DISTRIBUCION EXPONENCIAL Y NORMAL PRESENTADO POR: Alexandra Londoño 2122491 Dayana Sepúlveda 2094144 Juan Pablo Murillo 2092324 Yaneth Uribe Ruiz 2104021

DISTRIBUCION NORMAL En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales

VARIABLES REPRESENTADAS POR UNA DISTRIBUCION NORMAL Caracteres morfológicos de individuos (talla, peso, diámetros) Caracteres fisiológicos (efecto de la misma dosis de un fármaco) Caracteres sociológicos (puntuaciones de un examen) [2] [1] [1] www.crecerfeliz.es  [2alumnos.cobachbcs.edu.mx

VARIABLES REPRESENTADAS POR UNA DISTRIBUCION NORMAL Caracteres psicológicos (cociente intelectual) Errores cometidos al medir ciertas magnitudes Valores estadísticos muestrales ( media) [2] [1] sasasapp.blogspot.com [2alumnos.cobachbcs.edu.mx

CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL Forma de campana La media aritmética, la mediana y la moda son iguales y se localizan en el pico Es simétrica alrededor de su media

DISTRIBUCION NORMAL [1] proteux.com

DISTRIBUCION NORMAL La forma de campana de Gauss depende de los parámetros µ y σ. La media indica la posición de la campana en el eje horizontal y la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva, a mayor valor σ la curva será mas plana. f(X) σ μ X

FUNCION DENSIDAD 𝑓 𝑥 = 𝑒 − 2 1 ( 𝑥−𝜇 𝜎 ) 2 𝜎√2𝜋 La probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor entre dos números reales a y b coincide con el área encerrada por la función densidad de probabilidad de la distribución normal, N(µ,σ) siendo µ la media y σ la desviación estándar. 𝑓 𝑥 = 𝑒 − 2 1 ( 𝑥−𝜇 𝜎 ) 2 𝜎√2𝜋 P (a ≤ x ≤ b)= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES Al variar los parámetros μ and σ, obtenemos diferentes distribuciones normales

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR Al existir un numero infinito de distribuciones normales posibles con diferente media y desviaciones estándar se estandariza ha una distribución con media =0 y desviación estándar =1; N (0,1). Existen tablas donde se lee el área bajo la curva desde la media hasta otro valor de la distribución ya normalizada. 𝑍= 𝑋 −𝜇 𝜎 Z= Desviación normal X= Valor de la variable aleatoria

La distribución normal estándar Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad se le conoce como la curva normal estándar Es una distribución normal con promedio 0 y una desviación estándar de 1. Todas las variables normalmente distribuidas se pueden transformar a la distribución normal estándar utilizando la fórmula para calcular el valor Z correspondiente

Características de la distribución normal estándar. No depende de ningún parámetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1. La curva  f(x)  es simétrica respecto del eje de Y Tiene un máximo en el eje de Y. Tiene dos puntos de inflexión en z=1 y z=-1

Tabla de Distribución Normal Estandar http://es.slideshare.net/azucenaaguerotorres/distribucion-normal-12095839

EJERCICIO DE APLICACION 1.Una empresa de bombas de cavidades progresivas tienen un promedio de 150 bombas PCP por cada cliente, con una desviación estándar de 15 bombas. Las bombas parecen estar distribuidas normalmente; para estimar de manera apropiada la demanda del cliente y maximizar utilidades, se debe determinar que tan probable es que algunos servicios de la compañía se presten; el director de la compañía desea que usted estime la probabilidad de que una empresa petrolera instale o monitoree: Entre 125 y 150 bombas Menos de 125 bombas Entre 145 y 155 bombas [1] [2] repositorio.uis.edu.co  

Solución

Solución

Solución

DISTRIBUCION EXPONENCIAL Esta distribución describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado. Es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre 2 sucesos que se distribuyen según la distribución de Poisson. [1] es.wikiversity.org  [2] revistapetroleoygas.co

Valor esperado: µ = E[x] = 1 λ Varianza: 𝜕 2 = 1 λ 2 Función de densidad de probabilidad exponencial: F(x) = λ 𝑒 −λ𝑥 (x>0) Función de distribución acumulada: P(X≤ x) = 1- 𝑒 −λ 𝑥 Valor esperado: µ = E[x] = 1 λ Varianza: 𝜕 2 = 1 λ 2

Sirve para… Calcular el tiempo transcurrido en un callcenter hasta recibir la primera llamada del día. Encontrar el intervalo del tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) . Una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en este.

EJEMPLOS 1. El tiempo de vida de un fusible en cierta aplicación, tiene un distribución exponencial por una media de 2 años. ¿Cuál es el valor del parámetro? x= t de vida µ= 2años µ = 1 λ λ = 1 2 ¿Cuál es la desviación estandar? 𝜕= 1 λ 2 = 1 λ =2

2. Suponga que x= t que se tarda en cargar un camión en el muelle sigue esta distribución. Si el t para cargarlo es de 15min (λ=15), su función de densidad es? f(x)= 15* 𝑒 −15𝑥 Probabilidad de que la carga dure 6min o menos. P(x≤6) = 1- 𝑒 − 6 15 = 0.3297 Probabilidad de cargar el camión en 18min o menos. P(x≤18) = 1- 𝑒 − 18 15 = 0.6988

Así se calcula la probabilidad para cualquier intervalo. Probabilidad de que la carga tarde entre 6 y 18 min. 0.6988-0.3297 = 0.3691 Así se calcula la probabilidad para cualquier intervalo. “La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma con K= 1”

CONCLUSIONES La desviación estándar (σ ) determina el grado de apuntamiento de la curva.  Cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.  La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de μ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1. 

CONCLUSIONES La distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson. En el lenguaje de las aplicaciones también se utiliza la distribución exponencial para modelar tiempo entre eventos, distancia entre eventos, volumen entre eventos. En el lenguaje de las aplicaciones también se utiliza la distribución exponencial para modelar tiempo entre eventos, distancia entre eventos, volumen entre eventos

BIBLIOGRAFÍA https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.html http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t3.html https://www.youtube.com/watch?v=UkkMjaLSMF8&feature=youtu.be https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm