Analisis de Regresion Multiple y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u 3. Propiedades Asintoticas Free and Quick Translation of Anderson's slides

Free and Quick Translation of Anderson's slides Consistencia Bajo las condiciones del Tma de Gauss-Markov MCO es ELIO, pero en otros casos no sera posible encontrar estimadores insesgados En estos casos, nos conformaremos con estimadores que sean consistentes, es decir cuando n  ∞, la distribucion del estimador colapsa en el verdadero valor del parametro Free and Quick Translation of Anderson's slides

Distribucion Muestral cuando n  n1 < n2 < n3 n2 n1 b1 Free and Quick Translation of Anderson's slides

Free and Quick Translation of Anderson's slides Consistencia de MCO Bajo los supuestos de Gauss-Markov assumptions, el estimador de MCO es consitente (e insesgado) Consistencia se prueba en un modelo de regresion simple de la misma forma que se probo insesgadez Necesitaremos tomar limites probabilisticos (plim) para establecer consistencia Free and Quick Translation of Anderson's slides

Demostrando Consistencia Free and Quick Translation of Anderson's slides

Free and Quick Translation of Anderson's slides Un Supuesto Mas Debil Para insesgadez, asumimos que la esperanza condicional era zero – E(u|x1, x2,…,xk) = 0 Para consistencia solo necesitamos que la correlacion entre los regresores y los errores sea zero Cov(xj,u) = 0, para j = 1, 2, …, k Si este supuesto no se cumple, entonces MCO sera sesgado e INCONSISTENTE!!! Free and Quick Translation of Anderson's slides

Derivando la Inconsistencia De la misma forma que derivamos el sesgo para el caso de variable omitida, podemos pensar en inconsitencia, o sesgo asintotico, para este mismo caso Free and Quick Translation of Anderson's slides

Sesgo Asintotico (cont) Pensar en la direccion del sesgo asintotico es como pensar en la direccion del sesgo para el caso de variable omitida La principal diferencia es que el sesgo asintotico usa la varianza y covarianza poblacionales, mientras que el sesgo usa los analogos muestrales Recuerda que la incosistencia es un problema de grandes muestras y por lo tanto no desaparece con mas observaciones Free and Quick Translation of Anderson's slides

Inferencia en Grandes Muestras Recuerda que bajo los spuestos del MLC, la distribucion muestral era normal y por lo tanto los contrastes t y F se distribuian como una distribuccion t y F Esta normalidad exacta es debido a que estamos asumiendo que la distribucion poblacional de los errores es normal Este supuesto de errores normales implica que la distribucion de y, dado las x’s, son normales tambien Free and Quick Translation of Anderson's slides

Inferencia en Muestras Grandes (cont) Facil poner ejemplos donde esta normalidad exacta falla Cualquier variable asimetrica, como salarios, arrestos, ahorros, etc. no pueden ser normales ya que la distribucion normal es simetrica Free and Quick Translation of Anderson's slides

Free and Quick Translation of Anderson's slides Teorema Central del Limite Basado en el teorema central del limite podemos demostrar que los estimadores de MCO son asintoticamente normales Normalidad Asintotica significa que P(Z<z)F(z) cuando n , o P(Z<z)  F(z) El Teorema Central de Limite dice que la media muestral estandarizada se comporta en el limite como una variable ~N(0,1), o Free and Quick Translation of Anderson's slides

Normalidad Asintotica Free and Quick Translation of Anderson's slides

Normalidad Asintotica (cont) Ya que la distribucion t se aproxima a la distribucion normal para grandes gl, podemos decir que Observese que ya no necesitamos asumir normalidad cuando tenemos grandes muestras. Lo que si seguimos asumiendo es homocedasticidad Free and Quick Translation of Anderson's slides

Free and Quick Translation of Anderson's slides Errores Estandard Asintoticos Si u no se distribuyen normalmente, nos referiremos a los errores estandard como errores estandard asintoticos, ya que Asi que podemos esperar que los errores estandard disminuyan a una tasa proporcional a la inversa de √n Free and Quick Translation of Anderson's slides

Eficiencia Asintotica Hay otros estimadores ademas de los MCO que tambien son consistentes Sin embargo, bajo los supuestos del Gauss-Markov, los estimadores de MCO son los que tienen las varianzas asintoticas mas pequeñas Asi driemos que MCO es asintoticamente eficiente Importante recordar que sin homocedasticidad esto no es cierto Free and Quick Translation of Anderson's slides

En clase se prestara especial atencion a: La distribuccion asintotica o de grandes muestras de los contrastes que con el supuesto de normalidad de los errores seguian una distribucion F. Los llamamos contrastes F o contrastes de Wald (W) Fijaros en las notas de clase como los contrastes F asintoticamente se distribuyen según una CHI-cuadrado Free and Quick Translation of Anderson's slides