TASA DE VARIACIÓN Dada una función cualquiera f(x), se define su tasa de variación media en un intervalo [a, b], como: TVM[a, b] = var i ac ón de f ( x ) ó n de x b - a Consideramos la tasa de variación instantánea de una función f(x) en a: TVI(a) = lim b a Si utilizamos h = b – a, la expresión anterior queda: h 0 Aplicación de la TVI: velocidad instantánea: El límite de las sucesivas secantes cuando h tiende a 0 es la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (t = a, s(t) = f(a)) f ( b ) - a a + h h Aplicación de la TVM Velocidad media: La función del espacio recorrido es dependiente del tiempo: s(t) v m = espac i o recorr d t empo e mp l eado ∆s ∆t

Crecimiento y decrecimiento DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Derivadas laterales Derivada lateral por la izquierda: f'-(a) = lim h 0- Derivada lateral por la derecha: f'+(a) = lim h 0+ Si las derivadas laterales no existen o no coinciden entonces f(x) no es derivable en el punto a: En este caso f’+(0) = 1 y f’-(x) = -1, luego f(x) = |x| no es derivable en x = 0. f ( a + h ) - a h La derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x = a es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (a, f(a)). Se designa por f’(a): f'(a) = lim h 0 f ( a + h ) - a h Crecimiento y decrecimiento Si f’(a) > 0 la función es creciente en el punto (a, f(a)) Si f’(a) < 0 la función es decreciente en el punto (a, f(a)) Si una función f(x) tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en x = a y existe f’(a), entonces f’(a) = 0.

Derivada de algunas operaciones con funciones FUNCIÓN DERIVADA La función derivada de f(x) se define como aquella que hace corresponder a cada valor de a la derivada de f(x) en x = a, es decir, f’(a). Se representa mediante f’(x). Función constante: Si f(x) = k entonces f’(x) = 0 Función identidad: Si f(x) = x entonces f’(x) = 1 = lim 1 = 1 Función cuadrática: Si f(x) = x2 entonces f’(x) = 2x Función potencial: Si f(x) = xn entonces f’(x) = nxn-1 f'( x ) = li m f ( + h - k 0= 2 h 0 + 2 + h (2 h) Función logarítmica: Si f(x) = loga x entonces f’(x) = Si f(x) = ln x entonces f’(x) = Función exponencial: Si f(x) = ax entonces f’(x) = ax · ln a Si f(x) = ex entonces f’(x) = ex · ln e = ex Funciones trigonométricas: Si f(x) = sen x entonces f’(x) = cos x Si f(x) = cos x entonces f’(x) = -sen x 1 x . l n a e = Derivada de algunas operaciones con funciones (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x) (k · f(x))’ = k · f’(x) (f(x) · g(x))’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x) ( f x ) g ’ = · - 2

Representación de funciones APLICACIONES DE LA DERIVADA Ecuación de la recta tangente Si f(x) es derivable en el punto x = a, el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en a es f’(a): Ecuación punto-pendiente de la recta tangente a f(x) en x = a: y – f(a) = f’(a) · (x – a) Representación de funciones Determinar el dominio. Estudiar la continuidad. Determinar sus ramas infinitas, es decir, sus asíntotas y su comportamiento en +∞ y en -∞. Averiguar los puntos de intersección con los ejes de coordenadas. Determinar sus puntos críticos, es decir, en qué puntos la tangente es horizontal. Dichos puntos cumplen f’(x) = 0. Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Dichos intervalos se averiguan conociendo el signo de f’(x).