Lógica Difusa 1999

Lógica Difusa L. Zadeh [1979] La idea principal es representar la incertidumbre contenida en proposiciones como: X es Y Jordi es alto Mediante una distribución de valores y el razonar sobre la combinación de los valores. [x es A] ô x Î U, A es un término lingüístico aplicable a x

Lógica Difusa [x es A] ô x Î U, A es un término lingüístico aplicable a x PA: U [0,1] tal que PA(u) = mA(u) mA: Función característica PA: Asigna a cada u Î U la posibilidad que tiene x de tomar el valor u dado que [x es A] 1 Alto 170 180

Lógica Difusa Representación Fiebre= Type: Fuzzy (37,38,43,43) Relation: needs_quantitative temperature fiebre(temperatura) 00 370 380 430 an-1 a2 a1 a0 temperatura Conjunto difuso que representa el concepto fiebre.

Lógica Difusa Representación Fiebre= Type: (l “low” (37,37.3,37.6,38), (m “medium” (37.6,38, 38.5,39), (h “high” (38.5,39,43,43)) Relation: needs_quantitative temperature fiebre(temperatura) low medium high an-1 a2 a1 a0 00 370 380 390 430 temperatura Conjuntos difusos que representan el concepto fiebre

Lógica Difusa Operaciones Si F=[x es A] y G=[x es B] con distribuciones de posibilidad PA y PB definidas en U F Ù G = [x es A y B] F Ú G = [x es A ó B] ØF = [x no es A] PAÙB(u) = T(PA(u) ,PB(u)) T-norma (Conjunción) PAÚ B(u) = S(PA(u) ,PB(u)) S-norma (Disyunción) PØ A(u) = N(PA(u)) N (Negación)

Lógica Difusa T-normas T:[0,1] x [0,1] [0,1] Propiedades a) T(0,0) = 0 b) T(p,q) = T(q,p) conmutatividad c) T(p,T(q,r)) = T(T(p,q),r) asociatividad d) T(1,p) = T(p,1) = p e) T(p,q) £ T(r,s) si p £ r y q £ s monotonía

Lógica Difusa T-conormas S:[0,1] x [0,1] [0,1] Propiedades a) S(1,1) = 1 b) S(p,q) = S(q,p) conmutatividad c) S(p,S(q,r)) = S(S(p,q),r) asociatividad d) S(1,p) = S(p,1) = 1 e) S(p,q) £ S(r,s) si p £ r y q £ s monotonía

Lógica Difusa T-normas y T-conormas a) T(x,y) = min(x,y) S(x,y) = max(x,y) b) T(x,y) = xy/(x+y-xy) S(x,y) = (x+y -2xy)/(1-xy) c) T(x,y) = xy S(x,y) = x+y - xy

Reglas de producción R = Si [x es A] Î U entonces [y es B] Î V La incertidumbre de R está representada por una relación difusa H en UxV H(A,B)(u,v) = I(PA(u) ,PB(v)) donde I:[0,1] x [0,1] [0,1] I: es decreciente respecto a u y creciente con v I(0,x) = 1 I(1,x) = x I(x, I(y,z)) = I(y, I(x,z))

Implicaciones difusas S-Implicaciones Si se interpreta la implicación como a ® b usando la negación ØaÚb tenemos que Is(p,q) = S(N(p),q) donde S es una T-conorma y N una negación fuerte

Implicaciones difusas(2) R-implicaciones Ir(p,q) = T(p,q) T(p,q) = SUPíc Î [0,1]/T(p,c) £ qý

Modus Ponens MILORD T(x,y) = min(x,y), S(x,y) = max(x,y), N(x) = 1-x Is(x,y) = S(N(x),y)= max(1-x,y) Ir(x,y) = 1 si x>y, y en otro caso MI(x,y)= 0 si y³ 1-x, y en otro caso

Modus Ponens MILORD Ejemplo · Si [x es A] [y es B] es m [x es A] es t [y es B] es n n(y)= SUP I(x,y)=z MI(t(n), m(z)) ·

MILORDII MILORD [Sierra89] Objetivo: Lenguaje de desarrollo de sistemas expertos Requerimientos: * Estructuración de problemas * Reusabilidad * Programación Incremental * Modelo para el conocimiento imperfecto Incertidumbre Imprecisión

MILORDII * Conducta cooperativa e informativa * Validación incremental * Buena iteracción con el usuario * Razonamiento Complejo MILORDII [Puyol, 94]

Incertidumbre en MilordII La capacidad de razonamiento aproximado de Milord II está basado una familia de lógicas multivaluadas (con un número finito de valores) que son locales a cada módulo y están definidas como un álgebra de valores de verdad. La lógica local a un módulo consta de las siguientes declaraciones: Un conjunto ordenado de términos lingüísticos que representan los grados de verosimilitud entre T y F Un operador de conjunción

Valores de verdad (Truth-value) AnT={An, Nn, T, IT} 0=a1< a2 <…< an< 1 IT(a,b)= max{cÎAn ôb³T(a,c)} T(a,b) = T(b,a) T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)) T(0,a) = 0 T(1,a) = a Si b³a ®T(b,c) ³T(a,c) "c Nn(ai)=a n-i+1 Si a<b ® Nn(a)>Nn(b) N2n=Id Modus ponens

{ MILORDII Modus Ponens MPT es una función An X An ® An conjunto de intervalos { 0 si Ø$c ê IT(a,c)=b MPT [a,1] si b=1 T(a,b) en otro caso

IT(a,b) =max{c Î An êT(a,c) £ b} MILORDII Modus Ponens IT(a,b) =max{c Î An êT(a,c) £ b} I1 : IT (a,b) = 1 sii a £ b I2 : IT (1,a) = a I3 : IT (a, IT(b,c)) = IT (b, IT(a,c)) I4 : Si a £ b ® IT(a,c) ³ IT(b,c) Ù IT(c,a) £ IT(c,b) "c I5 : IT (T(a,b),c) = IT(a, IT(b,c))

{ MILORDII Modus Ponens r(p)= a MPT (a,b) r(p ®q) = IT(r(p), r (q))=b El MPT (a,b) es el conjunto de soluciones para r (q) y r es la evaluación de las proposiciones.

Modus ponens MPTs5 (x,y) Ejemplo: si p=likely y p ®q= true MPTs5 (likely,true) = true

Terap-IA

Bibliografía * Puyol, J. “Modularization, Uncertainty, Reflective Control and Deduction by Specialization in MILORDII, a Language for Knowledge-Based Systems”. Tesis Doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona. 1994. * Sierra, C. “MILORD: Arquitectura Multi-nivell per a sistemes experts en classificació” Tesis Doctoral. Departament de Llenguatges i Sistemes Informàtics. Universitat Politècnica de Catalunya. 1989.