Estructura de la Materia Sexta Sesión Principio de Incertidumbre

Principio de Incertidumbre Werner Heisenberg (1901-1976). Premio Nóbel en 1932. 2

Principio de Incertidumbre (2) Imaginemos el siguiente experimento: Queremos medir la posición de un electrón (al menos su coordenada “x”) con un microscopio hipotético superpoderoso (o sea con ondas). 3

Principio de Incertidumbre (3) Existe un límite en la exactitud con la que se puede determinar la posición de un objeto al interaccionar con una onda: λ ~ tamaño del objeto 4

Principio de Incertidumbre (4) Si el objeto es menor a una λ de la luz usada, no hay cambio en la luz usada si el objeto es movido una distancia menor a una longitud de onda. Por lo tanto, si queremos observar la posición de un electrón muy exactamente, debemos usar longitudes de onda muy cortas. 5

Principio de Incertidumbre (5) Pero cada fotón tiene un momento p = h/λ Una parte de este momento es comunicado al electrón después de la colisión. 6

Principio de Incertidumbre (6) O sea, para poder medir la coordenada x con una precisión de Δx  λ, hemos dado al electrón un momento adicional en la dirección “x” que oscila entre 0 y h/λ: Δpx  h/λ 7

Principio de Incertidumbre (7) 8

Principio de Incertidumbre (8) Por lo tanto, el producto de las incertidumbres en la posición y el momento es: Δpx·Δx  (h/λ)(λ) Relación de Incertidumbre de Heisenberg Δpx·Δx  h 9

Principio de Incertidumbre (9) "The more precisely the POSITION is determined, the less precisely the MOMENTUM is known" 10

Principio de Incertidumbre (10) La Mecánica Clásica se basa en la presunción de que es posible determinar x y p simultáneamente. El momento es necesario para el cálculo de la trayectoria del objeto (su posición en los tiempos futuros) La relación de incertidumbre dice que esto no es posible. 11

Principio de Incertidumbre (11) ¿Es grave esta limitación? Supongamos que nos satisficiéramos con conocer la posición de un electrón en un átomo de 1 Ǻ de diámetro con un 50% de error, o sea 0.5 Ǻ de exactitud. 12

Principio de Incertidumbre (12) Entonces requeriremos un fotón que produzca un cambio mínimo en el momento de: Δpx = h/Δx Δpx = 6.610-27 erg·seg/510-9 cm Δpx = 1.310-18 g·cm/seg 13

Principio de Incertidumbre (13) Dado que la masa del electrón es: me- = 9.110-28 g Y p = mv: Δv = Δp/m Δv = 1.310-18 g·cm·seg-1/ 9.110-28 g Δv = 1.4109 cm/seg 14

Principio de Incertidumbre (14) Que es una velocidad increíblemente grande, de tal manera que el electrón tiene suficiente energía para salirse del átomo. No podemos conocer las trayectorias de los electrones. 15

Principio de Incertidumbre (15) Mas preciso Existe un principio de incertidumbre para cualesquiera dos variables “conjugadas canónicas” 16

Tarea 18 La incertidumbre en la posición de un neutrón que se mueve en línea recta es de 10 Ǻ. Calcular la incertidumbre en: Su momento. Su velocidad. 17

Tarea 19 En un experimento se determinó la posición de un electrón con una incertidumbre de 10-7 cm ¿Cuál es la incertidumbre en su velocidad? 18

Tarea 20 ¿Cuál es la longitud de onda asociada a una bola de nieve de 8.8 g de peso lanzada a una velocidad de 5105 cm/seg? 19

Tarea 21 En un experimento solo se pudo determinar que la velocidad de un electrón se encontraba entre 100 y 1100 cm/seg ¿Cuál es el orden de magnitud de la incertidumbre en su posición? 20

Tarea 22 ¿Por qué no se pueden describir trayectorias para los electrones en un átomo? 21

Tarea 23 Calcular la longitud de onda de un protón que se mueve a una velocidad de 3x103 ms-1. 22

Tarea 24 Calcular la incertidumbre en la posición de un electrón cuya velocidad se conoce con una incertidumbre de 104 ms-1. 23

Tarea 25 Describa un experimento que confirme la hipótesis de De Broglie. 24

Tarea 26 Calcular la frecuencia de un electrón que se mueve a 5x106 ms-1. 25

Chiste Científico Si sabes a que velocidad estás conduciendo, entonces estás perdido

Mecánica Cuántica 27

Mecánica Cuántica Tres formulaciones independientes, pero equivalentes. Heisenberg – Matrices. Schrödinger – Operadores. Dirac – Números “q”. Hilbert demostró que las 3 formulaciones eran equivalentes. 28

La formulación más fácil Erwin Schrödinger (1887-1961) Premio Nóbel 1933 Alrededor de 1925: 29

Postulados de la Mecánica Cuántica 30

Postulado 1 “Para cada estado de un sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible” Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN,t) 31

Comentario Ψ es una función de 3N+1 variables Todas la información acerca de las propiedades de un estado de un sistema está contenida en la función de onda Ψ correspondiente a dicho estado. 32

Corolario “Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN) y se llama función de onda de estado estacionario” (3N variables). 33

Comentario Es el caso de la energía en un átomo. Los átomos no están irradiando energía, de tal manera que no depende del tiempo. 34

Postulado 2 “Para cada observable del sistema existe un operador que reproduce el valor de la propiedad si se aplica a la función de onda” 35

Observables Observable es toda propiedad del sistema que se pueda medir, por ejemplo: la energía, el momento, la energía cinética; etc. 36

Operadores Transformaciones Si A números y B números: Función. Regla de asociación entre A y B Si A números y B números: Función. Si A funciones y B números: Funcional. Si A funciones y B funciones: Operador. A B 37

Operadores: Ejemplos 38

Operadores: Ejemplos 39

Operadores: Ejemplos Extráigase la raíz cuadrada de la función f(x). 40

Operadores: Ejemplos 41

Operadores: Ejemplos 42

Operadores: Ejemplos Derívese la función f(x) con respecto a la variable x. 43

Operadores: Ejemplos 44

Operadores: Ejemplos 45

Operadores: Ejemplos Intégrese la función f(x) con respecto a la variable x. 46

Por cierto 47

Operadores: Ejemplos 48

Operadores: Ejemplos 49

Operadores: Ejemplos Multiplíquese la función f(x) por la variable x. 50

Operadores: Ejemplos 51

Operadores: Ejemplos 52

Operadores: Ejemplos Multiplíquese la función f(x) por la constante c. 53

Operadores (3) El operador es una orden o una receta a seguir. Esta orden se aplica a las funciones y lo que se obtiene es una nueva función. 54

Operadores (4) A los operadores se les pone sombrero. Si queremos saber el valor de la propiedad A ÂΨ=aΨ Ecuación de valores propios o eigenvalores: Â es un operador, Ψ es una función y a es un número. 55

¿Cómo se contruyen los operadores en mecánica cuántica? Se escribe la expresión clásica para el observable de interés en términos de coordenadas, momentos y tiempo. Las coordenadas y el tiempo se dejan igual. 56

¿Cómo construir los operadores? (2) Para coordenadas cartesianas las componentes del momento (pq) se reemplazan por el operador diferencial: 57

Ejemplo Energía cinética (T). Una partícula en coordenadas cartesianas. Expresión clásica: 58

Ejemplo (cont.) Poniendo p en términos de sus componentes: 59

Ejemplo (cont.) Substituyendo las componentes de acuerdo al paso (3), se obtiene el operador de energía cinética: 60

El Hamiltoniano El operador más importante en mecánica cuántica es el operador de energía total y se conoce como operador de Hamilton o Hamiltoniano: 61

El Hamiltoniano (2) El operador de energía potencial es un operador multiplicativo y solo depende de las coordenadas de la partícula: 62

Ecuación de Schrödinger Como el Hamiltoniano es distinto para cada sistema, existe una ecuación de Schrödinger diferente para cada sistema. 63

Ecuación de Schrödinger (2) La ecuación de Schrödinger es una ecuación de valores propios (eigenvalores) y debe resolverse para Ψ y para E. El problema de la “Química Cuántica” es resolver la ecuación de Schrödinger para sistemas de interés químico. 64

Postulado 3 También se conoce como postulado de Born. Max Born (1882-1970). Premio Nóbel en 1954. 65

Postulado 3 “El cuadrado de la función de onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región del espacio”. 66

Comentario Funciones discretas y funciones continuas. Diferencia entre contar y medir. ¿Qué es contar? 67

Comentario Funciones discretas y funciones continuas. Diferencia entre contar y medir. ¿Qué es contar? Contar es hacer una biyección con los naturales. 68