MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA RESOLVER UN SISTEMA DE EN ECUACIONES CON “N” INCÓGNITAS También llamado eliminación de Gauss – Jordan. Es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial. 𝑎 1 𝑥+ 𝑏 1 𝑦+ 𝑐 1 𝑧= 𝑑 1 𝑎 2 𝑥+ 𝑏 2 𝑦+ 𝑐 2 𝑧= 𝑑 2 𝑎 3 𝑥+ 𝑏 3 𝑦+ 𝑐 3 𝑧= 𝑑 3

Matriz Aumentada 𝑎 1 + 𝑏 1 + 𝑐 1 𝑑 1 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑑 2   𝑎 1 + 𝑏 1 + 𝑐 1 𝑑 1 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑑 2 𝑎 3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 𝑑 2 A continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma: 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso. En dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:  

EJEMPLO   Elabore un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones A x = b usando la eliminación de Gauss- Jordan.

MÉTODOS ITERATIVOS Estos métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada: se espera que lo obtenido sea una solución más aproximada que la inicial.

RESOLUCIÓN DE MÉTODOS ITERATIVOS Parte la siguiente ecuación: 𝐴𝑥=𝑏 Se busca una matriz B y un vector c, y mediante un proceso convierte la ecuación anterior en otra equivalente de la forma: 𝑥=𝐵𝑥+𝑐 De esta manera se trata de conseguir que la solución de una sea también la solución de la otra. Luego de seleccionar el vector inicial X0 la sucesión de los vectores de la sucesión aproximada se genera calculando: 𝑥 𝑘+1 =𝐵 𝑥 𝑘 +𝑐→ 𝑘=0,1,2…

CONDICIONES Las diferencias 𝑥 𝑘+1 − 𝑥 𝑘 , tienen que ser menores que una tolerancia previamente fijada y que se conserven menores para todos los vectores siguientes de la iteración. La matriz A de la cual partimos tiene que ser estrictamente diagonal dominante. El objetivo primordial es que la sucesión de 𝑥 0 , 𝑥 1 ,……., 𝑥 𝑛 converja al vector solución x.

MÉTODO DE JACOBI Para este método se toma un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, supongamos: Se despeja x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda ecuación y x3 de la tercera ecuación y así sucesivamente dependiendo de la cantidad de variables. Uniendo todo, en nota matricial queda: 𝑎 1,1 𝑥 1 + 𝑎 1,2 𝑥 2 + 𝑎 1,3 𝑥 3 = 𝑏 1 𝑎 2,1 𝑥 1 + 𝑎 2,2 𝑥 2 + 𝑎 2,3 𝑥 3 = 𝑏 2 𝑎 3,1 𝑥 1 + 𝑎 3,2 𝑥 2 + 𝑎 3,3 𝑥 3 = 𝑏 3 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = 0 − 𝑎 1,2 𝑎 1,1 − 𝑎 1,3 𝑎 1,1 − 𝑎 2,1 𝑎 2,2 0 − 𝑎 2,3 𝑎 2,2 − 𝑎 3,1 𝑎 3,3 − 𝑎 3,3 𝑎 3,3 0 ∗ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 + 𝑏 1 𝑎 1,1 𝑏 2 𝑎 2,2 𝑏 3 𝑎 3,3 x=Bx+c

Se propone un vector inicial 𝑥 0 que puede ser 𝑥 0 =0, El cálculo de 𝑥 1 en el método de Jacobi se obtiene reemplazando 𝑥 0 en cada una de las ecuaciones y así sucesivamente. Para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas y usando notación más compacta y de mayor utilidad en programación, se tiene: 𝑥 𝑖 𝑘+1 =− 1 𝑎 𝑖,𝑗 − 𝑏 𝑖 + 𝑗=1 𝑗≠𝑖 𝑛 𝑎 𝑖,𝑗 𝑥 𝑗 𝑘 ,𝑝𝑎𝑟𝑎 1≤𝑖≤𝑛

EJERCICIO Resolver el siguiente sistema: 4 𝑥 1 − 𝑥 2 =1 −𝑥 1 + 4𝑥 2 − 𝑥 3 =1 −𝑥 2 + 4𝑥 3 − 𝑥 4 =1 −𝑥 3 + 4𝑥 4 =1

A continuación se presentan los resultados de subsecuentes iteraciones, en forma tabular:

MÉTODO DE SEIDEL Objetivo Método Encontrar las aproximaciones de los valores de las variables de un sistema de ecuaciones lineales, por medio de la realización de varios cálculos, los cuales se realizan por etapas, obteniendo así aproximaciones por cada etapa.

GENERALIDADES El método de gauss Seidel permite hallar las aproximaciones a una solución de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando los valores calculados en cada uno de los pasos, para hallar los nuevos valores, en pocas palabras, en este método un cálculo siempre depende del anterior, dependiendo las variables de otras variables. El procedimiento a seguir para la aplicación del método es el siguiente: •Se debe introducir unas aproximaciones iniciales, la matriz de coeficientes, el vector de términos independientes, una tolerancia y un número total de iteraciones. •Se toman las aproximaciones iniciales para hallar las nuevas aproximaciones, teniendo en cuenta el fundamento del método. •En cada paso, es posible calcular el error, que es este caso está definido en normas (las cuales son infinitas). •Para la finalización de los programas se tiene en cuenta, si el programa sobrepasa el número de iteraciones, o si el error es menor del propuesto al principio; una vez ocurra alguna de estas dos situaciones, la última iteración tendrá las aproximaciones a la solución del sistema de ecuaciones estudiado.

El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el método de Jacobi se obtiene en el primer cálculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteración. En el método de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las variables recién calculadas.

EJEMPLO Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Gauss-Seidel para resolver el sistema: 5𝑥+2𝑦=1 𝑥−4𝑦=0

SOLUCIÓN Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente. x = 0.20 + 0.00 x − 0.40 y y = 0.00 + 0.25 x + 0.00 y Aplicamos la primera iteración partiendo de x0 = 1.00 y y0 = 2.00: x1 = 0.20 + 0.00 (+1.000) − 0.40 (2.00) = −0.600 y1 = 0.00 + 0.25 (−0.600) + 0.00 (2.00) = −0.15 Aplicamos la segunda iteración partiendo de x1 = −0.600 y y1 = −0.15: x2 = 0.20 + 0.00 (−0.600) − 0.40 (−0.15) = 0.26 y2 = 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (−0.15) = 0.065 Aplicamos la tercera iteración partiendo de x2 = 0.26 y y2 = 0.065: x2 = 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.065) = 0.174 y2 = 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.174) = 0.0435

MATLAB

PRUEBA DE ESCRITORIO

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA CON EL MÉTODO JORDAN Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I? Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas. Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir, que su determinante sea no nulo |A| ≠ 0

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA APLICANDO LA DEFINICIÓN Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son: Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante Permutar dos filas Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras. MÉTODO DE JORDAN A TRAVÉS DE LA MATRIZ DE ADJUNTOS

MÉTODO DE JORDAN Tenemos:

1 Manual 2 4 3

Matlab

Prueba de Escritorio

MÉTODO DE KRAMER La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

El método de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

PASOS PARA CALCULAR LOS SISTEMAS DE ECUACIONES SEGÚN LA REGLA DE CRAMER 1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a) Ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes. b) Dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita. c) Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

EJEMPLO Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas: Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales: El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues: Y el tercero paso y último paso consiste en calcular las incógnitas: