ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL U.D. 15 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

INTERPOLACIÓN BIDIMENSIONAL U.D. 15.6 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Interpolación Una vez que obtengamos la ecuación de la Recta de Regresión de Y sobre X tendremos la función lineal: y=f (x) , pudiendo interpolar valores, es decir hallar pares de valores ( xi,yi ) que no estaban en la nube de puntos. Esto es lo que hemos hecho al hallar f(5) para trazar la recta de ajuste. Hemos visto que con 5 horas de estudio la calificación esperada es de 6,44. Cierto que también hemos hallado f(1), cuyo valor ya sabíamos (valía 1) y nos ha dado 1,31, diferente. Pero es que, a diferencia de la correlación funcional, ahora la Recta de Regresión no pasa por la mayoría de los puntos dados en la tabla inicialmente. Si pasa por alguno es simple casualidad. La interpolación, en correlación estadística, sólo puede ser fiable si la correlación es fuerte o muy fuerte; y si de las dos variables, elegimos como xi la más correcta. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Ejemplo completo Beneficios en decenas de miles de € A lo largo de 5 años una empresa se ha visto obligada a duplicar el número de empleados, reduciendo no obstante sus beneficios según se ve en la Nube de Puntos. Estudiar la distribución, hallando las rectas de ajuste correspondiente. Obtener, mediante interpolación, los beneficios de la empresa con 6, 8 y 12 empleados. 6,5 6 5,5 5 5 7 9 11 13 15 Número de empleados @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Por la nube de puntos está claro que hay una correlación lineal entre el nº de empleados y los beneficios de la empresa. Al aumentar el nº de éstos han disminuido los beneficios. xi yi xi2 yi2 xi . Yi 5 6 25 36 30 7 6,5 49 42,25 45,50 9 81 54 11 5,5 121 30,25 60,50 13 169 65 15 225 75 60 34 670 194,50 330 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Calculamos los parámetros o medidas de la correlación lineal EMPLEADOS BENEFICIOS ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias marginales x = 60 / 6 = 10 y = 34 / 6 = 5,66 Varianzas marginales Vx = 670/6 – 102 = 11,6666 Vy = 194,5/6 – 5,662= 0,3131 D. típicas marginales sx = √11,6666=3,415 sy = √0,3131=0,5595 Covarianza Vxy = 330 / 6 – 10.5,66 = – 1,6666 Coeficiente de Correlación lineal r = Vxy /sx*sy = -1,6666 / 3,415*0,5595= -0,87 Tipo de correlación Muy fuerte, por pasar el valor de |r| de 0,85. Inversa por tener signo negativo la covarianza. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Calculemos la Recta de Ajuste (Y sobre X): m = Vxy /Vx = -1,6666 / 11,6666 = - 0,1428 n = y - m*x = 5,66 - (-0,1428)*10 = 5,66 + 1,42 = 7,10 y = - 0,14.x + 7,10 La llevamos sobre el Diagrama dado en forma de Nube de Puntos. Para ello tomamos dos valores cualquiera de x : x1 = 5  y1 = 6,40 ; x2 = 15  y2 = 5 Calculemos la Recta de Ajuste (X sobre Y): m = Vxy /Vy = -1,6666 / 0,3131 = - 5,3229 n = x - m*y = 10 - (- 5,3229)*5,66 = 10 + 30,16 = 40,16 x = - 5,32.y + 40,16 La llevamos sobre el Diagrama dado en forma de Nube de Puntos. Para ello tomamos dos valores cualquiera de y : y1 = 5  x1 = 13,5 ; y2 = 6  x2 = 8,10 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Los puntos por los que deberá pasar la Recta de Regresión (Y sobre X) son: (5, 6,4) (10 , 5,66) (15, 5) (X sobre Y) son: (13,5 , 5) (8,10 , 6) Por el ángulo que forman podemos ver que la correlación es fuerte Beneficios en millones de € 6,5 6 5,5 5 5 7 9 11 13 15 Número de empleados @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Interpolación ¿Qué beneficios debemos esperar si el número de empleados es 6?. y = f (x) y = – 0,14.x + 7,10 f(6) = – 0,14.6 + 7,10 = – 0,84 + 7,10 = 6,26 decenas de miles de €. ¿Qué beneficios debemos esperar si el número de empleados es 8?. f(8) = – 0,14.8 + 7,10 = – 1,12 + 7,10 = 5,98 decenas de miles de €. ¿Qué beneficios debemos esperar si el número de empleados es 12?. f(12) = – 0,14.12 + 7,10 = – 1,68 + 7,10 = 5,42 decenas de miles de €. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Interpolación ¿Qué número de empleados cabe esperar si los beneficios de la empresa han sido de 5,75 decenas de miles de €?. x = f (y) x = – 5,32.y + 40,16 f(5,75) = – 5,32.5,75 + 40,16 = – 30,59 + 40,16 = 9,57 empleados. (9 empleados a jornada completa y otro a media jornada) ¿Qué número de empleados cabe esperar si los beneficios de la empresa han sido de 6 decenas de miles de €?. f(6) = – 5,32.6 + 40,16 = – 31,92 + 40,16 = 8,24 empleados. (8 empleados a jornada completa y otro por una semana al mes) Observar que cuando los beneficios fueron de 6 decenas de miles de € los empleados eran 5 y 9 indistintamente. La razón de esta disparidad es que la recta de ajuste no pasa necesariamente por los puntos de la nube. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT