CONTINUIDAD Y DERIVADAS U.D. 7 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. 1 1

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO U.D. 7.1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. 2 2

Incremento de una función Sea la función f(x) = x  Verde Sea la función g(x) = x2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 4 Δy = g(2) – g(0) = 22 – 0 = 4 Sin embargo g(x) ha crecido mucho más deprisa que f(x), su crecimiento medio es mayor: En f(x): Δy / Δx = 4 / 4 = 1 En g(x): Δy / Δx = 4 / 2 = 2 Su crecimiento medio es el doble. y 4 g(x) f(x) 0 2 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = ----------------- b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – a es la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. EJEMPLO 1 Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) - 48 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 24 - 4 – (-2) - 2 En [0, 2] f (2) – f (0) 0 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 0 2 – 0 2 En [-1, 1] f (1) – f (-1) - 3 - 3 TVM = ----------------- = --------- = - 3 1 – (-1) 2 y=f(x) -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. EJEMPLO 2 La distancia recorrida por un móvil en los 7 primeros segundos tras ponerse en marcha viene dada por la función: f(t) = t2 + 2.t Halla la TVM de la función en el intervalo [2, 5]. ¿ Qué significado físico tiene?. En [2 , 5] f (5) – f(2) (25 + 10) – (4+4) 35 – 8 27 TVM = ----------------- = ------------------------ = ------------- = ------ = 9 5 – 2 3 3 3 Significa la velocidad media en dicho intervalo: 9 m/s. En [6, 7] f (7) – f (6) (49+14) – (36+12) 63 – 48 TVM = ----------------- = ------------------------- = ----------- = 15 7 – 6 1 1 En el último segundo su velocidad media es de 15 m/s @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. PUNTUALIZACIONES PRÁCTICAS Hemos dicho que la TASA DE VARIACIÓN MEDIA es: f (b) – f (a) TVM = ----------------- b - a Cuando el intervalo [a, b] es reducido, se suele indicar de esta manera: f (a + h) – f (a) TVM = --------------------- h Ahora b = a + h b – a = h es la variación o incremento de x, Δx. f (a + h) – f (a) es la variación o incremento de f (x), Δ f (x) o Δy. TVM = Δy / h = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (a+h, f(a+h)). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Incremento de una función Sea la función f(x) = x / 2  Verde Sea la función g(x) = x2/ 8  Rojo Sea la función h(x) = √x  Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] la misma TVM al tener el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 TVM = 2 / 4 = 0’50 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo es muy diferente. y 2 0 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. Es necesario distinguir unas de otras funciones. Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + ▲x) – f (a) TVI = lím ------------------------- ▲x 0 ▲x Nota: Es indiferente poner h o ▲x y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 0 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. EJEMPLO 1 Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVI de la función en: x = – 2 y en x = 1 ¿Qué significado físico tienen? Se dibuja la función. Se dibuja la recta tangente en x = – 2 Se halla la pendiente de dicha tangente. 16 m = TVI = ----- = 8 2 Al ser m positiva, es creciente la función. Se dibuja la recta tangente en x = 1 – 1 m = TVI = ----- = – 1 1 Al ser m negativa, es decreciente. y=f(x) -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. EJEMPLO 2 Sean las tres funciones dibujadas. Hallar la TVI de ambas en x=1 Se dibuja la recta tangente en x = 1 Se halla la pendiente de la recta. 1 m = TVI = ----- = 0,5 2 0,5 0,125 m = TVI = --------- = 0,25 y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 0 1 2 3 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. Si tomamos los puntos Po y P1 y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. La pendiente m de dicha recta será: Δ y y1 - yo m1 = ------ = ------------ , Δ x x1 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. P1 y1 P2 Po yo xo x1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

DERIVADA ….. ( Continuación) Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. La pendiente m de la nueva secante será: Δ y y2 - yo m2 = ------ = ------------- , Δ x x2 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. P1 P2 y2 P0 yo xo x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

