Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 10 * 4º ESO E. AP. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 10.5 * 4º ESO E. AP. SIMETRÍAS Y CONTINUIDAD @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

SIMETRÍAS SIMETRÍAS Sea la función y = f(x). Si se cumple que f(x) = f(-x)  Hay SIMETRÍA PAR Significa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas , eje Y. O sea que el eje de las y es eje de simetría de la función. Si se cumple que f(x) = - f(-x)  Hay SIMETRÍA IMPAR Significa que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas O(0,0). O sea que lo dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo del tercer cuadrante. (Es la simetría respecto a un punto que se vió en 3º ESO E. AC.) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de simetría SIMETRÍA PAR f(x) = x2. Veamos si se cumple que; f(x) = f(-x) f(x) = x2 f(-x) = (-x)2 = x2  Hay SIMETRÍA PAR Lo mismo sucedería con: f(x) = x2 – 3 f(x) = x2 + 5 Pero no con: f(x) = x2 – 3.x f(x) = 2.x – 5 TABLA x y -2 4 -1 1 0 0 1 4 y @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de simetría SIMETRÍA IMPAR Ejemplo 2 f(x) = x3. Veamos si se cumple que; f(x) = - f(-x) f(x) = x3 f(-x) = (-x)3 = - x3 - f(-x) = - (- x3 )= x3  Hay SIMETRÍA IMPAR Lo mismo sucedería con: f(x) = x3 – 3.x f(x) = x3 + 5.x Pero no con: f(x) = x3 + 2.x2 f(x) = x3 – 5 SIMETRÍA IMPAR f(x) = x3 TABLA x y -2 - 8 -1 - 1 0 0 1 8 O @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de simetría SIMETRÍA IMPAR 4 f(x) = ----- x f(x) = 4 / x Veamos si se cumple que; f(x) = - f(-x) f(-x) = 4 / (- x) = - 4 / x - f(-x) = - (- 4 / x)= 4 / x  Hay SIMETRÍA IMPAR Lo mismo sucedería con: f(x) = – 6 / x f(x) = 12 / x Pero no con: f(x) = 4 ( x + 2) f(x) = – 6 / (x – 3) TABLA x y -2 - 2 -1 - 4 0 --- 4 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Continuidad de funciones Gráficamente podemos decir una función es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel, aunque esté troceada (compuesta de dos o más trazos). En caso contrario son funciones discontinuas: Figura 1 Figura 2 Figura 3 Las funciones lineales A una función cuadrática En x = 3 no hay son continuas siempre. la sigue otra lineal. Continuidad. 2 0 1 2 3 0 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Funciones continuas Función CUADRÁTICA Función LINEAL Función CÚBICA Función COMPUESTA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Funciones discontinuas Función COMPUESTA Función COMPUESTA 2 0 3 En x=3 presenta una discontinuidad, un salto finito: Pasa de valer 0 a valer 2 En x=0 presenta una discontinuidad, pues pasa de valer – 4 a valer 0 Función INVERSA En x=2 presenta una discontinuidad @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de función discontinua Función continua en R, excepto en x=1 En x=1 hay una discontinuidad, pues en ese punto su valor es 0. x=1 forma parte del dominio de la función. La expresión algébrica sería: Si x es distinto de 1, la función es cuadrática, dando lugar a una parábola convexa (ver que a = – 1 < 0). En el caso de x = 1, la función vale 0 en lugar del valor que la correspondería. 4 4 – x2 , si x<>1 y = 0 , si x=1 -2 -1 0 1 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

NORIA DE FERIA Una noria de feria es una función continua, además de periódica. Su velocidad es 0 durante 5 minutos, luego pasa por todos los valores de 0 a 25 en 10 minutos, se mantiene constante durante 5 minutos y finalmente pasa de 25 a 0 su velocidad en 5 minutos, pasando por todos los valores del intervalo. v = 25 km/h 5mn 10 mn 5 mn 5 mn P = 25 mn @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ELECTRICIDAD La función senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas. Como vimos en Trigonometría, el seno de un ángulo está acotado: Por lo que: - 1 ≤ sen x ≤ 1 Su valor pasa por todos los posibles valores del intervalo [ – 1 , 1], por lo cual es una función continua. En la aplicación práctica de LA ELECTRICIDAD, el valor de la tensión eléctrica que llega a los enchufes de nuestros hogares en forma de ondas senoidales continuas varía de – 311,13 Voltios a + 311,13 Voltios en 0,01 segundos. P = 0,02 s P = 0,02 s @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ESPERANZA DE VIDA La esperanza de vida (edad media) que puede alcanzar una persona en un determinado país es una función discontinua. y = f(x) 80 años 75 años 73 años 70 años x 1900 1915 1930 1945 1960 1975 1990 2005 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ENVIO POSTAL Lo que cobra Correos por el envío postal de un paquete depende, entre otros factores, del peso en gramos. Si, por ejemplo, por un paquete de 399,99 g nos cobran 4 €, por otro de 400 g nos llevarían 6 €. Por muy pequeño que sea el incremento de peso, el incremento de precio puede ser muy notable si nos movemos cerca de puntos que presentan una discontinuidad. 10 6 4 2 1 P = f (p) en € p 0 100 200 400 700 peso en g @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.