Cinemática de Robot Esférico o Polar Presentado por: John Jairo Pedreros

Robot Esférico o Polar Este tipo de configuración esta compuesta por dos ejes rotacionales perpendiculares y uno lineal. Se denominan esféricos o polares porque sus ejes forman un sistema de coordenadas polar. Por medio de estas diversas articulaciones proporcionan al robot la capacidad para desplazar su brazo dentro de un espacio esférico.

Robot Esférico o Polar Este rota en su base, se inclina en su hombro, y cuenta con extensión y retracción en su brazo y su área de funcionamiento es una porción de esfera. Presenta algunos inconvenientes en el momento de realizar un simple movimiento de traslación o pérdida de precisión cuando este trabajar con cargas pesadas y con el brazo muy extendido.

Robot Esférico o Polar Entre sus principales aplicaciones se encuentra: Operaciones de manejo de cargas que no precisen movimientos complejos. Manejo de maquinaria Procesos de Soldadura y fundición entre otros.

Configuración Esférica o Polar Este tipo de configuración se componen de 3 articulaciones o ejes: Dos ejes rotacionales que generan un movimiento rotativo. Un eje prismático que se encarga de realizar un movimiento lineal o deslizante. Las articulaciones rotativas son perpendiculares entre el primer y segundo segmento.

Configuración Esférica o Polar

Cinemática directa

Cinemática directa Generalmente se describe la posición del robot dando una descripción del marco de la herramienta, la cual esta unida al órgano terminal, relativo al marco de la base, el cual está a su vez unido a la base fija del robot. El modelo cinemático directo es el problema geométrico que calcular la posición y orientación del efector final del robot. Dados una serie de ángulos entre las articulaciones, el problema cinemática directo calcula la posición y orientación del marco de referencia del efector final con respecto al marco de la base.

Cinemática directa Se sitúa un punto localizado en las coordenadas 𝑋 0 ,𝑌 0 ,𝑍 0 en el sistema base (Coordenadas universales). Es más conveniente utilizar una notación vectorial, con la cual se describe la localización Q por el vector 𝑞 0 = 𝑋 0 , 𝑌 0 , 𝑍 0 . Y de manera similar Q, puede describirse por el vector 𝑞 1 = 𝑋 1 , 𝑌 1 , 𝑍 1 en el sistema de coordenadas del efector terminal.

Cinemática directa Se utilizan matrices homogéneas para combinar la translación con las rotaciones en una sola matriz. Se generalizan los vectores 𝑞 0 y 𝑞 1 y la matriz B para dar: 𝑉 0 = 𝐴 0 1 𝑉 1 Donde, 𝑉 0 = 𝑞 0 1 𝑉 1 = 𝑞 1 1 𝐴 01 = 𝐵 0000 𝑝 1

Cinemática directa En este caso se combinan los movimientos en una sola matriz 𝐴 01 , matriz de transformación homogénea relacionada con un sistema 1 al sistema 0. Si, 𝐴 01 Es invertible, entonces 𝐴 01 −1 Se puede utilizar para multiplicar ambos lados de la ecuación con el objetivo de encontrar 𝑉 1 a partir de 𝑉 0 dado.

Cinemática directa Según las características del robot se fijaran los sistemas de coordenadas rectangulares de la siguiente manera: 0 a la base del robot 1 al extremo final del eslabón 1 2 al extremo final del eslabón 2, etc.. Se obtiene 𝑉 𝟎 = 𝑨 𝟎𝟏 𝑽 𝟏 𝑉 𝟏 = 𝑨 𝟏𝟐 𝑽 𝟐 𝑉 𝟐 = 𝑨 𝟐𝟑 𝑽 𝟑 𝑉 𝟑 = 𝑨 𝟑𝟒 𝑽 𝟒 𝑉 𝟒 = 𝑨 𝟒𝟓 𝑽 𝟓 𝑉 𝟓 = 𝑨 𝟓𝟔 𝑽 𝟔

Cinemática directa Se obtiene 𝑉 𝟎 = 𝑨 𝟎𝟏 𝑽 𝟏 𝑉 𝟏 = 𝑨 𝟏𝟐 𝑽 𝟐 𝑉 𝟐 = 𝑨 𝟐𝟑 𝑽 𝟑 𝑉 𝟑 = 𝑨 𝟑𝟒 𝑽 𝟒 𝑉 𝟒 = 𝑨 𝟒𝟓 𝑽 𝟓 𝑉 𝟓 = 𝑨 𝟓𝟔 𝑽 𝟔 Donde, 𝑉 0 = 𝐴 01 𝐴 12 𝐴 23 𝐴 34 𝐴 45 𝐴 56 𝑉 6 Por lo tanto calculando las matrices A para cada par del sistema fijados a los eslabones adyacentes puede calcularse la matriz de transformación total como 𝑇 = 𝐴 01 𝐴 12 𝐴 23 𝐴 34 𝐴 45 𝐴 56

Cinemática directa Para realizar las transformaciones de las articulaciones, se determina la matriz A para un par completo de eslabones y un estado determinado de la articulación (rotación o translación) La matriz A para una articulación giratoria se define como: [ cos qi -cos ai senqi sen a sen qi ai cos qi ] [ sen qi cos ai cosqi -sen ai cos qi ai sen qi ] 𝐴 𝑖 = [ 0 sen ai cosai di ] [ 0 0 0 1 ]

Cinemática directa y para una articulación prismática la matriz A resulta: [ cos qi -cos ai senqi sen a sen qi 0 ] [ sen qi cos ai cosqi -sen ai cos qi 0 ] 𝐴 𝑖 = [ 0 sen ai cos ai di ] [ 0 0 0 1 ]

Cinemática directa Se puede utilizar un método basado en ecuaciones para encontrar la cinemática directa del robot esférico o polar. 𝑧= sin 𝜃 (𝐿 1 + 𝐿 2 )+ 𝐿 3 sin 𝜃 𝑥= cos 𝜃 𝐿 2 + 𝐿 3 cos 𝛼 𝑦= cos 𝜃 𝐿 2 + 𝐿 3 sin 𝛼

Cinemática directa 𝑧= 𝑧 0 + 𝑧 1 + 𝑧 2 y= 𝑦 0 + 𝑦 1 + 𝑦 2 𝑥= 𝑥 0 + 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑙 3 𝜌 sin= 𝑂𝑝 ℎ cos= 𝐴𝑑𝑦 ℎ 𝑙 2 𝜃 𝑙 1 h Op 𝛼 Ady

Cinemática directa 𝑧 0 = 𝑙 1 𝑙 3 𝜌 cos𝜃= 𝑧 2 𝑙 2 z 𝑙 3 𝑙 2 𝜃 sinθ= 𝑧 3 𝑙 3 y 𝛼 𝑧 3 =sin𝜃 ∗𝑙 3 x

Cinemática directa cos 𝑞 2 = 𝑎 𝑙 2 + 𝑙 3 𝑧 0 = 𝑙 1 𝑎=𝑐𝑜𝑠θ (𝑙 2 + 𝑙 3 ) 𝑎=𝑐𝑜𝑠θ (𝑙 2 + 𝑙 3 ) 𝑙 3 𝜌 z cos𝛼= 𝑥 𝑎 𝑙 2 𝑥=cos𝜃 ∗𝑎 𝑙 2 + 𝑙 3 𝜃 𝑥=cos𝜃 (𝑙 2 + 𝑙 3 ) cos 𝛼 𝑙 1 𝜃 y 𝑥 𝑎 𝛼 sin𝛼= 𝑦 𝑎 𝑦 𝛼 x 𝑦=cos𝜃 (𝑙 2 + 𝑙 3 ) sin 𝛼

Cinemática directa Se necesita hallar el punto 𝑃= 𝑥,𝑦,𝑧 para el siguiente robot industrial en configuración esférica, con una resolución en sus encoder de 10.000 revoluciones por pulso donde: 𝑙 3 𝑙 1 =0,8 𝑚 𝑙 2 =0,5 𝑚 𝜌 𝑙 2 𝑙 3 =0,2 𝑚 𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑑𝑒𝑟 𝛼=416,66 𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑑𝑒𝑟 𝜃=833,33 𝜃 𝛼= 416,66(360) 10000 =14,99~15° 𝑙 1 𝜃= 833,33(360) 10000 =29,99~30° 𝛼

Cinemática directa cosθ= 𝑧 2 𝑙 2 𝑧 0 = 𝑙 1 =0,8𝑚 𝑙 3 𝑧 2 =cos𝜃 ∗𝑙 2 z 𝜌 𝜃 𝑧 2 = 0,433 𝜃 𝑙 2 𝜃 sinθ= 𝑧 3 𝑙 3 y 𝑧 3 =sin𝜃 ∗𝑙 3 𝑙 1 𝑧 3 = 0, 2( sin 30° ) 𝑧= 𝑧 0 + 𝑧 1 + 𝑧 2 x 𝑧 3 = 0,1 𝑧=0,8+0,433+0,1 𝛼 𝑧=1,33

Cinemática directa 𝑎=𝑐𝑜𝑠θ (𝑙 2 + 𝑙 3 ) cos𝛼= 𝑥 𝑎 𝑥=cos𝜃 ∗𝑎 𝑙 3 z 𝑎=𝑐𝑜𝑠θ (𝑙 2 + 𝑙 3 ) cos𝛼= 𝑥 𝑎 𝑙 3 𝑥=cos𝜃 ∗𝑎 z 𝑥= (𝑙 2 + 𝑙 3 ) cos𝜃 cos 𝛼 𝑙 2 𝜌 𝑥= (0,5+0,2 ) cos 30° cos(15°) 𝑙 2 + 𝑙 3 𝑥= 0,585 𝜃 𝜃 sin𝛼= 𝑦 𝑎 y 𝑥 𝑎 𝛼 𝑙 1 𝑦= (𝑙 2 + 𝑙 3 ) sin 𝛼 cos𝜃 𝑦 x 𝑦= (0,5+0,2 ) sin (15°) cos(30°) 𝛼 𝑦= 0,156

Cinemática directa Entonces encontramos que el punto, donde se encuentra el actuador es: 𝑙 3 𝜌 𝑙 2 𝑃= 𝑥,𝑦,𝑧 =0.585, 0.156, 1.33 𝜃 𝑙 1 𝛼

Cinemática inversa Se realiza esta cinemática con el objetivo de encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares o articulaciones del robot q=[q1, q2, ……,qn] para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización.

Cinemática inversa En comparación la cinemática directa permite enfrentar el problema de manera sistemática a partir de las matrices de transformación homogéneas, e independiente de la configuración del robot, pero en la cinemática inversa, siendo el procedimiento de obtención de las ecuaciones fuertemente dependiente de la configuración del robot. Existe varias formas de desarrollo de la cinemática inversa, entre ellos encontramos: Métodos geométricos. A partir de la matriz de transformación homogénea. Matrices jacobianas.

Cinemática inversa Métodos geométricos. Este procedimiento es adecuado para pocos grados de libertad y se basa en encontrar suficientes relaciones geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus elementos. 𝛼= tan −1 𝑦 𝑥 𝜃= tan −1 𝑧− 𝐿 1 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑙 3 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + (𝑧− 𝑙 1 ) 2 − 𝑙 2

Cinemática inversa 𝑙 1 𝑦 𝑙 2 →𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧 𝑃 𝑥,𝑦,(𝑧− 𝑙 1 ) z 𝑙 1 𝑦 𝑙 2 →𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧 𝑃 𝑥,𝑦,(𝑧− 𝑙 1 ) z 𝑙 3 𝜌 𝛽= 𝑙 2 + 𝑙 3 𝑙 2 𝛽 𝑧− 𝑙 1 𝑙 3 = 𝛽− 𝑙 2 𝜃 𝜃 y 𝑥 𝑙 1 𝛼 𝑎 𝑎= 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦 x 𝛼

Cinemática inversa tan 𝛼= 𝑦 𝑥 z 𝑙 3 𝜌 𝛼= tan −1 𝑦 𝑥 𝑙 2 𝛽 𝑧− 𝑙 1 𝜃 𝜃 y 𝑎 𝑦 𝜃= tan −1 𝑧− 𝑙 1 𝑥 2 + 𝑦 2 x 𝛼 𝛽= 𝑧− 𝑙 1 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2

Cinemática inversa Se necesita encontrar el valor de los pulsos para el punto 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧 =(4, 12, 3), para un robot industrial en configuración esférica, que tiene enconders con resolución de 10.000 revoluciones por pulso, donde: 𝑙 3 𝑞 3 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧 =(4, 12, 3) 𝑙 2 𝑙 1 =0,8 𝑚 𝑞 2 𝑙 2 =0,6 𝑚 𝑙 1 𝑞 1

Cinemática inversa 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧 𝑃 𝑥,𝑦,(𝑧− 𝑙 1 ) 𝑙 3 𝜌 z tan 𝛼= 𝑦 𝑥 𝑙 2 𝛽 𝑧− 𝑙 1 𝜃 𝛼= tan −1 12 4 𝜃 y 𝑙 1 𝑥 𝛼 𝑎 𝛼=71,56° 𝑦 𝛼 x 360°→10000 71,56°(10000) 360° =1987,77 𝑝𝑝𝑟 71,56°→𝑥

Cinemática inversa 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧 𝑃 𝑥,𝑦,(𝑧− 𝑙 1 ) tan 𝜃= 𝑧− 𝑙 1 𝑎 𝑙 3 𝜌 z 𝑙 2 𝛽 𝑧− 𝑙 1 𝜃 𝜃= tan −1 2−0,8 4 2 + 12 2 𝜃 y 𝑙 1 𝑥 𝛼 𝑎 𝑦 𝜃=9,866° 𝛼 x 360°→10000 9,866°(10000) 360° =274,05 𝑝𝑝𝑟 9,866°→𝑥

Cinemática directa Entonces encontramos que para el punto: 𝑙 3 𝑃= 𝑥,𝑦,𝑧 =4, 12, 3 𝜌 𝛽= 𝑧− 𝑙 1 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑙 2 𝛽= 2−0,8 2 + 4 2 + 12 2 𝛽=127,5 𝑐𝑚=1,275 𝑚 𝜃 𝛽= 𝑙 2 + 𝑙 3 𝑙 1 𝑙 3 = 𝛽− 𝑙 2 𝑙 3 =1,275𝑚−0,5=0,67 𝑚 𝛼