar ? Como la matriz es invertible la solución es: Y el estimador de kriging simple es entonces: Kriging Simple

Que ocurre si el punto a estimar está fuera del rango de la función de covarianza ? Kriging Simple

Una propiedad muy importante del kriging simple es la siguiente: Si la función aleatoria Z(x) es gaussiana entonces: Es decir, el valor esperado de la propiedad en el punto u dado los valores observados es el valor del kriging simple ! Esta propiedad es fundamental para obtener simulaciones estocásticas de propiedades, como se estudiará más adelante.

KRIGING ORDINARIO Generalmente el valor de la media m es desconocido y por lo tanto no se puede utilizar el kriging simple. El kriging ordinario establece una condición adicional al sistema de ecuaciones del kriging simple para filtrar el valor desconocido de la media. Al igual que antes el estimador propuesto es de la forma Kriging Ordinario

Para que el estimador sea insesgado debe ocurrir De esta forma, como debe ocurrir que: Kriging Ordinario

En kriging ordinario el problema de minimización de la varianza del error es distinto al caso de kriging simple. No es suficiente buscar los valores ’s que minimizan la varianza. Hay que buscar los valores ’s que minimizan la varianza y que satisfagan que su suma sea igual a 1, para garantizar la condición de insesgamiento. Este tipo de problema de minimización con restricciones se resuelve utilizando una técnica denominada multiplicadores de Lagrange La idea es establecer un sistema de ecuaciones que incluya la restricción sobre los valores ’s

Considérese una nueva función  de la forma siguiente: El punto donde la nueva función alcanza un mínimo contiene los valores de los ’s que minimizan la varianza y cuya suma es igual a 1. Para minimizar a la función  no existen restricciones, por lo que sólo hay que calcular las derivadas e igualarlas a cero. Kriging Ordinario

Igualando a cero las derivadas se tiene que:

Kriging Ordinario Sabemos que: Y por lo tanto se obtiene que:

Kriging Ordinario El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como: Condición para filtrar el valor desconocido de la media

Kriging Ordinario Ahora la varianza del error es: Nuevamente, el error no depende directamente de los datos si no de la continuidad espacial de estos.

Kriging Ordinario Kriging ordinario usando el variograma Usando la relación usual entre el variograma y la covarianza Y el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial es entonces

Kriging Ordinario Y por lo tanto los resultados obtenidos serán exactamente iguales. Esta propiedad no es cierta en el caso del kriging simple. Esto es, el sistema de ecuaciones del kriging simple sólo debe ser escrito usando la función de covarianza y NO el variograma.

Que ocurre si todos los valores observados son no correlacionados entre si ? Kriging Ordinario

Utilizando la condición de insesgamiento se puede obtener el valor del parámetro de Lagrange:

Si además los valores son no correlacionados con el punto a estimar entonces: Y por lo tanto Y el estimador de kriging ordinario es Kriging Ordinario

Relación entre el Kriging ordinario y el kriging simple Una idea tentadora es estimar el valor promedio utilizando kriging ordinario y tomar esta valor como el verdadero valor de la media para usar kriging simple. Este procedimiento produce como resultado una estimación que es exactamente igual a la estimación de kriging ordinario. La demostración de este hecho se conoce como el teorema de adición

Kriging Ordinario 1°) La estimación de la media mediante kriging ordinario se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones: 2°) El valor estimado de la media se utiliza en la ecuacion del kriging simple

Kriging Ordinario Por lo tanto el estimador de kriging simple es: La solución del kriging ordinario es única, por lo tanto si se demuestra que los valores ' resuelven el sistema de ecuaciones del kriging ordinario se tendrá que

Kriging Ordinario 3°) La condición de insesgamiento es:

Kriging Ordinario 4°) El sistema de ecuaciones es: Y por lo tanto Lo cual completa la prueba

Kriging Ordinario Finalmente, si se asume que la media es conocida procediendo como antes se puede demostrar que: Es decir, la varianza del kriging ordinario es la varianza del kriging simple (cuando en realidad se conoce la media) más un factor asociado a la estimación de la media. Asimismo, se observa que:

La pendiente de la regresión lineal La pendiente de la regresión de Z utilizando la estimación de kriging simple es Utilizando las ecuaciones del kriging simple se obtiene que el numerador y el denominador son iguales y por lo tanto la pendiente es igual a 1. Esto significa que el kriging simple es condicionalmente insesgado Kriging Ordinario

En el caso de kriging ordinario se tiene que Kriging Ordinario Y por lo tanto el estimador de kriging ordinario no es condicionalmente insesgado.

Imagen original Kriging ordinario Inverso de la distancia Kriging Ordinario

Dado un conjunto cualquiera F, se define su función indicadora como: Este tipo de funciones indican simplemente si el punto en que se evalúan se encuentra o no en el conjunto especificado.

Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una función aleatoria que puede ser estacionaria o no. Si se asume que la variable indicadora de la facies F es estacionaria entonces se tiene que: Proporción de la facies F en el yacimiento De particular interés es considerar variables indicadoras de facies.

Considérese el caso donde se tiene interpretación de facies en un pozo Facies 1 Facies

Este concepto tan sencillo permite considerar las facies presentes en un yacimiento como funciones aleatorias y aplicar muchas de las técnicas estudiadas anteriormente. El uso de variables indicadoras es la base de las curvas de proporción vertical.

Unidad 2 Unidad-5 Unidad 1 Unidad-4

En el caso de variables indicadoras el variograma es: A partir de este se obtiene la continuidad espacial y la longitud promedio en distintas direcciones de la facies en estudio. R1R1 R2R2

Propiedades 1) 2) El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a ) Relación con la función de covarianza

4) Desigualdad Triangular En particular Consecuencia : Un variograma con comportamiento en el origen de la forma no puede ser el variograma de una función indicadora

5) Relación entre las variables indicadoras Si se interpretan dos facies en el yacimiento entonces: Es decir, las facies no son independientes y además En el caso general, Y por lo tanto las facies no son independientes.

El método de estimación por kriging puede ser usado para estimar la proporción de una determinada facies en una localización dada. 6) Estimación de la proporción de facies (indicator kriging) Proporción de la facies F en el punto u

Como la proporción se asocia a la probabilidad se tiene que la estimación por kriging es una estimación de la probabilidad de que la facies F se encuentre en el punto u Se pueden obtener valores mayores de 1 y menores de 0, estos valores se deben corregir asignando 0 a los menores que cero y 1 a los mayores que 1. Si se estiman independientemente entonces no necesariamente se cumple que

? Probabilidad de facies de canal Los resultados del indicator kriging son mapas de probabilidades y no mapas de propiedades.