U.D. 11 * 2º ESO ÁREAS Y VOLÚMENES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

U.D. 11.4 * 2º ESO VOLUMEN DEL CONO @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO ÁREAS DEL CONO RECTO Área lateral Es el área de la superficie curva que genera, que es un sector circular. Al = π.r.g Siendo r el radio de la base, que es un círculo. Y g la generatriz del cono. Área de la base Es el área del círculo que la forma. Ab = π.r2 Área total Es la suma del área lateral y de la única base. At = π.r.g + π.r2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplos Ejemplo_1 El diámetro de la base de un cono mide 10 cm y la altura mide 12 cm. Hallar el área lateral y el total del cono. El área de la base es: Ab = π.r2 = π.(10/2)2 = 25 π cm2 La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio de la base y la altura del cono: g = √ (r2 + h2 )  g = √ (52 + 122) = √ (25 + 144) = √ 169 = 13 cm El área lateral es: Al = π.r.g = 5.π.13 = 65. π cm2 El área total será: At = Ab + Al = 25 π + 65 π = 90 π cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplos Ejemplo_2 El radio de la base de un cono mide 5 cm. Hallar la altura para que el área lateral sea igual al área de la base. El área de la base es: Ab = π.r2 = π.52 = 25 π cm2 El área lateral es: Al = π.r.g = 5.π.g Igualando ambas: 25.π = 5. π.g  g = 5 Conocidas la generatriz y el radio de la base, por el T. de Pitágoras hallamos la altura: h = √ (g2 - r2 )  h = √ (52 – 52) = 0 El cono es imposible, pues para que se cumpla la condición del enunciado la altura sería nula, y por tanto no existe cono alguno. IMPORTANTE: En un cono el área lateral es SIEMPRE MAYOR que el área de la base. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplos Ejemplo_3 El radio de la base de un cono mide 5 cm menos que la altura del cono, y la generatriz 7 cm. Hallar la altura del cono y el área lateral. Sabemos que en el cono: g2 = r2 + h2 72 = (h - 5)2 + h2 Operando: 49 = h2 – 10.h + 25 + h2  2.h2 – 10.h – 24 = 0 Simplificando: h2 – 5.h – 12 = 0 Resolviendo la ecuación: h = [(5 + √ (25 + 48)] / 2 = 6,75 cm El radio de la base es: r = h – 5 = 6,75 – 5 = 1,75 cm El área laterales: Al = π.r.g = π.r.√ (h2 + r2 ) Al = π.1,75.√ (6,752 + 1,752 ) Al = π.1,75.7 = 12,25. π cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Volumen del Cono El volumen de una pirámide hemos visto que es: V = Sb.h / 3 Un cono se puede considerar como una pirámide cuyo polígono de la base tiene infinitos lados. Por tanto tenemos: Y como Sb= π.r2 V = π.r2.h / 3 que es el volumen de un cono. h r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplos Ejemplo_1 Hallar el volumen de un cono que tiene 10 cm de diámetro de la base y 12 cm de altura. ¿Cuántos litros caben en el mismo si está hueco?. Radio de la base: r = diámetro / 2 = 10 / 2 El volumen de un cono es: V = Ab.h / 3 = π. r 2. h / 3 = π. 5 2. 12 / 3 = 314 cm3 Sabemos que 1 litro = 1 dm3 Luego 314 cm3 = 314 / 1000 dm3 = 0,314 dm3 = 0,314 litros @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplos Ejemplo_2 Una pirámide regular de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 9 cm por altura. Hallar el radio de la base de un cono de igual altura y volumen. El volumen de la pirámide será: V = Ab.h / 3 = l 2 . h / 3 = 5 2 .9 / 3 = 25. 3 = 75 cm2 En el cono: V = Ab. h / 3 = π. r 2 . h / 3 75 = π. r 2. 9 / 3 75 . 3 / π. 9 = r 2  8 = r 2 r = 2,82 cm es el radio de la base del cono. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO