Unidad 4 Anexo 1. Capítulo IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación.

U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. En muchas aplicaciones prácticas, los sistemas resorte-masa pueden someterse a ciertas fuerzas (externas) que son de naturaleza periódica y pueden expresarse como F0 cos w t o bien F0 sen w t, donde w es la frecuencia con que se aplica la fuerza impuesta y F0 su amplitud. Un ejemplo de este tipo de fuerzas externas es la que puede experimentar un sistema cuando se conecta a una máquina rotatoria ligeramente desbalanceada. Las vibraciones que tal sistema experimentará en este caso son forzadas, ya que son provocadas por el efecto de una fuerza externa.

Este movimiento se conoce con el nombre de pulsaciones. U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. Considere el sistema resorte-masa sin fricción que está en equilibrio estático y se sujeta a la siguiente fuerza externa: x(0) = 0 v(0) = 0 Fe = F0 cos wt m x Suponiendo que el sistema no incluye fricción y que no tiene amortiguador (g = 0), obtenga una relación para la posición de la masa relativa a su posición de equilibrio como función del tiempo para w ≠ w0. Este movimiento se conoce con el nombre de pulsaciones.

La solución de esta ecuación no homogénea es de la forma: U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. Solución: En este caso no hay amortiguación pero si una fuerza externa de naturaleza periódica que se aplica al sistema, por lo que el modelo se reduce a: con: x(0) = x0 y x’(0) = v0 La solución de esta ecuación no homogénea es de la forma: La solución de la parte homogénea de esta ecuación se obtuvo en el ejemplo anterior (vibraciones libres) como:

y sustituyendo en la ecuación no homogénea: U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. Dado que w ≠ w0, la solución particular, usando el método de coeficientes indeterminados, se plantea como: así y sustituyendo en la ecuación no homogénea: se obtiene: por lo que:

Aplicando las condiciones iniciales, las constantes C1 y C2 resultan: U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. Aplicando las condiciones iniciales, las constantes C1 y C2 resultan: por lo que la solución general es: que es la diferencia de dos funciones periódicas con la misma amplitud pero con periodos diferentes.

use la siguiente identidad: U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. Con el propósito de visualizar el comportamiento de la oscilación, considere w ≈ w0 y haga: use la siguiente identidad: Para expresar la solución general en la forma: Una oscilación con frecuencia A con amplitud oscilatoria con frecuencia B < A y extremos en  2 F0/m(w02  w2).

U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. cuya gráfica es: Fenómeno acústico que ocurre cuando dos instrumentos de frecuencias casi idénticas se tocan simultáneamente.

Resuelva el ejemplo anterior para el caso especial en que w = w0 . U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. El caso en que ambas frecuencias se igualan, w = w0 , se considera en el siguiente ejemplo. Resuelva el ejemplo anterior para el caso especial en que w = w0 . Solución: La ecuación diferencial, condiciones iniciales y la solución homogénea permanecen iguales; sin embargo, la solución particular debe tomarse como: ya que el término homogéneo F0 cos w0t es una solución de la ecuación homogénea asociada.

U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. Al sustituir esta solución particular en la ecuación y despejar los coeficientes desconocidos, se obtiene: Por tanto, la solución particular es: así, la solución general se determina sumando las soluciones complementaria y particular, para obtener:

U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. Aplicando las condiciones iniciales, x(0) = x’(0) = 0, las constantes arbitrarias se determinan como C1 = C2 = 0. Entonces, la solución general es: La característica más notable de esta solución es que la amplitud de la oscilación es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente F0/(2mw0), lo que hace que el desplazamiento se vuelva ilimitado cuando t  , como se muestra en la figura siguiente:

U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación.

U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. Este fenómeno de amplitud siempre creciente se conoce como resonancia y en este caso se llama resonancia pura o resonancia no amortiguada, ya que se supone que el movimiento no presenta fricción ni amortiguación. La gráfica indica que la amplitud del movimiento tenderá a infinito cuando t  ; sin embargo, en la práctica, el sistema colapsará en algún tiempo t = tf como resultado de estas vibraciones violentas. La solución no aplica para t > tf. Así mismo, la suposición de fuerza de resorte lineal se invalida para amplitudes grandes.

U-4.A-1. Cap. IV. Vibraciones forzadas sin amortiguación. El fenómeno de resonancia sucede independientemente de las condiciones iniciales, debido a que, para valores altos de t, la solución particular domina el movimiento. En la práctica, la resonancia ocurre aún en sistemas cuya amortiguación no es suficiente para contrarrestarla y existen muchos casos espectaculares de estructuras cuya destrucción se debió a este fenómeno. La resonancia se presenta debido a que la fuerza externa actúa siempre en la dirección de la velocidad, aumenta la amplitud y no siempre resulta en destrucción. Se usa para crear algunos efectos muy deseables en acústica, sismografía y electrónica.