GEOMETRÍA DE MASAS

ÍNDICE CENTRO DE MASAS CÁLCULO DE CENTROIDES MOMENTO DE INERCIA DETERMINACIÓN CÁLCULO DE CENTROIDES TEOREMA PRIMERO DE GULDIN-PAPPUS TEOREMA SEGUNDO DE GULDIN-PAPPUS MOMENTO DE INERCIA TEOREMA DE STEINER PRODUCTOS DE INERCIA

CENTRO DE MASAS Recordamos la definición de sólido rígido como un sistema constituido por partículas que mantienen constantes en el tiempo sus distancias relativas. dm Volumen=V S O Cuando el número de partículas es muy elevado se utiliza el concepto de densidad. Densidad: Si la densidad es constante se dice que el sólido es homogéneo.

CENTRO DE MASAS dm Volumen=V S O Si el cuerpo es homogéneo (r= cte) coincide con la posición del centroide (o baricentro):

CENTRO DE MASAS Cuerpos en forma de superficie: Densidad superficial de masa s : dS Cuerpos en forma de curva: Densidad lineal de masa l : dL

DETERMINACIÓN CENTRO DE MASAS Si un sólido se compone de varias partes, la posición de su CM se obtiene considerando cada elemento como una partícula puntual con la masa del elemento y situada en su correspondiente CM. B A C

CENTRO DE MASAS DETERMINACIÓN

DETERMINACIÓN - = CENTRO DE MASAS La posición del centro de masas de un cuerpo con un hueco se obtiene considerando como partículas puntuales: la masa del cuerpo sin hueco en el CM del cuerpo sin hueco; y la masa de valor negativo de un cuerpo idéntico al hueco en la posición del centro de masas del hueco. H A+H 1 - H 2 = A

CENTRO DE MASAS DETERMINACIÓN H A+H 1 - H 2 = A

DETERMINACIÓN CENTRO DE MASAS dV dV Z dV dV El centro de masas de un sólido se encuentra en los planos de simetría de éste. V2 Y V1 X Plano de simetría XZ:

DETERMINACIÓN CENTRO DE MASAS Si el sólido tiene varios planos de simetría el centro de masas se encontrará en su intersección. CM

TEOREMA PRIMERO DE GULDIN-PAPPUS CÁLCULO DE CENTROIDES TEOREMA PRIMERO DE GULDIN-PAPPUS Dada una placa homogénea de área A, la distancia dCM de su centro de masas a un eje coplanario que no la corta se halla relacionado con el volumen V engendrado por la placa A al girar en torno a dicho eje por la relación:

TEOREMA PRIMERO DE GULDIN-PAPPUS CÁLCULO DE CENTROIDES TEOREMA PRIMERO DE GULDIN-PAPPUS Centroide de una placa con forma de cuarto de circunferencia de radio R dCM Eje de revolución

TEOREMA SEGUNDO DE GULDIN-PAPPUS CÁLCULO DE CENTROIDES TEOREMA SEGUNDO DE GULDIN-PAPPUS Dada una varilla homogénea de longitud L, la distancia dCM de su centro de masas a un eje coplanario que no la corta se halla relacionado con la superficie S engendrada por la varilla L al girar en torno a dicho eje por la relación:

TEOREMA SEGUNDO DE GULDIN-PAPPUS CÁLCULO DE CENTROIDES TEOREMA SEGUNDO DE GULDIN-PAPPUS Centroide de un alambre con forma de cuarto de circunferencia de radio R dCM Eje de revolución

MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia se define a partir de la distancia a un elemento geométrico: punto, eje o plano. X Y Z dO dYZ dZ O dV

MOMENTO DE INERCIA Dado un sistema de referencia se define el momento de inercia respecto del origen O como: Z dV O Y X

MOMENTO DE INERCIA Dado un sistema de referencia se definen los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados como: Z dV Y X

