Lógica de Proposiciones

¿Qué es una proposición? ¿Cuáles son los conectivos lógicos? ¿Cómo utilizar las tablas de verdad? ¿Qué es una tautología? ¿Qué es una contradicción?

La Lógica Es una ciencia que estudia métodos o procedimientos que aplican definiciones y leyes o reglas con el propósito de determinar la validez o invalidez de las proposiciones. La lógica matemática es una variedad de la lógica filosófica. Se puede decir también, que la Lógica es el estudio de la inferencia: Inferir es extraer la conclusión a partir de sus premisas. Ejemplo: “Si Cipriano quiere a Eloisa entonces le escribirá una carta. No le escribió la carta; por tanto, Cipriano, no quiere a Eloisa”

Los objetivos principales de la lógica son esencialmente: Eliminar las ambigüedades propias del lenguaje ordinario. Dar rigor a aquello que se está estudiando. En la Lógica existen dos procesos fundamentales: 1. Conceptualización: consiste en definir los objetos matemáticos que se van a definir. 2. Demostración: consiste en demostrar rigurosamente aquellas propiedades, proposiciones o teoremas que se estén estudiando.

Proposiciones Una proposición es una oración o enunciado que se comprende como una afirmación respecto a un acontecimiento falsable, y que por lo tanto puede determinarse como verdadero o falso. Todos los agrupamientos de palabras que conservan un sentido son proposiciones, por lo que se dice que las proposiciones son la forma más elemental de la lógica. Por ejemplo: SON PROPOSICIONES El 2 es un número primo. 25 es divisible entre 3 . 6 + 5 = 11”. El aula 600 está en el seto piso El sol es una estrella Manuel se sacó un 7,0 en matemática NO SON PROPOSICIONES Pare inmediatamente! Lávalo! o Anda a laaar! ¡Qué hermosos son tus ojos! ¿lloverá mañana? Haz esto por favor Ufff, que calor!

Valor de verdad Toda proposición se califica como verdadera (V) o falsa (F). Ejemplos: La tierra es un satélite (F) El conjunto unitario tiene un solo elemento (V) 9 es cuadrado perfecto (V) 3 es múltiplo de 5 (F)

Variable Proposicional Es la representación de las proposiciones por medio de letras minúsculas: p, q, r, s, etc.. Lo que simplifica las operaciones. Ejemplo: p: El aula 600 está en el sexto piso q: El aula 600 es iluminada r: El 5 es un entero par” s: La Tierra es el único planeta con vida en el universo t: El aula 600 no es ruidosa u: Un decenio tiene 10 años

Enunciado abierto Llamado también función proposicional, es toda expresión que se refiere a números; esta conformado por constantes y variables. Goza de la propiedad de transformarse en proposición al sustituir la variable o variables por constantes. Ejemplos: Enunciado abierto Proposición para: (V) Proposición para: (F)

Además todo enunciado abierto se transforma en una proposición anteponiéndole “para todo” o “Existe” los que son llamados cuantificadores. Ejemplos: Enunciado abierto Proposición

Clases de proposiciones Existen dos clases de proposiciones: PROPOSICIONES SIMPLES: Se caracteriza por no tener ningún término que condicione la proposición de ninguna manera. El cielo es azul. La Tierra es un planeta del Sistema Solar PROPOSICIONES COMPUESTAS: A diferencia de las simples, aparecen mediadas por la presencia de alguna clase de conector, que puede ser de oposición (habitualmente ‘o’) de adición (habitualmente ‘y’) o de condición (habitualmente si). Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios. Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.

Conectivos lógicos u operadores proposicionales Llamados también “operadores”, “signos de enlace”, “conectores, etc. Son usados en las operaciones lógicas. Los mas importantes son: la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

1. La Negación ( ¬ ) La negación clásica es una operación sobre un valor de verdad, típicamente, el valor de una proposición simples, que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso, y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Se usa particularmente: No, jamás, nunca, ni sub, des. Cambia el valor de verdad de una proposición simple: El cielo NO es azul La tierra NO es un planeta del Sistema Solar

Ejemplo: p: Nuestra sala está en el sexto piso Ejemplo: p: Nuestra sala está en el sexto piso. p : Nuestra sala no está en el sexto piso. p : No es cierto que nuestro salón esté en el sexto piso. Si p es verdadera entonces p es falsa. En cambio, si p es falsa, p es verdadera. La tabla de verdad de la Negación p p V F

Conectores Las proposiciones compuestas se combinan mediante conectivos, por ejemplo, “y”, “o”, “pero”, “si ... entonces”… Ejemplo p: “El aula 600 está en el sexto piso”; q: “El aula 600 es iluminada”. pueden combinarse como: “El aula 600 está iluminada y está en el sexto piso” “Si el aula 600 está iluminada entonces se encuentra en el sexto piso”

2. La Conjunción ( p  q ) Vincula (coordina) proposiciones referidas a un mismo sujeto o a sujetos diferentes mediante el conectivo y la conjunción de p y q es la proposición “p y q” que se denota por “p  q”. La conjunción es verdadera, únicamente cuando ambas proposiciones que la componen son verdaderas. Ejemplo: Juan es médico y deportista Alexis Sánchez y Arturo Vidal son futbolistas Sea p: “2 divide a 68” q: “2 divide a 30”. p  q : “ 2 es divisor de 68 y de 30”. Valor de verdad: p  q es falsa

Importante. a) Para que una conjunción tenga sentido debe cumplirse con los siguientes requisitos: Que se puedan separar las proposiciones Que se puedan conmutar las proposiciones Que tenga el mismo contexto

b. En el lenguaje coloquial se emplea como sinónimo de “y” las expresiones sino, además, mas, pero, no obstante, empero, también, a la vez, aun cuando, sin embargo, aunque, a pesar de, etc. Ejemplo: Juan tiene diez años también Elizabeth Benito perdió tanto dinero como Víctor. 16 es múltiplo de 3, pero 5 es mayor que 3. Fernando Belaunde fue un político pero honesto A la vez sale el sol aun cuando llueve

Tabla de Verdad de Conjunción p q p  q V F

3. La Disyunción ( p  q ) a. Disyunción Débil () o inclusiva vincula dos o mas proposiciones mediante el conectivo “o” Ejemplo: La solución de (x–2).(y+2) = 0 es x = 2 o y = -2”. Sean p: “3 divide a 6” q: “3 divide a 7” p  q : “ 3 divide a 6 o a 7” Valor de verdad: p  q es verdadera. Juan arregla su cuarto o Rocío baila. La historia describe o explica La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambas proposiciones son falsas.

Tabla de verdad de Disyuntiva p q p  q V F

Disyunción Fuerte ( ) O exclusiva vincula dos proposiciones mediante el conectivo “ o … o… “. Ejemplo : O Juan arregla su cuarto o estudia p q O estás sano o estás enfermos. P q En ambos ejemplos es imposible que simultáneamente ocurran ambas proposiciones. Tabla de verdad p q p q V F

Antecedente  Consecuente 4. La Condicional ( p  q ) Establece una relación de dependencia entre las proposiciones que se vinculan mediante el conectivo “ Si… entonces … “ p  q Hipótesis  Tesis Antecedente  Consecuente Premisa  Conclusión Ejemplo: Si estudio entonces apruebo. p  q Como baile mucho, me cansé p  q

En el lenguaje coloquial son sinónimos del condicional las palabras: Siempre que p, q Dado que p, q p por lo tanto q p es suficiente para q p luego q p implica q P se concluye q P en consecuencia q p así que q Si p, q p sólo si q q es necesaria para p q se deduce de p

Ejemplo de condicionalidad: p: Los polvos de jardín contienen veneno q: Los polvos de jardín son de colores brillantes. La proposición p  q puede estar expresada como: Si los polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores brillantes; Los polvos de jardín contienen veneno sólo si son de colores brillantes; Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín que contienen veneno; Los polvos de jardín son de colores brillantes si contienen veneno.

También tenemos proposiciones donde el orden no es normal, es decir la proposición condicional está invertida y por lo tanto hay necesidad de ordenarla. Ejemplo: Apruebo el curso si estudio Ordenando Si estudio el curso entonces apruebo el curso Me canse pues bailé mucho Bailé mucho, entonces me canse

Tabla de verdad Condicional p q p  q V F

Mas ejemplos p: La respuesta automática se puede enviar. q: El sistema de archivos está lleno. p  q : Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno. q  p : La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está lleno. La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno. p   q : Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno.

5. La Bicondicional (p  q) Establece una relación de doble dependencia entre las proposiciones por lo mismo ellas deben poder conmutarse. Se vinculan mediante el conectivo “ si y solo si”. Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad, es decir, es verdadera si ambas componentes son verdaderas o ambas son falsas. Ejemplo: Puedes titularte si y solo si estás expedito N es par si y solo si es , múltiplo de dos.

p  q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”. También puede utilizarse “cuando y solo cuando”. “entonces y sólo entonces”, es una condición necesaria y suficiente”, “ es una condición necesaria y suficiente”. Ejemplo: p : 24 es un número par. q : 24 es divisible por 2. p  q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”. “p si y sólo si q” se puede expresar como “p es condición necesaria y suficiente para q”.

Tabla de verdad Bicondicional Ejemplo: “La naranja es agradable cuando y sólo cuando está madura” “Si la naranja es agradable, entonces está madura” y “Si la naranja está madura entonces es agradable” Tabla de verdad Bicondicional p q p  q V F

6. La Binegación Que vincula a dos proposiciones mediante “ no … y no …” , “Ni … ni… , “ Ejemplo: No estudié y no fuí a rendir la prueba Ni Argentina juega bien, ni va ir al mundial. Tabla de verdad Binegación p q p  q V F

Tautología y contradicción Una tautología es una proposición compuesta que es verdadera para todos los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Por ejemplo: p  p “ Soy un hombre o no soy un hombre” Una contradicción es una proposición compuesta que es falsa para todos los valores de verdad de las proposiciones que la componen.  Por ejemplo: p  p “Soy un hombre pero no soy un hombre”

Piensa un rato y justifica tus respuestas Ejercicios 1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p  q es falsa. a) p  q b) q  p c) p  p d) p  q Piensa un rato y justifica tus respuestas 2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que ( p  q )  r  ( s  t ) sea falsa 3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p  ¬q )  q b) ( p  q )  ( p  q ) c) q  (¬p  ¬q) ¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología? ¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?

Formalización La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico. Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. Sean: p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve” La temperatura está sobre los 17°C pero llueve. Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C. Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva. O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.

Sean p: “El mensaje es revisado para buscar algún virus” q: “ El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido” Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. a) El mensaje se revisa para buscar algún virus siempre que se haya enviado desde un sistema desconocido. b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no revisó para buscar ningún virus. c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido no se revisa para buscar ningún virus. d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no se reviso para buscar ningún virus.