Probabilidad Condicional Regresando al problema anterior: Sea B={uno de los números ganadores es el número 7} y A={los números 2,7,10,14,15,20 son seleccionados} En esta lotería los posibles números van del del 1 al 30

Probabilidad Condicional Otro ejemplo: Suponga que se lanzan dos dados (distinguibles) y se observa que la suma X es un número impar ¿Cuál es la probabilidad de que X sea menor que 8?

Probabilidad Condicional Regla de multiplicación para probabilidades condicionales. Sean A y B dos eventos. Si Pr(B) > 0 entonces Similarmente, si Pr(A)>0,

Probabilidad Condicional Ejemplo: Se tiene que dos bolas son seleccionadas aleatoriamente (sin reemplazo) de un caja que contiene r bolas rojas y b bolas azules. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul?

Probabilidad Condicional Generalización a más eventos: Para 3 eventos: Para n eventos:

Probabilidad Condicional Ejemplo: Supongamos ahora que tenemos 4 bolas que serán seleccionadas una a una (sin reemplazamiento) de una caja que contiene r bolas rojas, b bolas azules ( ) ¿Cuál es la probabilidad de obtener la serie: roja, azul, roja, azul?

Probabilidad Condicional Comentario: las probabilidades condicionales siguen las mismas reglas que las probabilidades “standard” (no condicionales). Por ejemplo:

Probabilidad Condicional Ley de la probabilidad total Partición: Sea S el espacio muestral de un experimento y considere k eventos en S, tal que son eventos disjuntos y . Se dice entonces que los eventos B forman un partición.

Probabilidad Condicional Ley de la probabilidad total Teorema: Suponga que los eventos forman una partición de S y para j=1,2,...k. Entonces para cada evento A en S:

Probabilidad Condicional Ejemplo Se tienen dos cajas que contienen tornillos largos y cortos. Una de ellas tiene 60 tornillos largos y 40 cortos. La segunda caja contiene 10 tornillos largos y 20 cortos. Suponga que una caja se selecciona al azar y se saca aleatoriamente un tornillo. ¿Cuál es la probabilidad de que el tornillo seleccionado sea un tornillo largo?

Probabilidad Condicional Eventos independientes: Si el conocimiento de que el evento B ha ocurrido no cambia la probabilidad de que el evento A ocurra, se dice que A y B son eventos independientes. Definición: dos eventos A y B son independientes si

Probabilidad Condicional De aquí se sigue que A y B son eventos independientes si y solo si: y

Probabilidad condicional Ejemplo: Se tienen 2 máquinas (1 y 2) en una fábrica que funcionan independientemente una de otra. Sea A el evento de que la máquina 1 se estropee durante 8 hrs y sea B el evento de que la máquina 2 se estropee durante 8 hrs. Suponga que Pr(A)=1/3 y Pr(B)=1/4 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas se estropee durante el mismo período de tiempo?

Probabilidad Condicional Eventos independientes (generalización): Los k eventos son independientes (o mutuamente independientes) si para cada subconjunto de j de los eventos se tiene que

Probabilidad Condicional Ejemplo: Para que A, B y C sean independientes se deben satisfacer las siguientes relaciones:

Probabilidad Condicional Ejemplo: Suponga que una moneda se lanza dos veces de modo que se tiene el siguiente espacio muestral: S={HH, HT, TH, TT}. Sean los siguientes eventos: -H en el 1er lanzamiento: A={HH, HT} -H en el 2do lanzamiento: B={HH, TH} -ambos resultados iguales: C={HH, TT}

Probabilidad Condicional Independencia condicional Como hemos dicho, las probabilidades condicionales tienen las mismas propiedades que las probabilidades no condicionales. Un ejemplo más es el siguiente: Se dice que los eventos son condicionalmente independientes dado B, si para cada subcolección de esos eventos se tiene que

Teorema de Bayes Si se conoce Pr(A|Bi ) para cada i, el teorema de Bayes proporciona una fórmula útil para calcular las probabilidades condicionales de los Bi eventos dado A .

Teorema de Bayes Sea Bi ,...,Bk los eventos que forman una partición del espacio S tal que Pr(Bi )>0 para j=1,2,...,k y sea A un evento tal que Pr(A) >0. Entonces para i=1,...,k, tenemos que

Teorema de Bayes Suponga que el ministerio de sanidad está ofreciendo hacer un test gratis para una cierta enfermedad. El test tiene una fiabilidad del 90%. Por otro lado, una colección de datos indican que la posibilidad de tener esa enfermedad es de 1 entre 10 000. Como el test es gratis, no duele y es rápido, decidimos hacer el test. ¿Cuál es la probabilidad de tener la enfermedad después de saber que el resultado del test fue positivo?

Teorema de Bayes Se tienen 3 diferentes máquinas M1´ M2´ M3 con las que se hace un producto. Los productos fabricados se guardan en un almacén y se sabe que el 20% de esos productos fueron hechos con la máquina M1, 30% con la M2 y 50% con M3. También se sabe que el 1% de los productos hechos con la máquina M1 son defectuosos, mientras que con M2, 2% son defectuosos y con M3 , 3% de los productos son defectuosos.

Teorema de Bayes Pregunta: Si se selecciona aleatoriamente un producto del almacén y resulta que éste es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que dicho producto fuese producido por M2 ?

Probabilidad Condicional Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

Variables aleatorias Definición: Sea S el espacio muestral de un experimento. Una función real definida sobre el espacio S es una variable aleatoria. Ejemplo: Se lanza una moneda 5 veces. Sea X la función (real) que cuenta el número de veces que sale cara en un posible resultado. Si s ={cara, cara,cruz,cara, cruz} entonces X(s)=3

Variables aleatorias Las variables aleatorias puede ser: - Discretas (número de valores finito o infinito contable) - Continuas (si toma valores en intervalos de la recta real)

Variables aleatorias Cuando se específica una medida de probabilidad sobre el espacio muestral se pueden determinar las probabilidades asociadas con los valores posibles que toma la variable aleatoria X. La colección de todas las probabilidades de X es la distribución de X.

Variables aleatorias Ejemplo: distribución de X: suma de valores obtenidos en el lanzamiento de dos dados

Variables aleatorias Ejemplo: Se lanza una moneda 10 veces y sea X la variable aleatoria que corresponde al número de caras que se obtienen en una secuencia. En este ejemplo, los valores de X son 0,1,2,..,10. Para cada valor de x, la probabilidad Pr(X=x) es la suma de las probabilidades de todos los resultados del evento {X=x}

Variables aleatorias Ejemplo: distribución de X: suma de valores obtenidos en el lanzamiento de dos dados

Variables aleatorias f(x)=Pr(X=x) Función de probabilidad y soporte: Si una variable aleatoria X tiene una distribución discreta, la función de probabilidad de X se define como la función f tal que para cada número real x, f(x)=Pr(X=x) La cerradura del conjunto {x:f(x) > 0} se le llama soporte de la distribución.

Variables aleatorias Función de probabilidad: Teorema. Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x1,x2,... con probabilidades p1,p2,..., respectivamente, la función de probabilidad (pf) asigna probabilidades a todos los posibles valores de X tal que f(x)=Pr(X=x)=pi si x=xi f(x)=0 de otra forma Además

Variables aleatorias Ejemplo: distribución de X: suma de valores obtenidos en el lanzamiento de dos dados

Variables aleatorias Función de probabilidad acumulativa: Se define la función de probabilidad acumulativa (cpf) de X, F(x), cuyo valor da la probabilidad que como: Además con la función de probabilidad acumulativa podemos calcular la probabilidad de que X se encuentre entre los valores

Variables aleatorias Función de probabilidad cumulativa: La función de probabilidad cumulativa,F(x), es una función no decreciente de x y F(x)=1 para

Variables aleatorias Lanzamiento de dos dados Función de distribución o función de probabilidad acumulativa:

Variables aleatorias 3 ejemplos de distribuciones discretas: - Distribución de Bernoulli - Distribución uniforme - Distribución binomial

Variables aleatorias Distribución de Bernoulli: Una variable aleatoria X que toma únicamente 2 valores, digamos 0 y 1, con Pr(X=1)=p, se dice que sigue una distribución de Bernoulli con parámetro p: Pr(X=1)=p y Pr(X=0)=1-p Función de probabilidad:

Variables aleatorias Distribución uniforme: Sea a y b números enteros ( ). Suponga que una variable aleatoria es igualmente probable para cada uno de los enteros a,...,b. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b.

Variables aleatorias Distribución Uniforme: Teorema. Si X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b,la función de probabilidad de X está dada por

Variables aleatorias Distribución binomial: Esta distribución describe procesos que consisten de un número de intentos independientes con dos posibles resultados. Es usual llamar a los posibles resultados: “éxitos” y “fracasos”

Variables aleatorias Distribución binomial: Digamos que tenemos los eventos A y B, con Si la probabilidad de que ocurra un éxito es Pr(A)=p, entonces la probabilidad de un fracaso es Pr(B)=q=1-p Si se realizan n intentos, entonces la variable aleatoria X está dada por: X=número de veces que A ocurre (éxitos). Por lo que X puede tomar los valores 0,1,..., n

Si se realizan n intentos y x son éxitos una posible secuencia es: Variables aleatorias Si se realizan n intentos y x son éxitos una posible secuencia es:

Variables aleatorias Distribución binomial: La función de probabilidad de que en n intentos x sean éxitos está dada por: Comment: para n=1, tenemos la fp de Bernoulli