MOMENTO DE INERCIA Dado un sistema de referencia se definen los momentos de inercia respecto de los planos coordenados como: Z dV O Y X

MOMENTO DE INERCIA De acuerdo con las definiciones anteriores se tienen las siguientes relaciones:

MOMENTO DE INERCIA Momentos de inercia de una esfera homogénea de radio R Simetría: X Y Z dV r

MOMENTO DE INERCIA Momentos de inercia de una esfera homogénea de radio R X Y Z dV r

MOMENTO DE INERCIA En general, dados dos planos perpendiculares P y P’ y el eje E que define su intersección, los momentos de inercia verifican:

MOMENTO DE INERCIA En general, dados tres planos perpendiculares P, P’ y P’’ y el punto O que define su intersección, los momentos de inercia verifican:

MOMENTO DE INERCIA En general, dados tres planos perpendiculares P, P’ y P’’ y los ejes E, E’ y E’’ que definen sus intersecciones, los momentos de inercia verifican:

MOMENTO DE INERCIA Sólido compuesto: Si el sólido se halla dividido en n partes de momento de inercia Ii el momento de inercia del sólido completo es la suma de los momentos de inercia individuales tanto para puntos como para ejes o planos: 1 2 3

MOMENTO DE INERCIA Momentos de inercia respecto a un eje E de algunas figuras homogéneas: E a L c E b

MOMENTO DE INERCIA Momentos de inercia respecto a un eje E de algunas figuras homogéneas: E R R L E

MOMENTO DE INERCIA Momentos de inercia respecto a un eje E de algunas figuras homogéneas: E E R R L L

TEOREMA DE STEINER El momento de inercia respecto de un plano P’ es la suma del momento de inercia respecto de otro plano P paralelo al anterior y que pasa por el CM más la masa por el cuadrado de la distancia d entre ambos planos. CM d P P’ SCM

TEOREMA DE STEINER dV z zC P’ PCM ZCM<0 CM SCM Coordenada zC del CM en el SCM

TEOREMA DE STEINER El momento de inercia respecto de un eje E es la suma del momento de inercia respecto de un eje E’ paralelo al anterior que pase por el centro de masas más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia d entre ambos ejes. E E’ d CM SCM

TEOREMA DE STEINER d dV E E’ CM Coordenadas xC e yC del CM en el SCM

TEOREMA DE STEINER SCM d CM E E’ dV

TEOREMA DE STEINER La relación entre los momentos de inercia respecto a dos ejes paralelos entre sí que no pasan por el centro de masas es: Distancia de ECM a E’ Distancia de ECM a E’’

TEOREMA DE STEINER También se verifica para puntos: El momento de inercia respecto de un punto es la suma del momento de inercia respecto del CM más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre ambos puntos.

PRODUCTOS DE INERCIA Se definen los productos de inercia relativos a un sistema de referencia OXYZ como: Los productos de inercia verifican también un teorema análogo al teorema de Steiner.

PRODUCTOS DE INERCIA TENSOR DE INERCIA respecto al punto O y al sistema de referencia XYZ (de origen O): Si O es el CM, a los momentos y productos de inercia se les llama centrales y al tensor se le dice central.

PRODUCTOS DE INERCIA Toda matriz simétrica es diagonalizable, es decir, siempre es posible elegir unos ejes ortogonales OX’Y’Z’ (con el mismo origen O) en los que el tensor de inercia es una matriz diagonal: Z Z’ Y’ O Y X X’

PRODUCTOS DE INERCIA A los ejes X’, Y’, Z’ se les llama ejes principales de inercia. A los planos X’Z’, X’Y’ y Y’Z’ se les llama planos principales de inercia. A los momentos de inercia correspondientes se les llama momentos principales de inercia. Un eje de simetría es un eje principal de inercia respecto de cualquiera de sus puntos. La normal a un plano de simetría es un eje principal de inercia respecto del punto en que el eje corta al plano de simetría.