Apuntes de Matemáticas 3º ESO PROBABILIDAD U.D. 15 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO REGLA DE LAPLACE U.D. 15.3 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO REGLA DE LAPLACE La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. casos favorables P(A) = ------------------------------------ casos posibles o totales Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan. Por ejemplo: Si una moneda presenta una cierta curvatura en lugar de ser plana, ya no se podría aplicar la Regla de Laplace; igualmente si una cara de un dado pesa más que las demás. Ejemplo 1: Lanzamiento de una moneda al aire. Casos posibles o totales E = {C, X}  2 Casos favorables al suceso “Obtener una cara” {C}  1 P(A) = P(Obtener una cara) = casos favorables / casos posibles =1 / 2 = 0,5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 2: Lanzamiento de un dado al aire. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3 P(A) = P(de que nos resulte par) = = casos favorables / casos posibles =3 / 6 = 0,5 Ejemplo 3: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta un rey” {RO,RC,RB,RE}  4 P(A) = P(de que nos resulte un rey) = = casos favorables / casos posibles = 4 / 40 = 0,1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 4: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta una carta de copas”  10 P(A) = P(de que nos resulte una copa) = = casos favorables / casos posibles = 10 / 40 = 0,25 Ejemplo 5: Extracción de una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. Casos posibles o totales E = {B1, B2, B3, B4, B5, N1, N2, N3}  8 Casos favorables al suceso “Resulta blanca” {B1, B2, B3, B4, B5}  5 P(A) = P(de que nos resulte una bola blanca) = = casos favorables / casos posibles = 5 / 8 = 0,625 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 6: Se lanza al aire un dado en forma de tetraedro. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3?. ¿Y de obtener un número primo? ¿Y de no obtener un 3? Espacio muestral: E={1,2,3,4} Suceso obtener un 3: A={3} Suceso obtener un número primo: B={1,2,3} Sucesos favorables 1 P(A) = ----------------------------- = -------- = 0,25 Sucesos posibles 4 Sucesos favorables 3 P(B) = ----------------------------- = -------- = 0,75 P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 0,25 = 0,75 IMPORTANTE La probabilidad de obtener un número primo no es igual que la de no obtener un 3. En este experimento es simple coincidencia. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 7: Se lanza al aire un dado en forma de dodecaedro. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7?. ¿Y de obtener un número múltiplo de 5? ¿Y de no obtener un 3? Espacio muestral: E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Suceso obtener un 3: A={3} Suceso obtener un múltiplo de 5: B={5,10} Sucesos favorables 1 P(A) = ----------------------------- = -------- = 0,0833 Sucesos posibles 12 Sucesos favorables 2 P(B) = ----------------------------- = -------- = 0,1667 _ P(3) = 1 – P(3) = 1 – P(7) = 1 – 0,0833 = 0,9167 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Valor de la probabilidad Propiedades 1.- SUCESO IMPOSIBLE La probabilidad de un suceso imposible es 0. P(Ø) = 0 2.- SUCESO SEGURO La probabilidad de un suceso seguro es 1. P(E) = 0 3.- SUCESO CUALQUIERA La probabilidad de un suceso cualquiera, A, es siempre: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Ejemplos: Sea A el suceso “Obtener un 7 en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso imposible, entonces P(A) = 0 Sea A el suceso “Obtener un número entero en el lanzamiento de un dado” Como es un suceso seguro, entonces P(A) = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Sucesos CONTRARIOS 4.- SUCESOS CONTRARIOS Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios. En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz. En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar. En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5. Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario. _ _ Como P(A) + P( Ā ) = P(E) = 1 ; P( A ) = 1 – P(A) Ejemplo Al lanzar un dado al aire, que el resultado no sea un 5. P(5) = 1 / 6 = 0,1667 _ P( 5 ) = 1 – P(5) = 1 – 1/6 = 6/6 – 1/6 = 5/6 = 0,8333 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 8: En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. Se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca?. ¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca o Negra?. ¿Y de que no sea negra? Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} P(B) = Cf / Cp = 2 / 9 = 0,2222 P(B+N) = Cf / Cp = (2 + 4) / 9 = 6 / 9 = 0,6667 Nota: La notación P(B+N) es incorrecta. En adelante veremos que se trata de una unión de sucesos y su correcta notación es: P(BUN) _ P(N) = 1 – P(B+A) = 1 – (2+3)/9 = 1 – 5/9 = 4/9 = 0,4444 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 9: En una urna opaca hay 5 bolas Blancas, 3 Negras, 2 Rojas y 10 Verdes. Se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca?. ¿Cuál es la probabilidad de que sea Negra?. ¿Cuál es la probabilidad de que sea Roja?. ¿Cuál es la probabilidad de que sea Verde?. Espacio muestral: E={5xB, 3xN, 2xR, 10xV} P(B) = C. f./ C. p. = 5 / 20 = 0,25 P(N) = C. f./ C. p. = 3 / 20 = 0,15 P(R) = C. f./ C. p. = 2 / 20 = 0,10 P(V) = C. f./ C. p. = 10 / 20 = 0,5 MUY IMPORTANTE P(B)+P(N)+P(R)+P(V) = 1 La suma de todas las probabilidades posibles es siempre la unidad. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO