Tarea 7 Cod: 261775

1) Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. dx x E L b SABEMOS 𝜆= 𝑄 𝑙 LUEGO PARA EL PEDAZO 𝑑𝑞=𝜆𝑑𝑥 Ley de Coulomb para el campo Eléctrico generado por dx 𝑑𝐸= 𝑘 𝑒 𝑑𝑞 𝑥 2 𝑑𝐸= 𝑘 𝑒 𝜆𝑑𝑥 𝑥 2 INTEGRAMOS 𝐸= 𝑘 𝑒 𝜆 − 1 𝑥 𝑏 𝑙+𝑏 𝐸= 𝑘 𝑒 𝜆 1 𝑎 − 1 𝑙+𝑎 𝑏 𝑙+𝑏 𝑑𝐸 = 𝑏 𝑙+𝑏 𝑘 𝑒 𝜆𝑑𝑥 𝑥 2 𝐸= 𝑘 𝑒 𝑞 𝑙 1 𝑎 − 1 𝑙+𝑎 𝐸= 𝑘 𝑒 𝑄 𝑎(𝑙+𝑎) 𝜆= 𝑄 𝑙 Como

2) Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. Ley de Coulomb para dx 𝑑𝐸= 𝑘 𝑒 𝑑𝑞 𝑟 2 x 𝜆= 𝑄 𝐿 𝑑𝑞=𝜆𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃= 𝑏 𝑟 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑏 2 Como las componentes del campo eléctrico en el eje x se cancelan vectorialmente, tan solo la componente en el eje y se superponen. 𝑑 𝐸 𝑦 =𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐸= 𝑘 𝑒 𝑑𝑞 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝐸 𝑦 = 𝑘 𝑒 𝑑𝑞 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 Campo eléctrico superpuesto Campo eléctrico superpuesto en b Remplazando 𝑑 𝐸 𝑦 = 𝑘 𝑒 𝑑𝑞 𝑟 2 𝑏 𝑟 𝑑𝐸= 𝑘 𝑒 𝜆𝑑𝑥 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑏 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑑𝐸 = 𝑘 𝑒 𝜆𝑑𝑥 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑏 𝑥 2 + 𝑏 2

Resolviendo la integral: − 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑏 𝑥 2 + 𝑏 2 Resolviendo la integral: 𝑏𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 𝑏 2 𝑡𝑎𝑛 2 𝜃+ 𝑏 2 𝑏 𝑏 2 𝑡𝑎𝑛 2 𝜃+ 𝑏 2 𝑥=𝑏𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑑𝑥= 𝑏𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 𝑏 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 𝑏 3 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃 𝑑𝜃 𝑏𝑠𝑒𝑐𝜃 = 1 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃= 𝑥 𝑥 2 + 𝑏 2 𝐸= 𝑘 𝑒 𝜆 𝑏 𝑥 𝑥 2 + 𝑏 2 − 𝐿 2 𝐿 2 𝐸= 𝑘 𝑒 𝑄 𝑏 1 𝐿 2 4 + 𝑏 2 Finalmente para el campo eléctrico

Cada partícula 𝑑𝑞 aporta el mismo campo eléctrico . 3) Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de radio a con una distribución lineal de carga λ. Halle una expresión para E(y) 𝑑 𝐸 𝑥 = 𝑘 𝑒 𝑑𝑞 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 Cada partícula 𝑑𝑞 aporta el mismo campo eléctrico 𝜆= 𝑄 𝐿 𝑑𝑞=𝜆𝑑𝑥 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑏 2 El campo eléctrico en la componente perpendicular a 𝑥 se anula vectorialmente

Como la distancia 𝑥 es constante integramos con respecto a 𝑑𝑞 𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑥 𝑟 = 𝑥 𝑥 2 + 𝑏 2 Principio de Superposición 𝑑 𝐸 𝑥 = 𝑘 𝑒 𝑑𝑞 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑 𝐸 𝑥 = 𝑘 𝑒 𝑑𝑞 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑥 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑑 𝐸 𝑥 = 𝑘 𝑒 𝑥𝑑𝑞 𝑥 2 + 𝑏 2 3 2 𝑑 𝐸 𝑥 = 𝑘 𝑒 𝑥𝑑𝑞 𝑥 2 + 𝑏 2 3 2 Como la distancia 𝑥 es constante integramos con respecto a 𝑑𝑞 𝐸= 𝑘 𝑒 𝑥𝑄 𝑥 2 + 𝑏 2 3 2

4) Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el campo magnético de una corriente I que fluye por un alambre de longitud infinita. 𝑠𝑒𝑛𝜃= 𝑏 𝑟 𝑐𝑡𝑔𝜃= 𝑥 𝑏 𝑑𝑥=𝑏 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 Ley de Biot & Savart 𝑑𝑙=𝑑𝑥 𝑟 =𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢 𝑥 +𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑢 𝑦 )

𝑑 𝐵 = 𝜇 0 4𝜋 𝐼𝑑𝑙×𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢 𝑥 +𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑢 𝑦 ) 𝑟 2 𝑑 𝐵 = 𝜇 0 𝐼 4𝜋 𝑏 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 𝑏 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 𝑑 𝐵 = 𝜇 0 4𝜋 𝐼𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 2 𝐵= 𝜇 0 𝐼 4𝜋𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐵= 𝜇 0 𝐼 4𝜋𝑏 (𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 −𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 ) 𝐵= 𝜇 0 𝐼 4𝜋𝑏 𝐿 2 𝑏 2 + 𝐿 2 2