Algebra II Unidad III. Funciones Cuadráticas Arleane L. Despiau Rivera Números complejos Algebra II Unidad III. Funciones Cuadráticas Arleane L. Despiau Rivera

Introducción Encuentra el valor de 𝑥. 𝑥 2 +4=0

Intentos Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo: 2 × 2 =  (−2) × (−2) =    (negativo por negativo da positivo) 0 × 0 =  (−6) ×(−6) =  ¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero. Eso es porque estamos calculando el cuadrado de números reales.

Números imaginarios Los números negativos no tienen raíces cuadradas reales. Para hacer posible que todas las ecuaciones cuadráticas tengan solución, los matemáticos inventaron un sistema de números llamado sistema de números complejos.

Imagina que hay un número (vamos a llamarlo 𝑖 de imaginario) que cumpliera esto: 𝑖 × 𝑖 = −𝟏 Esto es: 𝒊 𝟐 =−𝟏 Haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1: 𝑖= −1

Ejemplo ¿Cuál es la raíz cuadrada de −9? Mientras tengamos esa pequeña "𝑖" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por −1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.

Definición La raíz cuadrada de un número negativo es definida como: −𝑎 =𝑖 𝑎

Práctica −81 −33 −36 −100 −24 −17

Raíces Cuadradas Perfectas −1 −36 −121 −4 −49 −144 −9 −64 −169 −16 −81 −196 −25 −100 −225

Repasemos la Factorización Prima Números Primos entre el 1 al 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Prueba Corta

Práctica −121 −120 96 −68 40 −300

Encuentre las partes real e imaginaria del número complejo Parte real Parte imaginaria 3+4𝑖 1 2 − 2 3 𝑖 6𝑖 −7

Encuentra las partes real e imaginarias del número complejo Parte real Parte imaginaria

Representación de números complejos Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje 𝑥 se llama eje real. El eje 𝑦 se llama eje imaginario. El número complejo 𝒂+ 𝒃𝒊 se representa mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (𝑎, 𝑏).

Representación de números complejos Localiza en el plano 3+5𝑖 3−5𝑖 −3−5𝑖

Representación de números complejos Localiza en el plano 5𝑖 −5𝑖 5 −5

Potencias de 𝑖 𝑖 0

Potencias de 𝑖 Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de 𝒊, se divide el exponente entre 4, y el residuo es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Evalúa las potencias de 𝑖 𝒊 𝟏𝟎 𝒊 𝟓𝟐 𝒊 𝟐𝟏 𝒊 𝟐𝟕 𝒊 𝟏𝟎𝟎 𝒊 𝟏𝟗 𝒊 𝟏𝟐𝟖𝟕 𝒊 𝟓𝟗𝟒 𝒊 𝟑𝟔𝟒𝟕

Examen #1A Definición de 𝑖 Radicales negativos Potencias de 𝑖

Operaciones con números complejos