DERIVADA ….. ( Continuación) Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) La pendiente de esa recta tangente será: yn - yo 0 m = lím ------------- = [----] xxo xn - xo 0 m = resultado de la indeterminación, si lo hay. P1 P2 P3 P4 P0 yo xo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. DERIVADA … ( Final). La pendiente de esa recta tangente será: yn – yo 0 m = lím ----------- = ---- xxo xn - xo 0 A ese límite concreto es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) FUNCIÓN DERIVADA No es lo mismo la derivada de una función en un punto ( que es un número), que la función derivada (que es una función). y1 y2 yo xo x2 x1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. DERIVADAS LATERALES Se llama derivada por la izquierda de f(x) en xo a: f (xo + ▲x) – f(xo) f ´ (xo-) = lím ------------------------- ▲x 0- ▲x Se llama derivada por la derecha de f(x) en xo a: f ´ (xo+) = lím ------------------------- ▲x 0+ ▲x Sólo existirá la derivada en un punto si los límites laterales coinciden. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. EJEMPLO_1 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 9 , si x ≤ 3  Función cuadrática Sea f(x) = x - 3 , si x > 3  Función lineal A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=3 (3 + h)2 – 9 – (32 – 9) 3 2 + 2.3.h + h2 – 9 – 32 + 9 Lím ---------------------------- = lim -------------------------------------- = 6 h0 - h h0 - h (3 + h) – 3 – (3 – 3) 3 + h – 3 – 3 + 3 Lím ---------------------------- = lim ------------------------- = h / h = 1 h0 + h h0 - h Las derivadas laterales no coinciden. No es derivable en x=3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. EJEMPLO_2 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 4 , si x ≤ 2  Función cuadrática Sea f(x) = 4.x – 8 , si x > 2  Función lineal A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=2 (2 + h)2 – 4 – (22 – 4) 2 2 + 2.2.h + h2 – 4 – 22 + 4 Lím ---------------------------- = lim -------------------------------------- = 4 h0 - h h0 - h 4(2 + h) – 8 – (4.2 – 8) 8 + 4.h – 8 – 8 + 8 Lím ------------------------------- = lim ------------------------- = 4.h / h = 4 h0 + h h0 + h Las derivadas laterales coinciden. La función es derivable en x=2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. EJEMPLO_3 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 4 , si x ≤ 2  Función cuadrática Sea f(x) = x – a , si x > 2  Función lineal A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=2 (2 + h)2 – 4 – (22 – 4) 2 2 + 2.2.h + h2 – 4 – 22 + 4 Lím ---------------------------- = lim -------------------------------------- = 4 h0 - h h0 - h (2 + h) – a – (2 – a) 2 + h – a – 2 + a Lím ---------------------------- = lim ------------------------- = h / h = 1 h0 + h h0 + h Las derivadas laterales no coinciden. La función no es derivable en x=2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. EJEMPLO_4 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 4 , si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = a·x – 2 , si x > 1  Función lineal A la izquierda de x=2 (función cuadrática) es continua y derivable. A la derecha de x=2 (función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=1 (1 + h)2 – 4 – (12 – 4) 1 + 2.h + h2 – 4 – 1 + 4 Lím ---------------------------- = lim --------------------------------- = 2 + h = 2 + 0 = 2 h0 - h h0 - h (a + a·h) – 2 – (a – 2) a + a·h – 2 – a + 2 Lím ---------------------------- = lim ---------------------------- = a·h / h = a h0 + h h0 + h Las derivadas laterales sólo coinciden si a = 2. La función no es derivable en x=1 si a <> 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

DERIVABILIDAD GRÁFICA Se llama derivada por la izquierda de f(x) en xo a: f (xo + ▲x) – f(xo) f ´ (xo-) = lím ------------------------- ▲x 0- ▲x Se llama derivada por la derecha de f(x) en xo a: f ´ (xo+) = lím ------------------------- ▲x 0+ ▲x Sólo existirá la derivada en un punto si los límites laterales coinciden. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.