CAIDA LIBRE

Isaac Newton, físico inglés, al observar la caída de una manzana de un árbol, descubrió que la manzana y la Tierra se atraen entre sí. Como la manzana es más pequeña es atraída por la Tierra. Esta fuerza de atracción se llama gravedad, es la causa de que los cuerpos tengan peso y que caigan libremente hacia la Tierra.

En 1590, el científico italiano Galileo Galilei fue el primero en demostrar que todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, en ausencia de rozamiento o resistencia del aire, caen a la tierra con la misma aceleración. Antes de la época de Galileo, la gente seguía las enseñanzas de Aristóteles, según las cuales los objetos pesados caían proporcionalmente más rápido que los ligeros.

Cuando despreciamos la fricción debida al aire, la aceleración gravitacional corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. Dicha aceleración se ha medido a nivel del mar y a una latitud de 45°, su valor es de 32.17 ft/s2 ó 9.806m/s2; en la ciudad de México es de 9.78 m/s2, y se representa con la letra g.

Los valores siguientes son suficientemente precisos para los cálculos que realizaremos en los ejercicios propuestos: g = +,- 9.80 m/s2 g = +,-32.0 ft/s2

MOVIMIENTO EN LA CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS El peso, efecto de la gravitación de la Tierra, es una fuerza.

Un cuerpo tiene caída libre si desciende sobre la superficie de la Tierra y no sufre ninguna resistencia originada por el aire o cualquier otra sustancia. Estas consideraciones se hacen para simplificar el estudio del movimiento. El hecho de ignorar la resistencia del aire es porque tiene el efecto de ir frenando la caída de los cuerpos, lo cual es más notorio en cuerpos ligeros o de gran superficie.

Todos los objetos en caída libre que parten de la misma velocidad inicial se mueven de forma idéntica. Como se ve en la figura siguiente, se sueltan desde el reposo, simultáneamente, un elefante, un ratón y una pluma en una cámara de vacío, de modo que caen con el mismo movimiento. Los tres objetos tienen la misma aceleración.

Como g es el módulo de una aceleración, siempre es positiva Como g es el módulo de una aceleración, siempre es positiva. Si la dirección hacia abajo se considera positiva, la aceleración debida a la gravedad es a = g: si se considera positiva hacia arriba, entonces a = —g.

Puesto que la aceleración gravitacional es una aceleración constante, es decir, es un M.R.U.A, se aplican las mismas ecuaciones generales del movimiento, con la diferencia de que como el movimiento es vertical, ahora se usará el eje de las “y”. En lugar de “distancia” recorrida “d, s, x”; se usa “h” por “altura” (de “height”: altura en inglés) y en lugar de “a” se usa “g”.

Las fórmulas del movimiento adquirido por un cuerpo en caída libre son las del movimiento uniformemente acelerado, si el cuerpo parte de reposo, su velocidad inicial será igual a cero.

y = gt2 2 y = v f + v 0 2 t y = v t 𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + gt y = 𝑣𝑖t + 1 2 gt2 y = 𝑣𝑓t − 1 2 gt2 2gy = v f 2 − v i 2

Donde: y = altura (h) g = aceleración gravitacional t = tiempo vf = Velocidad final v0 = Velocidad inicial.

La velocidad que el móvil alcanzará en su caída libre se calcula con la siguiente fórmula: v = gt En problemas referidos a cuerpos en caída libre es de suma importancia elegir una dirección como la positiva y seguir ese criterio en forma sistemática al sustituir los valores conocidos.

El signo de la respuesta es necesario para determinar la ubicación de un punto o la dirección de la velocidad en instantes específicos. En la caída libre se pueden dar 3 casos: un cuerpo que se deja caer, un cuerpo que se lanza verticalmente hacia abajo y un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba.

CUERPO QUE SE DEJA CAER

Todo cuerpo que se deja caer inicialmente tiene velocidad cero, y posición inicial cero, luego incrementa su desplazamiento y velocidad en cuanto a magnitud, pero con signo negativo, el cual establece la dirección de los vectores desplazamiento y velocidad.

Ejemplo ¿A qué altura se encontrará volando un avión sobre la ciudad de México si una piedra que cae de él tarda en llegar al suelo 20 segundos? Datos: y = ? g = 9.78 m/s2 t=20s

Fórmula y = gt2 2 Sustitución 9.78m s2 X 400s2 2 Resultado y = 1956 m

¿Con qué velocidad llega al suelo el cuerpo del problema anterior? Datos v = ? g = 9.78 m/s2 t =20s

Fórmula v = gt Sustitución v = 9.78 m s2 X 20 s Resultado v = 195.6 m/s

Ejemplo Una pelota de hule se deja caer del reposo como se muestra en la figura siguiente. Encuéntrese su velocidad y posición después de 1, 2, 3 y 4s. Plan: Como todos los parámetros se medirán hacia abajo, es más práctico elegir la dirección hacia abajo como positiva.

Solución: Organizando los datos tenemos v0 = 0 g = + 9.8 m /s2 t = 1, 2, 3 y 4 s Encontrar: vf =?; y =?

vf = (9.80 m s2 )1 = 9.80 m s (hacia abajo) La velocidad es una función del tiempo y está dada en la fórmula Vf = Vi + gt, en la que Vi = 0. vf = vi + gt = 0 + gt 9.80 m s2 t Después de 1 segundo tenemos: vf = (9.80 m s2 )1 = 9.80 m s (hacia abajo)

Con las sustituciones para t = 2, 3 y 4s nos darán velocidades de 19 Con las sustituciones para t = 2, 3 y 4s nos darán velocidades de 19.6, 29.4, y 39.2 m/s, respectivamente. Todas estas velocidades son positivas porque se eligió la dirección hacia abajo como positiva. La posición en función del tiempo se calcula a partir de la ecuación 𝒚 = 𝒗 𝟎 𝒕 + 𝟏 𝟐 𝒈 𝒕 𝟐 . Como la velocidad inicial es cero, escribimos:

y = v0t + 𝟏 𝟐 gt2 = 𝟏 𝟐 gt2 Después de 1s, el desplazamiento descendente será: y = 1 2 (9.80 m s 2 ) (1s)2 = 4.90 m

Ejemplo Suponiendo que una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 96 ft s , explique, sin usar ecuaciones, cómo el movimiento hacia arriba (ascendente) es exactamente inverso al movimiento hacia abajo (descendente).

Solución: Vamos a suponer que la dirección hacia arriba es positiva, lo que la aceleración debida a la gravedad sea igual a -32 ft s2 . El signo negativo indica que la velocidad de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba se reducirá 32 ft s cada segundo que suba.

Si su velocidad inicial es de 96 ft/s, su velocidad después de 1 s se reducirá a 64 ft/s. Después de 2 s, su velocidad será de 32 ft/s y después de 3 s su velocidad se habrá reducido a cero. Cuando la velocidad llega a cero, la pelota ha alcanzado su altura máxima y empieza a caer libremente partiendo del reposo.

Sin embargo, ahora la pelota aumentará su velocidad 32 ft/s cada segundo, ya que tanto la dirección del movimiento como la aceleración de la gravedad están en dirección negativa. Su velocidad después de 4, 5 y 6 s será de -32, -64 y -96 ft s , respectivamente.

Excepto por el signo, que indica la dirección del movimiento, las velocidades son las mismas a las mismas alturas en relación con el piso.

Ejemplo Se deja caer una piedra desde una altura de 100m, ¿Qué tiempo le toma a la gravedad hacer que la piedra llegue al suelo? Solución: De la ecuación yf = y0 + v0 t + ½gt2 vamos a despejar el tiempo:

Como se deja caer el objeto, vf = 0 Si colocamos el origen del sistema en el inicio del movimiento, y0 = 0, entonces: yf = ½gt2 1 2 gt2 = yf para despejar el tiempo, lo pasamos al lado izquierdo. gt2 = 2yf pasamos el 2 (dos) a la derecha.

t2 = 2yf g pasamos la g a la derecha Despejando a t queda t = 2yf g sacamos raíz cuadrada Sustituimos yf = –100 m, porque es abajo del origen y g es negativa porque es hacia abajo.

t = 2(−100m) −9.8 m/ s 2 t = 4.517s es el tiempo que tarda en caer desde 100 m.

yf = y0 + v0 t + ½gt2 1 2 gt2 = yf gt2 = 2yf t2 = 2yf g t = 4.517s yi = 0 yf = y0 + v0 t + ½gt2 1 2 gt2 = yf gt2 = 2yf t2 = 2yf g t = 2yf g = 2(−100m) −9.8 m/ s 2 t = 4.517s X yf = 100m g = -9.8 m/s2 t = ? suelo y

Considerando los datos del ejemplo anterior, ¿En qué posición se encuentra la piedra en t =2.5 s? Solución: El desplazamiento de la piedra es hacia abajo por efecto de la gravedad y se obtiene de la ecuación yf = y0 + v0 t + ½gt2 . Como y0 = 0 y v0 = 0, entonces yf = ½gt2

yf = 0.5*(-9.8 m s2 )*(2.5 s) 2 = - 30.625 m Esta posición es desde donde pusimos el origen, o sea desde la altura donde se dejó caer. Si queremos saber qué altura tiene desde el suelo, entonces será: 100 m – 30.625 m = 69.375 m

yi = 0 X yf = -30.625 m t = 2.5 s h = 69.375 m suelo y g = -9.8 m/s2 suelo y

Un ascensor en movimiento Ejemplo Un ascensor en movimiento Una persona en un ascensor ve un tornillo que cae del techo. La altura del ascensor es de 3 m. ¿Cuánto tiempo tarda el tornillo en chocar contra el suelo si el ascensor asciende con una aceleración constante ae = 4.0 m/s2?

Planteamiento del problema. Expresar las posiciones del tornillo yt, y del suelo ys en función del tiempo. Cuando el tornillo choca contra el suelo, yt = ys. Tomar como origen la posición inicial del suelo y designar como dirección positiva la dirección hacia arriba.

Dibujar el ascensor y el tornillo como se muestra en la figura siguiente. Añadir un eje de coordenadas que nos sirva para indicar las posiciones del tornillo y del suelo del ascensor:

Escribir las funciones de la posición del ascensor y del tornillo: ys – y0s = v0st + ½ast2 yt – y0t = v0tt + ½att2

y0t + v0tt1 + ½att12 = y0s + v0s t1 + ½ast12 Cuando t = t1, el tornillo llega al suelo. En ese instante las posiciones son: yt = ys y0t + v0tt1 + ½att12 = y0s + v0s t1 + ½ast12

Cuando t = 0, el suelo del ascensor y el tornillo tienen la misma velocidad. Usar este hecho para simplificar el resultado del paso 3: v0t = v0s por lo tanto: y0t + v0tt1 + ½att12 = y0s + v0s t1 + ½ast12 y0t + ½att12 = y0s +½ast12

Usar la información obtenida para simplificar: y0s = 0; as = 4.0 m/s2 y0t = h = 3 m; at = -g  h - ½gt12 = 0 + ½ast12 o h = ½ (g + as) t12

Despejar el tiempo: t 1 = 2h g + a s = 2(3m) (9.8 m/ s 2 ) + (4.0 m/ s 2 ) t1 = 0.659 s

Observación. El tiempo de caída depende de la aceleración del ascensor, pero no de la velocidad. En el sistema de referencia del ascensor hay una “gravedad efectiva” g’=g+as. En el caso (supuestamente hipotético) en que el ascensor estuviera en caída libre, es decir a as = - g’, el tiempo de caída sería infinito y el tornillo parecería “ingrávido”.

