HIPÉRBOLAS

HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F y F´), es igual a una constante positiva (2a) igual a la distancia entre los vértices.

HIPÉRBOLA Gráfica: Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.

HIPÉRBOLA Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales: Trayectorias de cometas. Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. El cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola. Los focos de los estadios deportivos son hiperbólicos porque interesa dispersar la luz.

HIPÉRBOLA Ecuación de la hipérbola:   Ecuación de la hipérbola: Nótese que las ramas se acercan a las asíntotas (indicadas el línea discontinua).

HIPÉRBOLA Elementos de la hipérbola:                                                       HIPÉRBOLA Elementos de la hipérbola: - Los puntos A y A' son los vértices. - El segmento AA' es el eje focal o real y representa la distancia entre los vértices, d(A,A')=2a. - El segmento BB' se llama eje secundario o imaginario y, por similitud con la elipse, se le asigna una longitud 2b. La distancia de F a F' es la distancia focal, d(F,F') = 2c y c cumple que c2 = a2 + b2 (No confundir con la relación en la elipse que era a2 = b2 + c2). Excentricidad (e) es el cociente de c entre a:   e = c / a. Nótese que e>1 porque c>a.

HIPÉRBOLA Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas a las que la curva se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas. Son dos, y sus ecuaciones son las siguientes:

HIPÉRBOLA Ejemplo 1: Hallar la ecuación y asíntotas de la hipérbola de foco F(4, 0) y de vértice A(2, 0). Primero se calculan los parámetros a,b,c: Entonces la ecuación es: y sus asíntotas tienen ecuaciones:

HIPÉRBOLA Ejemplo 2: Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como distancia entre los vértices. Primero se calculan los parámetros a,b,c: Por lo que la ecuación y la excentricidad es:  

HIPÉRBOLA Ejemplo 3: Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144. Primero se divide entre 144 para obtener De aquí que a=4, b=3 y c=5 puesto que c2 = a2 + b2 Luego los vértices son: y los focos: Asíntotas: Excentricidad: