RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO U.D. 10 * 2º BCT RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ECUACIONES DE RECTAS EN EL ESPACIO U.D. 10.2 * 2º BCT ECUACIONES DE RECTAS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PUNTOS EN EL ESPACIO Un sistema de coordenadas cartesianas en R3 está formado por tres rectas perpendiculares entre si y graduadas, dos horizontales y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen el espacio en ocho zonas o regiones. Cada zona queda definida por el signo de las coordenadas de los ejes: (x, y, z) = (+, +, +), (+, +, -), (+, -, +), (-, +, +), (+, -, -), (-, +, -), (- , -, +) y (-, -, -). Ejemplo Representar los puntos: A(5, 2, 3), B(3, – 2, 5), C(1, 4, 0), D(0, 0, 4) y E(0, 6, 3) Z B D A C E X Y @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ECUACIONES DE LA RECTA d ECUACIÓN VECTORIAL Un punto y un vector determinan una recta en el espacio  Dados un punto P(x0, y0, z0) y un vector no nulo d(dx, dy, dz) la recta que determinan es el conjunto de puntos X que se obtienen mediante la relación: OX=OP + λ.d cuando λ recorre los números reales. También decimos que la recta está formada por los puntos que verifican la relación anterior. Si consideramos las coordenadas  de los vectores la ecuación queda: (x,y,z) = (x0, y0, z0)+ λ.(dx, dy, dz) Que es la ecuación vectorial de la recta. X λd P OX OP O @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN PARAMÉTRICA Sea la ecuación vectorial de la recta: (x,y,z) = (x0, y0, z0)+ λ.(dx, dy, dz) Desdoblando la ecuación anterior en sus coordenadas, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta: x = x0 + λ.dx y = y0 + λ.dy Para cada valor de λ obtenemos un punto de la recta. z = z0 + λ.dz ECUACIÓN CONTINUA Despejando λ en cada una de ellas e igualando las expresiones resultantes obtenemos la ecuación continua de la recta: x – x0 y – y0 z – z0 --------- = --------- = ---------- dx dy dz @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ECUACIONES DE LA RECTA MATIZACIÓN A LA ECUACIÓN CONTINUA Si en la ecuación continua: x – x0 y – y0 z – z0 --------- = --------- = ---------- dx dy dz Igualamos dos a dos sus expresiones: (x – x0 ). dy = (y – y0 ). dx (y – x0 ). dz = (z – z0 ). dy El resultado es una expresión formada por un sistema donde cada fila es la ecuación de un plano. Es decir, que toda recta es la intersección de dos planos, mientras éstos no sean coincidentes o paralelos. Z Y X r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicio 1 Hallar la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por el punto P(1,2,3) y tiene de vector director v(– 1, 1, – 1). Resolución Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0, y0, z0)+ λ.(dx, dy, dz) (x,y,z) = (1, 2, 3)+ λ.(– 1, 1, – 1) Ecuación paramétrica: x = 1 + λ.(– 1) y = 2 + λ.1 z = 3 + λ.(– 1) Ecuación continua: x – 1 = – λ x – 1 z – 3 y – 2 = λ  ------------ = y – 2 = -----------  1 – x = y – 2 = 3 – z z – 3 = – λ (– 1) (– 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicio 2 Dada la ecuación paramétrica de la recta r: x = λ – 1 , y = 2 – 3λ, z = 2λ, deduce las ecuaciones continua y vectorial. Resolución Ecuación paramétrica: x = λ – 1 , y = 2 – 3λ, z = 2λ x = – 1 + λ y = 2 + λ.(– 3) z = 0 + λ.2 Ecuación continua: x + 1 = λ x + 1 y – 2 z y – 2 = – 3λ  --------- = --------- = ------  x + 1 = (2 – y)/3 = z /2 z = 2λ 1 (– 3) 2 Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0, y0, z0)+ λ.(dx, dy, dz) (x,y,z) = (– 1 , 2, 0)+ λ.(1 , – 3 , 2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicio 3 Dada la ecuación continua de la recta s: (x – 1) / 3 = 1 – y = (2 – z) / 4, deduce las ecuaciones vectorial y paramétrica. Resolución Ecuación continua dada, expresada según su concepto: x – 1 y – 1 z – 2 ------- = --------– = ---------  P(1, 1, 2) y d(3, – 1, – 4) 3 (– 1) – 4 Ecuación paramétrica: x = 1 + 3.λ y = 1 – λ z = 2 – 4.λ Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1, 1, 2)+ λ.(3, – 1, – 4) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ECUACIONES DE LA RECTA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Una recta queda determinada por dos puntos. Sean P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) El vector director d de la recta será: d(x2 – x1 , y2 – y1, z2 – z1) Podemos poner pues: x – x1 y – y1 z – z1 --------- = --------- = ---------- x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1 O también: x – x2 y – y2 z – z2 En paramétricas: x = x1 + λ.(x2 – x1) y = y1 + λ.(y2 – y1) z = z1 + λ.(z2 – z1) O también: x = x2+ λ.(x2 – x1) y = y2 + λ.(y2 – y1) z = z2 + λ.(z2 – z1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicio 4 Hallar la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos P(1,1,1) y Q(– 1, – 1, – 1). Resolución El vector director de la recta puede ser tanto PQ como QP Vector director de la recta: d=QP = (xp – xq , yp – yq , zp – zq) d = (1 – (– 1), 1 – ( – 1), 1 – (– 1)) = (2, 2, 2) Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0, y0, z0)+ λ.(dx, dy, dz) (x,y,z) = (1, 1, 1)+ λ.(2 , 2, 2) Ecuación paramétrica: x = 1 + 2.λ , y = 1 + 2.λ , z = 1 + 2.λ Ecuación continua: (x – 1) / 2 = (y – 1) / 2 = (z – 1) / 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicio 5 Hallar la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos P(1,1,0) y Q(1, 0, 1). Resolución El vector director de la recta puede ser tanto PQ como QP Vector director de la recta: d=QP = (xp – xq , yp – yq , zp – zq) d = (1 – 1, 1 – 0, 0 – 1) = (0, 1, – 1) Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0, y0, z0)+ λ.(dx, dy, dz) (x,y,z) = (1, 1, 0)+ λ.(0 , 1, –1) Ecuación paramétrica: x = 1 , y = 1 + λ , z = – λ Ecuación continua: x = 1 ; (y – 1) = – z La recta está contenida y limitada al plano x = 1, plano paralelo al YZ. Z Y X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicio 6 Hallar la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos P(1,2,0) y Q(3, 5, 0). Resolución El vector director de la recta puede ser tanto PQ como QP Vector director de la recta: d=QP = (xp – xq , yp – yq , zp – zq) d = (3 – 1, 5 – 2, 0 – 0) = (2, 3, 0) Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0, y0, z0)+ λ.(dx, dy, dz) (x,y,z) = (1, 2, 0)+ λ.(2 , 3, 0) Ecuación paramétrica: x = 1 + 2.λ , y = 2 + 3.λ , z = 0 Ecuación continua: (x – 1) / 2 = (y – 2) / 3 , z = 0 La recta está contenida y limitada al plano z = 0, plano XY Z Y X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.