CUERPO QUE SE LANZA VERTICALMENTE HACIA ABAJO

En este otro caso, el objeto no se deja caer sino que es arrojado hacia abajo con una velocidad inicial (negativa). Ejemplo Se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 12 m/s. ¿Cuál es su velocidad y posición al cabo de 1s?

Solución: Datos: (Cuidar los signos) v0 = - 12 m/s t = 1 s g = - 9.8 m/s2 La velocidad se calcula de la siguiente manera:

vf = v0 +gt vf = - 12 m/s + (- 9.8 m/s2 )(1s) vf = - 21.8 m/s La posición se calcula así: yf = y0 + v0 t + ½gt2 yf = 0 + (- 12 𝑚 𝑠 )(1s) + 0.5(- 9.8 𝑚 𝑠2 )(1s)2 = - 16.9 m.

yi = 0 X vi = -12 m/s yf = -16.9m g = -9.8 m/s2 t = 1s y

CUERPO QUE SE LANZA VERTICALMENTE HACIA ARRIBA

En este movimiento, la velocidad inicial es diferente de cero y positiva ya que es en dirección de “y” positiva, al igual que el desplazamiento. Ejemplo Desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una rapidez de 29.4m/s. Analicemos su trayectoria en diferentes instantes de tiempo para calcular:

el tiempo que tarda en alcanzar su máxima altura respecto a la posición de lanzamiento. la posición de la pelota en su máxima altura. tiempo de vuelo. la posición de la pelota al transcurrir 1.026 s.

la posición de la pelota a los 4.97 s. Solución: La velocidad del objeto cuando alcanza su máxima altura es cero. El tiempo que tarda en subir es sin duda alguna el mismo que le toma en llegar de nuevo al suelo.

vf = 0 (en la parte más alta) Datos: a) v0 = 29.4 m/s vf = 0 (en la parte más alta) y0 = 0 vf = v0 + gt De esta ecuación, vamos a despejar el tiempo.

Le damos vuelta a la ecuación. v0 + gt = vf Pasamos v0 a la derecha. gt = vf – v0 Pasamos g a la derecha y sustituimos datos para llegar a lo más alto: t = vf − vi g

t = 0 − 29.4 m/s −9.8m/s2 = 3s (Cuidado con los signos) Tarda 3 segundos en llegar a la parte más alta. yf = y0 + v0 t + ½gt2. Esta ecuación nos sirve para encontrar cualquier posición vertical, en este caso, la más alta.

yMAX = 44.1m. Es la posición más alta yMAX = yf = y0 + v0 t + ½gt2 = 0 + (29.4 m s )(3s) + 0.5(-9.8 m s2 )(3s)2 yMAX = 44.1m. Es la posición más alta t = 2 (3 s) = 6 s. Tarda 3 s en llegar a la parte más alta, al volver a caer, tardará otros 3 segundos.

vf = 0 + (29.4 𝑚 𝑠 )(1.026s) + 0.5(-9.8 𝑚 𝑠2 )(1.026s)2 yf = y0 + v0 t + ½gt2. Con esta ecuación encontramos cualquier posición vertical, en este caso, en t=1.026 s. yf = y0 + v0 t + ½gt2 vf = 0 + (29.4 𝑚 𝑠 )(1.026s) + 0.5(-9.8 𝑚 𝑠2 )(1.026s)2 vf = 25.0 m

yf = y0 + v0 t + ½gt2. Ahora encontraremos la posición vertical en t = 4.97 s. yf = 0 + (29.4 𝑚 𝑠 )(4.97s) + 0.5(-9.8 𝑚 𝑠2 )(4.97s)2 yf = 25.0m.

¿Por qué a los 1.026s y a los 4.97s la pelota tiene la misma altura? Porque a los 1.026s va de subida y a los 4.97s va de bajada.

y v = 0 YMAX (Máxima altura) vi = 29.4 m/s yi = 0 X

y 4.96 s 1.026 s YMAX = 44.1 m y = 25 m X