MATEMÁTICA BÁSICA UNIDAD I LÓGICA MATEMÁTICA. Al finalizar la primera unidad, el estudiante determina y redacta la validez de inferencias a partir del.

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1 MATEMÁTICA BÁSICA UNIDAD I LÓGICA MATEMÁTICA

2 Al finalizar la primera unidad, el estudiante determina y redacta la validez de inferencias a partir del análisis de una lectura, mediante un esquema lógico básico. LOGRO DE APRENDIZAJE

3 Se llama enunciado a toda expresión verbal o escrita, como una frase u oración. Enunciado LÓGICA PROPOSICIONAL ¡ Ingresaste a la universidad ! 3 es un número impar ¿Cuál es tu nombre? Daniel Alcides Carrión fue reconocido como héroe y mártir de la Medicina Latinoamericana. EJEMPLOS

4 ENUNCIADO ABIERTO Es un enunciado que contiene variables. Ejemplos Ana tiene x años de edad y + 4  10 2x+1=0.

5 PROPOSICIÓN Es una expresión, enunciado u oración a la que se le puede calificar como verdadera o falsa, sin ambigüedades. Las proposiciones lógicas se denotan generalmente por letras minúsculas como: p, q, r, s, …, etc Ejemplos: p : Lima es la capital del Perú (V) q : 6 + 8 = 10 (F) r : la tierra es el planeta del universo donde existe vida. (V) ¿Quién viene? ( interrogación ) ¡Aprobé mi curso! ( admiración ) Siéntate y escucha (orden) NO SON PROPOSICIONES Pues no son verdaderas, ni falsas.

6 Se denota por “  ” y se lee “no es cierto que...” o “ es falso que...” o “ no ” LA NEGACIÓN Se denota por “  ” y se lee “ y” LA CONJUNCIÓN Se denota por “  ” y se lee “ 0” LA DISYUNCIÓN CONECTIVOS LÓGICOS

7 Se denota por “  ” LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Se denota por “  ” y se lee “si... entonces ” LA CONDICIONAL Se denota por “  ” y se lee “ …si solo si …” LA BICONDICIONAL

8 CONECTIVOLÓGICOSÍMBOLOLECTURA VALOR DE VERDAD 1 Conjunción p  q y, también, comoEs V, si ambos son V 2 Disyunción inclusiva p  q oEs F, si ambos son F 3 Disyunción exclusiva p  q Ó, o p o qEs F, si ambos son iguales 4 Condicional p  q p entonces q p implica q q si p Es F, si p es V y q es F p se llama antecedente q se llama consecuente 5Bicondicional p  q p si solo si qEs V si ambos son iguales TABLA DE CONECTIVOS

9 p q p q p  q p  q p  q p q p  q p q p  q V VVFVV V FFVVFF F VFVVVF F FFFVV TABLA DE VALORES

10 PROPIEDAD Si n es el número de variables de una proposición compuesta, entonces el número de arreglos posibles de los valores de verdad esta dada por 2 n. Si una proposición tiene 3 variables, existen 2 3 =8 combinaciones Si existen 4 variables, entonces habrán 2 4 = 16 combinaciones

11 En el desarrollo de una tabla de valores, se inicia con el conectivo lógico de menor jerarquía y se concluye con el de mayor jerarquía. El conectivo lógico de mayor jerarquía da el nombre a la proposición compuesta. Si se utiliza los signos de agrupación, el conectivo lógico que queda fuera del signo de agrupación es el de mayor jerarquía. Si una proposición carece de signos de agrupación, entonces la jerarquía de los conectivos lógicos, de menor a mayor se da en el siguiente orden: AGRUPAMIENTO DE PROPOSICIONES ~    , Δ

12 TAUTOLOGIA CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS tautología Una proposición compuesta se dice que es una tautología si el resultado global de la tabla es verdadera. contradicción Una proposición se dice que es una contradicción, si el resultado global es falsa. contingencia Una proposición compuesta se dice que es una contingencia si en el resultado final de la tabla de valores aparecen verdaderas y falsas. A las tautologías se les llama también leyes o principios lógicos A las tautologías se les llama también leyes o principios lógicos

13 Cuando una Condicional tiene valor de verdad verdadera o es una TAUTOLOGÍA entonces se llama IMPLICACIÓN LÓGICA. Cuando una Bicondicional tiene valor de verdad verdadera o es una TAUTOLOGÍA entonces se llama EQUIVALENCIA LÓGICA. ¡OJO!

14 TABLA DE EQUIVALENCIAS LÓGICAS 1LEY DE INVOLUCIÓN ~ ( ~p)  p 2LEY DE IDEMPOTENCIA p  p  p p  p  p 3LEY CONMUTATIVA p  q  q  p p  q  q  p 4LEY ASOCIATIVA (p  q )  r  p  ( q  r ) ( p  q )  r  p  ( q  r ) 5LEY CONDICIONAL p  q  ~ p  q ~ ( p  q )  p  ~ q

15 6LEY BICONDICIONAL p  q  ( p  q )  ( ~p  ~ q ) ~( p  q )  ( p  ~ q )  ( ~ p  q ) 7LEY DISTRIBUTIVA p  ( q  r)  ( p  q )  ( p  r) p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r) ( p  (q  r))  ( p  q )  ( p  r ) ( p  (q  r) )  ( p  q )  ( p  r ) 8 LEY CONTRARECÍPROCA p  q  ~ q  ~ p p  q  ~ q  ~ p 9LEY DE MORGAN ~ ( p  q )  ~p  ~ q ~ ( p  q )  ~ p  ~ q 10LEY DE ABSORCION p  ( p  q )  p p  ( p  q )  p p  ( ~ p  q )  p  q p  ( ~ p  q )  p  q 11ELEMENTO NEUTRO p  T  p, p  C  p p  T  T, p  C  C 12 TAUTOLOGIA Y CONTRADICCIÓN p  ~ p  T p  ~ p  C

16 IMPLICANCIAS LÓGICAS Modus Ponens [(p→q)  p]  q Modus Tollens [(p→q)  ~q]  ~p Silogismo Hipotético [(p→q)  (q→r)]  (p → r) Silogismo Disyuntivo [(p  q)  ~p]  q [(p  q)  ~q]  p Ley de Simplificación p  q  q p  q  p Ley de Adición p  p  q q  p  q

17 FUNCIÓN PROPOSICIONAL Función proposicional o también llamado enunciado abierto son expresiones que contienen una o más variables en su definición. Es decir, una función proposicional no es una proposición lógica, se convierte en proposición cuando se le asigna un valor particular a la variable o variables que definen la función. p(x) : x es alumno de la Wiener q(x) : x 2 + 3x > 0 Para x= 3, q(x) es V, si x=0,q(x) es F. p(x,y) : x es hermano de y q(x,y) : x 2 +y 2 = 25 Ejemplos: Una proposición que contiene variables se llama proposición abierta y una proposición que no contiene variables se llama proposición concreta.

18 CUANTIFICADORES Son operadores lógicos que transforman una proposición abierta en concreta. CUANTIFICADOR UNIVERSAL Simbolizado por  que se lee : “ para todo ” La expresión para todo, antepuesta a una función proposicional define al cuantificador universal y se denota por  x / p(x), CUANTIFICADOR EXISTENCIAL Simbolizado por  que se lee : “ existe ” La expresión existe, antepuesta a una función proposicional define al cuantificador existencial expresado por  x / p(x),

19 Ejemplo. Escribe la negación de las siguientes proposiciones.  Todos los gatos ladran.  Algunos profesores son jóvenes.  Algunos honestos son impuntuales.  Ningún peruano es francés.  Ningún estudioso es inculto.  Todos los hombres son fieles. Existen gatos que no ladran. Todos los profesores no son jóvenes. Todo honesto es puntual. Algunos estudiosos son incultos. Algunos peruanos son franceses Algunos hombres son infieles

20 b) b)  x  R / x 2 + 2x >3, es F, por ejemplo, no se cumple para x = 0 Ejemplos: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) a)  x  R / x 2 + 2x = 3 es V, pues se cumple para x = 1

21 i)Negación de proposiciones cuantificadas universalmente ~ (  x / p(x) )   x / ~ p(x) ii)Negación de proposiciones cuantificadas existencialmente ~ (  x / p(x) )   x / ~ p(x) NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS

22 Ejemplos: a) Todo hombre es un ser humano b) Existen animales que son invertebrados c) Todo los números enteros tienen raíces enteras 1. Simbolizar : 2. Negar las siguientes proposiciones a)  x/ x  A  x  B b)  x / x  A  x  B c)  x / x < 4  x 2 = 16 d)

23 4. En la siguiente tabla, hallar los valores de verdad de la proposición compuesta: proposición compuesta: p q (p  q)  (p  q) V V F F V F

24 1.MODUS PONENDO PONENS (Afirmando lo afirmado) Si Luis gana el concurso, entonces viajara a España. Luis gano el concurso. Por lo tanto Luis viajará a España INFERENCIAS LÓGICAS 2. MODUS TOLLENDO TOLLENS (Negando lo negado) Si Luis gana el concurso, entonces viajara a España. Luis no viajó a España. Por lo tanto no ganó el concurso 3. SILOGISMO HIPOTETICO Si no estudias, entonces desaprobaras el curso. Si desapruebas el curso entonces no podrás graduarte. Por lo tanto si no estudias entonces no podrás graduarte. 4. SILOGISMO DISYUNTIVO Apruebas el curso o dejas la Universidad. No dejaste la Universidad. Por lo tanto aprobaste el curso.

25 Ejemplos: Ejemplos: Simbolizar, determinar la conclusión indicando que ley lógica se aplica. 1. Si es día festivo, entonces salimos al campo. No salimos al campo, luego ……………………………………………………………………………………. 2. Si no hace frío, sube la temperatura y aumenta la venta de ventiladores. Es cierto que hace calor, por tanto ………………………………………………… 3. O ahorro el sueldo cada mes o lo gasto para vivir. Si lo ahorro, no puedo vivir. Pero si quiero vivir no puedo ahorrar. Por tanto ……………………………… 4. Cuando dos cosas pueden conocerse la una por la otra y la una puede ser causa de la otra, es que tienen algo en común. Pero no existe en la naturaleza dos cosas que tengan algo en común, por tanto ……………………………….

26 Análisis de una Inferencia por el Método Abreviado Primero se supone verdadero el antecedente y falso el consecuente, luego se determinan los valores de las variables del consecuente de manera que expresen la falsedad de este. A continuación se trasladan estos valores al antecedente y se designan los valores de las demás variables tratando de hacer verdadero el antecedente. Si se verifica la hipótesis, la formula es no tautológica, en consecuencia, la inferencia correspondiente será invalida; si no se verifica la hipótesis, la formula será tautológica, en consecuencia, la inferencia correspondiente será válida.

27 Ejemplo 1: La exploración de Marte es importante, si las áreas oscuras son desconocidas o se obtienen minerales raros. Si hay sólo gases tóxicos, la exploración de Marte no es importante. Pero, no es el caso que no se obtenga minerales raros o no hayan gases tóxicos. Luego, si las áreas oscuras de Marte son conocidas entonces la investigación científica explicará el origen del universo.

28 Ejemplo 2: Si la economía peruana está en crisis entonces los capitalistas extranjeros no invertirán en el Perú. La economía peruana está en crisis porque no existe un ajuste estructural en la administración. Por lo tanto, los capitalistas extranjeros invertirán en el Perú si existe un ajuste estructural en la administración.

29 La falacia es el argumento que no es válido, es decir siendo verdadera la premisa, la conclusión resulta falsa. FALACIAS FORMALES Falacia de la afirmación del consecuente.- Es aquella que sigue el siguiente esquema de inferencia formalmente no válido (aunque parecido al modus ponens): Si A, entonces B. Es verdad B. Por tanto, es verdad A. Por ejemplo: Si el universo ha sido creado por una inteligencia superior, tendríamos que observar orden y organización en el mundo. Como vemos orden y organización en el mundo, está claro que el universo ha sido creado por una inteligencia superior. Falacia de la negación del antecedente.- Esta falacia (similar al modus tollens) tiene la forma siguiente: Si A, entonces B. No es verdad A. Por tanto, no es verdad B. Por ejemplo: Si Dios existe, hay unos principios morales que cumplir. Como Dios no existe, entonces todo está permitido. FALACIAS

30 FALACIAS NO FORMALES Falacia Equívoco.-La ambigüedad se da porque en la argumentación aparece un término que puede tener más de un significado. Por ejemplo Mi vecino carpintero va cada día al taller con su mono. Es un gran amante de los animales. Falacia ad hominem ("contra el hombre").- Consiste en atacar una opinión descalificando a quien la defiende. Por ejemplo No podemos fiarnos de este estudio sobre los efectos del tabaco sobre la salud humana, ya que lo ha financiado la industria tabacalera. Falacia ad baculum ("al bastón").- Apela a las amenazas o a la fuerza para convencernos. Por ejemplo Debes conducir respetando las normas de circulación, porque de lo contrario te multarán. Falacia ad populum ("al pueblo").- Es la que recurre al estado emocional de los oyentes. Por ejemplo ¿Cómo no va a existir Dios? ¿Puede tanta gente estar equivocada? Falacia ad misericordiam ("a la misericordia").- Falacia que, a falta de argumentos, recurre a la compasión. Por ejemplo: Agente, por favor, no me sancione. Si lo hace, me retirarán el permiso de conducir, entonces perderé mi empleo y mi familia acabará en la miseria.

31 Falacia ad verecundiam ("al respeto").- Consiste en defender alguna opinión o idea apelando al prestigio o a la autoridad de alguien, en vez de ofrecer argumentos lógicos. La homeopatía es una terapia eficaz ya que hay médicos que la recomiendan. Falacia ad ignorantiam ("a la ignorancia").- Argumento que apela al desconocimiento para probar la existencia o inexistencia de algo. Ejemplo: Existe vida extraterrestre puesto que nadie ha probado lo contrario. Falacia del tu quoque ("tú también").- Falacia que se basa en lanzar contra el interlocutor la misma acusación por él empleada, en vez de replicarle con argumentos. Puede considerarse como un tipo de falacia ad hominem. Ejemplo: ¿Por qué voy a dejar de fumar, doctor, si usted fuma dos paquetes diarios? Petición de principio.- Razonamiento falaz que presupone la conclusión que quiere demostrar. Por ejemplo: El paro existe porque no hay empleo para todos.