Matemáticas 2º Bachillerato CS TEST DE HIPÓTESIS U.D. 15 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS CONSECUENCIAS DEL T.C.L. U.D. 15.1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Imagina que tienes una población con media μ  y desviación típica σ; y que extraes aleatoriamente todas las posibles muestras, todas ellas de tamaño n. Si obtuvieras las medias de todas estas muestras, y las consideras una distribución de datos (la distribución muestral de medias), comprobarías que: a) La media de los datos, es la media μ  de la población , es decir la media de las medias de las muestras, es igual que la media de la población. b) Estas medias se distribuyen alrededor de la media  de la población, con una desviación típica (llamada desviación típica de la media) igual a la de la población dividida por la raíz de n, es decir, la desviación típica de la media es σ / √n c) La distribución de las medias muestrales, es una distribución  de tipo "normal", siempre que la población de procedencia lo sea, o incluso si no lo es, siempre que el tamaño de las muestras sea 30 o mayor. N( μ , σ / √n ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Lo que en definitiva establece el TCL, es que la distribución de la media, o de las sumas, de diferentes valores da como resultado una distribución normal.  Del mismo modo ocurre cuando en lugar de medias tomamos una proporción de la muestra, en cuyo caso: @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Consecuencias del TCL Veamos algunas de las ventajas que nos aporta el teorema central del Iímite: I. Control de la medias muestrales En una población de media μ y desviación típica σ, nos disponemos a extraer una muestra de tamaño n. Antes de hacerlo, sabemos que la distribución de las medias, X, de todas las posibles muestras es N(μ, σ) y, por tanto, podemos averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo. II. Control de la suma de todos los individuos de la muestra. Puesto que ∑x = n.x, sabemos que ∑x se distribuye normal de medias n.μ y desviación típica n.σ/√n = σ.√n Por tanto, podemos calcular cuál es la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo. III. Inferir la media de la población a partir de una muestra. Esta es la aplicación más importante del teorema central del límite. A partir de una muestra se pueden extraer conclusiones válidas sobre la media de la población de partida. Lo veremos más adelante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_1 Si tenemos una población con media 250 y desviación típica 50 y tomamos una muestra de tamaño 49. ¿Qué probabilidad hay de que la media de esta muestra se encuentre entre los valores 249 y 251? Resolución La variable aleatoria X de la población es una normal N(μ , σ): N(250, 50). La variable aleatoria X de las medias muestrales se aproxima a una normal N(μ , σ /√n): N(250, 50/ √49) = N(250 , 7´14) Luego … P(249 ≤ X ≤ 251) = P((249 – 250)/7´14) ≤ Z ≤ (251– 250)/7´14)= = P(–0,14 ≤ Z ≤ 0,14)= 2.P(Z ≤ 0,14) – 1 = 0,1114 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_2 Si tenemos una población con media 250 y desviación típica 50 y tomamos una muestra de tamaño 400. ¿Qué probabilidad hay de que la media de esta muestra se encuentre entre los valores 249 y 251? Resolución La variable aleatoria X de la población es una normal N(μ , σ): N(250, 50). La variable aleatoria X de las medias muestrales se aproxima a una normal N(μ , σ /√n): N(250, 50/ √400) = N(250 , 2,50) Luego … P(249 ≤ X ≤ 251) = P((249 – 250)/2,50) ≤ Z ≤ (251– 250)/2,50)= = P(–0,4 ≤ Z ≤ 0,4)= 2.P(Z ≤ 0,4) – 1 = 0,3108 Como se aprecia, al ser mayor la muestra, la probabilidad es mayor que en el ejemplo anterior. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS