INTELIGENCIA ARTIFICIAL Representación del conocimiento: Inferencia en Lógica proposicional

Contenidos de la sesión Definición: Inferencia Reglas de Inferencia Formas Canónicas Probador de Teoremas Ejercicios

Objetivos de la sesión Analizar mecanismos de inferencia en lógica de predicados Analizar reglas de inferencia. Conocer y analizar el concepto del probador de Teoremas

Definición de Inferencia

Inferencia Desde la perspectiva de la filosofía existen tres modalidades de razonamiento: Deducción: Inferencia desde las causas hacia los efectos. O desde lo universal hacia lo particular Inducción Se recorre el camino inverso Abducción o retroducción Relacionado con la génesis de la hipótesis

Mecanismo de Inferencia Realiza razonamiento Verifica la consistencia de una sentencia dada. Es “completo” si puede encontrar una “prueba” para cada sentencia que se puede producir . Es “robusto” si los pasos que se siguen conducen solamente a sentencias que son consistentes con la base de conocimiento Teoría de pruebas: Conjunto de pasos de razonamiento que son “robustos”

Razonamiento “robusto”, inferencia lógica, deducción Procedimiento que calcula la validez de sentencias Una sentencia es valida si y solo si es verdadera para todas las interpretaciones en todos los mundos posibles (sentencias analíticas, tautologías) No hay limite en la complejidad de las sentencias No importa la interpretación que se este utilizando Un proceso de inferencia confiable se denomina demostración Δ |=ρ Ω desde Δ se obtiene Ω ρ : reglas de inferencia Δ : conjunto de fórmulas bien formada Ω: teoremas que se pueden deducir desde Δ

Patrón de inferencias que se presenta constantemente Regla de inferencia Patrón de inferencias que se presenta constantemente Si se prueba su robustez una vez, se puede extender a cualquier caso Se utilizan para hacer inferencias sin tener que construir tablas de verdad

REGLAS DE INFERENCIA Reglas + Observaciones Δ |=ρ Ω

Para recordar: Reglas de inferencia Modus Ponens (modo que afirmando afirma) Modus Tollens (modo que afirmando niega) Eliminación de conjunción (si los dos coyuntos son verdaderos, cualquiera de estos es una conclusión válida) T ^ M :. T o bien T ^ M :. M Introducción de conjunción (si se tienen dos premisas, y se sabe que ambas son ciertas, entonces la conjunción de ambas corresponde a una conclusión válida) P, Q :. P ^Q

Para recordar: Reglas de inferencia Introducción de disyunción (si se tiene una premisa y se sabe que es cierta, entonces la disyunción de esa premisa con cualquier otra es una conclusión válida) Premisa: T :. T v M o bien M v T Doble negación Premisa: ~~ T :. T Resolución Unitaria (Si tenemos (A v B) y se cumple ~B, entonces tenemos que A es verdadero) a b, ~b :. a

Para recordar: Reglas de inferencia Resolución (Si (A v B) es verdadero y (~B v C) también, entonces (A v C) también es verdadero) a b, ~b  c o también ~a  b, b c :.a  c ~a  c Silogismo hipotético (A partir de (P  Q) y (Q  R), se deduce (P  R). También conocido como razonamiento en cadena) (P  Q), (Q  R) :. (P  R) Silogismo disyuntivo (A partir de (P v Q) y ~P, se deduce Q. También ~P puede ser también ~Q) (P v Q), ~P :. Q

Para recordar: Reglas de inferencia De Morgan ~(p ^ q)  (~p v ~q) ~(p v q)  (~p ^ ~q) Transportación (p  q)  (~q  ~p) Implicación material (p  q)  (~p v q) Distribución P ^ (Q v R)  (P ^ Q) v (P ^ R) P v (Q ^ R)  (P v Q) ^ (P v R)

Para recordar: Reglas de inferencia

Ejemplo: probar la validez del siguiente enunciado Si Tebow fue designado titular, entonces estuvo concentrado en NY Si fue a NY, entonces entrenó en esa ciudad Si entrenó en NY, entonces se encontró con Sánchez Tebow no se encontró con Sánchez O Tebow fue designado titular o se eligió a alguien con mejor juego Por lo tanto, se eligió a alguien con mejor juego

Ejemplo: probar la validez del siguiente enunciado Se asignan variables enunciativas a las proposiciones A: Tebow fue designado titular A  B B: Tebow estuvo en NY B  C C: Tebow entrenó en NY C  D D: Tebow se encontró con Sánchez ~D E: Se eligió a alguien con mejor juego A v E :. E Prueba (A  B) ^ (B  C) :. (A  C) (Silogismo Hipotético) (A  C) ^ (C  D) :. (A  D) (Silogismo Hipotético) ~ D (Premisa) [(A  D) ^ ~D] :. ~A (Modus Tollens) (A v E) (Premisa) [(A v E) ^ ~A] :. E (Silogismo disyuntivo) :. E (Conclusión)

Ejercicio 1 Si Jordania se une a la alianza, entonces Argelia o Siria la boicotean Si Kuwait se une a la alianza, entonces Siria o Irak la boicotean. Siria no la boicotea. Por lo tanto, ni Argelia ni Irak la boicotean. Entonces ni Jordania ni Kuwait se unen a la alianza. Primero, formalizar los argumentos J: Jordania se une a la alianza A: Argelia boicotea S: Siria boicotea K: Kuwait se une a la alianza I: Irak la boicotea Segundo, simbolizar los argumentos J  A v S K  S v I ~S ~S  ~A ^ ~I :. ~J ^ ~K Tercero: Realizar prueba

Resolución y formas canónicas

Resolución Es una técnica para la resolución de teoremas en lógica y constituye la base técnica de inferencia de PROLOG. Por otra parte, la resolución es un mecanismo de prueba que opera sobre estatutos que han sido convertidos a Forma Normal Clausal (FNC) y produce pruebas de refutación, es decir que para demostrar que un estatuto es verdadero intenta mostrar que la negación de ese estatuto produce una contradicción. En otras palabras, demostrar que la negación de una sentencia genera contradicción con los hecho conocidos.

Una cláusula es una sentencia de la forma: L1 V L2 V Ln Forma Normal Clausal Un literal es una variable proposicional o una variable proposicional negada (o sea, con el símbolo ¬ delante). En el primer caso diremos que es un literal positivo, y, en el segundo, que es un literal negativo. Una cláusula es una sentencia de la forma: L1 V L2 V Ln donde los Li son literales y están unidos por disyunciones. Una sentencia está en forma clausulada si tiene la forma: (L11 V L12 V...) Λ (L21 V L22 V..) Λ ...

Conversión a Forma Clausal 1. Eliminar condicionales y bicondicionales: A  B ≡ ¬A V B A  B ≡ (A  B) Λ (B  A) ≡ (¬A V B) Λ (¬B V A) 2. Introducir negaciones mediante las equivalencias (1) (doble negación), (2) y (3) (de Morgan): ¬(¬A) ≡ A ¬(A V B) ≡ ¬A Λ ¬B ¬(A Λ B) ≡ ¬A V ¬B 4. Distribuir las Λ con la equivalencia: L1 V (L2 Λ L3) ≡ (L1 V L2) Λ (L1 V L3)

Algunos Ejemplos G Λ (R => F) Paso 1: G Λ (¬R V F) Paso 2: no es necesario Paso 3: no es necesario ¬(G Λ (R => F)) Paso 1: ¬(G Λ (¬R V F)) Paso 2: ¬(G Λ ¬(R Λ ¬F)) ¬G V ¬¬(R Λ ¬F) ¬G V (R Λ ¬ F) Paso 3: (¬G V R) Λ (¬G V ¬F)

PROBADOR DE TEOREMAS

Probador de Teoremas Conocido como: Refutación. Demostración por contradicción Reducción al absurdo Consiste en que para demostrar P(x), suponemos que P(x) es falsa (se añade –P(x) a la BD) y se demuestra la contradicción [BD Λ ¬P(x)  Falso]  [BD  P(x)]

Ejemplo Supongamos que tu me quieres, si me quieres entonces debemos ser fieles, pero no me has sido fiel, por lo tanto no me quieres. Supongamos que eres un excelente congresista, si eres un excelente congresista entonces debes plantear leyes de alcance nacional, pero siempre te preocupas de los problemas eventuales, entonces eres un pésimo congresista. Si eres un buen hijo, entonces siempre debes de hacerle caso a la mamá, pero nunca le haces caso a la mamá, por lo tanto no eres un buen hijo.

Si Carlos le apostó a San Francisco, entonces se gastó el dinero. Ejercicio 2 Si Carlos le apostó a San Francisco, entonces se gastó el dinero. Si Carlos se gastó el dinero entonces su esposa no compra joyas y su esposa pide divorcio. Si su esposa no compra joyas, entonces los niños no comen o la esposa está enojada. Carlos le apostó al San Francisco. Los niños comen por lo tanto su esposa está enojada.

C: Carlos le apostó a San Francisco F: Carlos se gastó el dinero. Ejercicio 2 - Solución C: Carlos le apostó a San Francisco F: Carlos se gastó el dinero. R: Su esposa no compra joyas S: Su esposa pide divorcio T: Los niños comen U: Su esposa está enojada 1. CF 2. FR ^ S 3. R¬T v U 4. C T  U 6. F (Modus ponens 1 y 4) R Λ S (Modus ponens 2 y 6) R (Eliminación 8) ¬T V U (Modus ponens 3 y 9) T  U (Implicación)

Ejercicio 3 - Tarea Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada: Para terminar la universidad, debo aprobar todos mis cursos. Para aprobar mis cursos, debo estudiar y ser inteligente. Para estudiar debo tener dinero y tiempo. Soy inteligente Tengo dinero pero no tiempo Termino la UNI

Ejercicio 4 Dado los siguientes axiomas: (1). P (2). (P  Q)  R (3). (S  T)  Q (4). T Probar por refutación: R

Ejercicio 9 Convirtiendo a la forma canónica FNC (1). P P (2). (P  Q)  R P  Q  R (3). (S  T)  Q S  Q (4). T  Q (5). T T Introduciendo la proposición a probar (6) ¬R

Ejercicio 9 Aplicando reglas de inferencia (resolución) P  Q  R R T  Q Q  T T null

Muchas gracias