Material Educativo D / e + s – p = e * j - e + s Competencias docentes para la Educación Media Superior Módulo 3. Propuesta de intervención. Material Educativo D / e + s – p = e * j - e + s Integrantes del equipo: Maryela Román Arteaga Mónica Isabel Rojas Torres Jesús Romano Rosas Junio 2012

Introducción Hoy en día especialmente en éstas épocas donde la mayoría de los avances tecnológicos, calculadoras científicas, computadoras, celulares, resuelven la mayoría de problemas aritméticos simples, es muy desconcertante ver que la mayoría de las personas y en éste caso de nuestros estudiantes, se apartan del razonamiento lógico y especialmente del algebraico cuando requieren hacer cálculos simples en su vida cotidiana, como la simple conversión entre los sistemas decimal y centesimal usado en nuestra moneda, la conversión del sistema inglés al internacional cuando conducen un auto, o compran productos importados de otros países , incluso el simple uso de las calculadoras cuando requieren hacer un cálculo simple dentro de otras asignatura como química o física. En definitiva, creo que el mayor problema al que nos enfrentamos es que la mayoría de las personas creen que dado este gran avance, ya no es necesario ejercitar la mente y adoptar un razonamiento lógico en nuestra realidad, de la cual podemos ver que siempre tendremos presente el realizar cálculos algebraicos dado que la mayoría de las situaciones son cambiantes, de aquí que las incógnitas varían y como consecuencia el resultado esperado.

Despeje de la incógnita deseada. ¿Te has fijado que cuando ves algunos termómetros, a veces usan una escala que no conoces como es el caso de los grados farenheit? O que los velocimetros en el auto de tu familia solo marca las millas por hora? O que tus maestros te dan ecuaciones donde no aparece la variable que buscas antes del igual? Como del teorema de pitágoras c²= a²+b², encuentra el valor de a o de b o de c solamente? La matemática es tan práctica que no necesitas tener una fórmula para cada cosa sino que esa misma fórmula te permite conocer el valor de cualquiera de sus variables, todo mediante el despeje de la misma. Usemos de ejemplo la fórmula para obtener grados farenheit utilizando grados centígrados.

¡¡Veamos si este material te es de utilidad!! °F=(°C)9/5+32 ¿Qué tenemos que hacer en este caso para conocer la temperatura en grados Celsius, si conocemos la cantidad de grados Farenheit? Despejar de la ecuación la incógnita deseada, es decir dejar la letra que buscamos solita a un lado del signo igual, siempre y cuando tengamos cuidado con las reglas, que mensionaremos a continuación. ¿Te parece complicado? ¡¡Veamos si este material te es de utilidad!!

Primero definamos ecuación. Es la igualdad de dos expresiones algebraicas en la que intervienen una, dos o más variable llamadas incógnitas, (Es decir una palabra o frase en el lenguaje de las matemáticas formada por letras, números y signos como son ( = + - X / ^ entre otros) muchos de éstos ejemplos los puedes ver en las fórmulas que conoces a=(b x h)/2 y muchas otras. ¡¡ ENTONCES CUANDO TUS MAESTROS TE PROPOR CIONAN FÓRMULAS, TE ESTAN DANDO ECUACIONES!!

Entonces para poder realizar lo que llamamos despeje, necesitamos hablar primero de las igualdades y de sus propiedades, al aplicarlas correctamente, te será muy fácil resolver una ecuación o despejar la incógnita que deseas IGUALDAD: Es la expresión en donde dos cantidades tienen el mismo valor, esta relación se indica con el símbolo =, el cual se lee “igual a” o “es igual a” Ejemplo: 4 + 2 = 3+3 6 = 6 ESTO SIGNIFICA QUE EN LA ECUACIÓN TENEMOS QUE LOGRAR QUE AL REALIZAR LAS OPERACIONES TANTO DEL LADO DERECHO COMO DEL IZQUIERDO DEL IGUAL, NOS DE EL MISMO RESULTADO

Propiedades básicas para los despejes Recuerda: Si está sumando y lo quieres mover al otro lado de la igualdad, pasa restando y viceversa, si resta suma. Si está multiplicando, del otro lado pasará dividiendo y viceversa, si divide multiplica. Si está elevado a una potencia pasará como la raíz de esa misma potencia y viceversa. Siempre se inicia por las operaciones de suma o resta y después la multiplicación o división o la potencia y radicación, según la ecuación y la variable a despejar.

Ejemplo 1

En la siguiente ecuación, queremos encontrar el valor de “x” + 15 = 31 Primero debemos quitar el +15 ¿Cómo lo hacemos?, muy fácil. Si restamos el 15, en ambos lados de la igualdad, tenemos que… +15-15=0 2x + 15 - 15 = 31 - 15

En la siguiente ecuación, queremos encontrar el valor de “x” + 15 = 31 Primero debemos quitar el +15 ¿Cómo lo hacemos?, muy fácil. Si restamos el 15, en ambos lados de la igualdad, tenemos que… +15-15=0 2x + 15 - 15 = 31 - 15

En la siguiente ecuación, queremos encontrar el valor de “x” + 15 = 31 Primero debemos quitar el +15 ¿Cómo lo hacemos?, muy fácil. Si restamos el 15, en ambos lados de la igualdad, tenemos que… Por esta razón decimos que si está sumando, del otro lado pasará restando 2x = 31 - 15

Ahora debemos quitar el 2 que está multiplicando. 2x = 31 - 15 ¿Cómo lo hacemos?, muy fácil. Si dividimos sobre 2 en ambos lados de la igualdad, tenemos que… 2x = 31 - 15 31-15=16 16/2=8 2 2 2/2=1 1 por X=X Por lo tanto el valor de X es… x = 8

Ahora debemos quitar el 2 que está multiplicando. 2x = 31 - 15 ¿Cómo lo hacemos?, muy fácil. Si dividimos sobre 2 en ambos lados de la igualdad, tenemos que… 2x = 31 - 15 31-15=16 16/2=8 2 2 2/2=1 1 por X=X Por lo tanto el valor de X es… Por esta razón decimos que si está multiplicando, del otro lado pasará dividiendo x = 8

Observa como se cumple la igualdad si descubrimos que el valor de x=8 sustituyamos en la ec. original 2x + 15 = 31 ¿Cómo lo hacemos?, muy fácil. Observemos que la x esta multiplicándose con el 2 entonces multiplicamos 2(8) =16 16 + 15 = 31 31 = 31

Ejemplo 2

En la siguiente ecuación, queremos encontrar el valor de “a” - 4 = 2 Primero debemos quitar el -4 ¿Cómo lo hacemos?, muy fácil. Si restamos el 4, en ambos lados de la igualdad, tenemos que… 5a -4+4=0 - 4 + 4 = + 4 2

En la siguiente ecuación, queremos encontrar el valor de “a” - 4 = 2 Primero debemos quitar el -4 ¿Cómo lo hacemos?, muy fácil. Si restamos el 4, en ambos lados de la igualdad, tenemos que… 5a -4+4=0 - 4 + 4 = + 4 2

5a = 4 2 5a = 4 x 2 Ahora tenemos que… El 2 está dividiendo, lo pasamos del otro lado multiplicando y nos queda… 5a = 4 x 4*2=8 2

Por lo tanto el valor de “a” es… Ahora tenemos que… 5a = 8 Para despejar “a”, el número que nos estorba es el 5, está multiplicando, lo pasamos del otro lado dividiendo, tenemos… ¡¡Ocho quintos!! 8 a = Por lo tanto el valor de “a” es… 5

Ejemplo 3

Potencia y Raíz cuadrada 2 x . 3 = 12 Para despejar “x”, el número que nos estorba es el 3, está multiplicando, lo pasamos del otro lado dividiendo, tenemos… 12 2 2 x = x = 4 3 Para despejar “x”, nos estorba el cuadrado, por lo que lo pasaremos del otro lado como raíz cuadrada… x = 4 x = 2

Ejemplo 3

Potencia y Raíz cuadrada 2 x . 3 = 12 Para despejar “x”, el número que nos estorba es el 3, está multiplicando, lo pasamos del otro lado dividiendo, tenemos… 12 2 2 x = x = 4 3 Para despejar “x”, nos estorba el cuadrado, por lo que lo pasaremos del otro lado como raíz cuadrada… x = 4 x = 2

Aplicación de los despejes

Seg/seg=1; la distancia se da en metros. En época de lluvia, se observa una luz brillante (rayo) y posteriormente se escucha un trueno. ¿A qué distancia se produce el rayo? Si al observar el relámpago de luz, cuatro segundos después se escucha el trueno Si consideramos que la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. Fórmula: Datos: t= 4 segundos; v= 340 m/s d=? Solución: Despejamos “d”, podemos observar que el tiempo “t”, está dividiendo, lo pasamos del otro lado multiplicando. 𝑣= 𝑑 𝑡 Sustituyendo: 𝑑=4𝑠∙340 𝑚 𝑠 𝑡 ∙𝑣=𝑑 Seg/seg=1; la distancia se da en metros. ¡¡Es lo mismo!! El rayo se produjo a: 𝑑=𝑡∙𝑣 𝑑=1,360 𝑚

Ahora podrás resolver el primer problema que te presentamos, con los siguientes datos: Tenemos una temperatura de 125 °F y queremos saber a cuántos °C equivale. Fórmula: Datos: °F=125 ; °C= ? El 32 está sumando, pasa del otro lado restando… °𝐹=°𝐶 9 5 +32 °𝐹−32=°𝐶 9 5 El 5 está dividiendo, pasa del otro lado multiplicando… El 9 está multiplicando, pasa del otro lado dividiendo… 5 9 (°𝐹−32)=°𝐶 5(°𝐹−32)=°𝐶9 Sustituyendo: Por lo que 125 °F equivalen a 51.66 °C 5 9 (125−32)=°𝐶 5 9 (93)=°𝐶

Ejercicios

De la siguiente ecuación, despeja la variable “y” x = -2 10 De la siguiente ecuación, despeja la variable “z” 8a + 4z = 25 2

Considerando el problema anterior, si la distancia a la que se produjo un rayo fue de 1,360 m, ¿En qué tiempo se escucharía el trueno? Si el sonido ahora viaja por el agua (1,500 m/s) Una tubería de acero es golpeada a una distancia de 3.2 Km. Y el sonido tarda en llegar al punto donde se escucha en 0.53 segundos. ¿A qué velocidad viaja el sonido? (recuerda convertir km a metros)

Gracias…