Apuntes Matemáticas 2º ESO U.D. 7 * 2º ESO SISTEMAS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES Y SISTEMAS U.D. 7.5 * 2º ESO RESOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES Y SISTEMAS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES LINEALES Pasamos todo al primer término de la igualdad. Quedará: a.x + b = 0 Si la ecuación es de primer grado (lineal): Damos dos o tres valores a x: x1 , x2 , … Y sustituimos en la ecuación para hallar el valor que toma el primer término: V1 , V2 , Vv , V3 , V4 , V5 , … Llevamos los puntos hallados (x1 , V1), (x2 , V2), (xv, Vv), … a un sistema de coordenadas cartesianas. Unimos los puntos con una línea recta. Donde corte al eje de las X tendremos la solución de la ecuación. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJEMPLOS RESUELTOS 1. Resolver la ecuación: x – 3 = 0 Damos dos o tres valores a x: x1 = 2 x2 = 5 Y sustituimos en la ecuación: 2 – 3 = – 1 5 – 3 = 2 Tenemos los pares de valores: P1 = (2, – 1) P2 = (5, 2) Llevamos los puntos hallados a un sistema de coordenadas cartesianas. Unimos ambos puntos con una línea recta. Donde corte la recta al eje de las X tendremos la solución de la ecuación. 2 1 - 1 Solución: x=3 0 1 2 3 4 5 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJEMPLOS RESUELTOS 2. Resolver la ecuación: 2x – 7 = 0 Damos dos o tres valores a x: x1 = 3 x2 = 4 Y sustituimos en la ecuación: 6 – 7 = – 1 8 – 7 = 1 Tenemos los pares de valores: P1 = (3, – 1) P2 = (4, 1) Llevamos los puntos hallados a un sistema de coordenadas cartesianas. Unimos ambos puntos con una línea recta. Donde corte la recta al eje de las X tendremos la solución de la ecuación. 2 1 - 1 Solución: x=3,5 0 1 2 3 4 5 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJEMPLOS RESUELTOS 3. Resolver la ecuación: 3x + ¼ = 0 Damos dos o tres valores a x: x1 = – 1 x2 = 1 Y sustituimos en la ecuación: – 3 + ¼ = – 2,75 3 + ¼ = 3,25 Tenemos los pares de valores: P1 = (– 1, – 2,75 ) P2 = (1, 3,25) Llevamos los puntos hallados a un sistema de coordenadas cartesianas. Unimos ambos puntos con una línea recta. Donde corte la recta al eje de las X tendremos la solución de la ecuación. 3 2 1 Solución: x=-1/12 1 0 1 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJEMPLOS RESUELTOS 4. Resolver la ecuación: x/3 + 2 = 0 Damos dos o tres valores a x: x1 = – 3 x2 = 3 Y sustituimos en la ecuación: – 3/3 + 2 = – 1 + 2 = 1 3/3 + 2 = 1+2 = 3 Tenemos los pares: P1 = (– 3, 1 ) P2 = (3, 3) Llevamos los puntos hallados a un sistema de coordenadas cartesianas. Unimos ambos puntos con una línea recta. Donde corte la recta al eje de las X tendremos la solución de la ecuación. 3 2 1 Solución: x = - 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS LINEALES Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) Se despeja “y” en ambas ecuaciones: y = (4 – x) / 3 = – x / 3 + 4 / 3 (1) y = 3.x – 2 (2) Queda como dos funciones lineales de la forma y = m.x + n. Tablas de valores: Damos tres o cuatro valores a x y calculamos los valores de y: Tabla (1) x - 2 0 2 y 2 4/3 2/3 Tabla (2) x 0 1 2 y - 2 1 4 Y llevamos los puntos a la gráfica para formar las dos rectas. Donde se corten ambas rectas será la solución. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Solución gráfica y = (4 – x) / 3 y = 3.x – 2 Solución Sistema = Pc(1, 1)  x=1, y=1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Interpretación gráfica Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, es compatible, las rectas son SECANTES. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones, es compatible e indeterminado, las rectas son COINCIDENTES. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene ninguna solución, es incompatible, las dos rectas son PARALELAS. Ejemplos Compatible: Indeterminado: Incompatible: x + y = 2 x – y = 0 x + y = 2 x – y = 0 x = y x + y = 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 1 Gráfico La suma de dos números es 12, y uno de ellos es doble que el otro.¿cuáles son dichos números?. Sea x un número. Sea y el otro número. Podemos poner las ecuaciones: x + y = 12  y = 12 – x y = 2.x Hacemos las tablas: x  0 81 12 y  12 4 0 x  0 2 4 y  0 4 8 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=4, y=8 0 4 8 12 16 - 4 0 4 8 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 2 Gráfico Ana tiene 12 años más que Pedro y hace 5 años tenía el triple de edad que Pedro. ¿Qué edad tiene cada uno?. Sea x la edad de Ana. Sea y la edad de Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x = y + 12 x – 5 = 3.(y – 5)  x = 3.y – 10 Hacemos las tablas: y  0 1 2 x  12 13 14 y  0 1 2 x  - 10 - 7 - 4 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=23, y=11 0 8 16 24 32 - 8 0 8 16 24 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 3 Gráfico Juan tiene 3 € menos que Pedro, pero si gasta 5 € tendrá la mitad que Pedro.¿Cuánto tiene cada uno?. Sea x lo que tiene Juan. Sea y lo que tiene Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x = y – 3  y = x + 3 x – 3 = ½.y  y = 2.x – 6 Hacemos las tablas: x  0 1 2 y  3 4 5 x  4 6 8 y  2 6 10 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=9, y=12 0 4 8 12 16 - 4 0 4 8 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 4 Gráfico Juan pagó 5 € por dos cuadernos y un bolígrafo. Ana pagó 12 € por cuatro cuadernos y dos bolígrafos. ¿Cuánto vale cada cuaderno y cada bolígrafo?. Sea x lo que vale un cuaderno. Sea y lo que vale un bolígrafo. Podemos poner las ecuaciones: 2.x + y = 5  y = – 2.x + 5 4.x + 2.y = 12  y = – 2.x + 6 Hacemos las tablas: x  0 1 2 y  5 3 1 x  0 2 4 y  6 2 – 2 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: NO hay. – 2 2 4 6 - 2 0 2 4 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO