ANALISIS FACTORIAL ESTÁTICO Enrique M. Quilis D.G. del Tesoro y Política Financiera

Carteras replicantes (mimicking portfolios) INDICE Modelo factorial Carteras replicantes (mimicking portfolios)

Carteras replicantes (mimicking portfolios) INDICE Modelo factorial Carteras replicantes (mimicking portfolios)

MODELO FACTORIAL Z: kx1 = vector observado de rendimientos : kx1 = media incondicionada F: rx1 (r<k) = factores comunes que afectan a los rendimientos. Inobservables : kxr = matriz de carga que relaciona factores y rendimientos : kx1 = factores idiosincrásicos o específicos

MODELO FACTORIAL Condiciones de ortogonalidad F: rx1 (r<k) = r fuentes ortogonales de variabilidad : kx1 = factores específicos o idiosincrásicos, independientes entre sí F y  también están incorreladas

MODELO FACTORIAL Propiedades La matriz de cargas cuantifica el grado de asociación lineal entre las variables observadas y los factores latentes

MODELO FACTORIAL Decomposicion de la varianza

MODELO FACTORIAL Decomposicion de la varianza

MODELO FACTORIAL Propiedades

MODELO FACTORIAL Propiedades El modelo factorial se adapta automáticamente a los cambios de escala. En particular, los factores comunes permanecen invariantes

MODELO FACTORIAL Propiedades El modelo factorial NO es único: transformaciones ortogonales de los factores generan equivalencia observacional

MODELO FACTORIAL Estimación por componentes principales (PC) Considerar los r primeros autovalores (ordenados) y los correspondientes autovectores de Z: La matriz estimada de cargas se forma a través de los r primeros autovalores (normalizados) de Z :

MODELO FACTORIAL Estimación por componentes principales (PC) La varianza específica se estima de forma residual: El error de truncamiento se cuantifica según:

MODELO FACTORIAL Estimación por componentes principales (PC) Sencillez computacional (no requiere procedimientos numéricos) Jerarquía: cambios en r no varían L Propiedades distribucionales desconocidas No permite realizar contrastes de hipótesis

MODELO FACTORIAL Estimación por máxima verosimilitud (MV)

MODELO FACTORIAL Estimación por máxima verosimilitud (MV)

MODELO FACTORIAL EMV: Algoritmo de Jöreskog Determinación del número de factores: r Inicialización: determinar la matriz VCV de los factores específicos () Bucle: mientras no se alcance convergencia o se alcance un máximo de iteraciones Estimar matriz de cargas L Estimar  Controlar casos de Heywood (|  |=0) Evaluar

MODELO FACTORIAL EMV: Algoritmo de Jöreskog Inicialización: determinar la matriz VCV de los factores específicos ()

MODELO FACTORIAL EMV: Algoritmo de Jöreskog Bucle: H: rxr = matriz diagonal formada por los r mayores autovalores de M : kxr = matriz cuyas columnas son los r mayores autovectores de M

MODELO FACTORIAL EMV: test de razón de verosimilitudes H0: r es el número apropiado de factores del modelo

MODELO FACTORIAL Estimación por máxima verosimilitud (MV) Asintóticamente consistente y eficiente Permite realizar tests formales de hipótesis Cambios en r varían L La hipótesis de normalidad puede no ser una buena aproximación en ciertos contextos (p.e., series financieras) Uso de métodos numéricos de optimización Casos de Heywood

MODELO FACTORIAL Rotación Una transformacion orientada a mejorar la interpretación del modelo: La matriz de rotación G es ortogonal con el fin de preservar la decomposition de la varianza : El algoritmo de rotación Varimax busca una matriz  tal que maximiza la variabilidad interna de los factores, sujeta la condición GG’=I

MODELO FACTORIAL Estimación del factor (scoring)

MODELO FACTORIAL Una posible secuencia Determinar la matriz de asociación: VCV o correlaciones Análisis exploratorio: determinar r Estimación preliminar mediante CP Si el modelo está definido, análisis confirmatorio: estimar mediante MV Si se considera apropiado, rotar el modelo para facilitar su interpretación Estimación de los factores (scoring)

Rotación: carteras replicantes (mimicking portfolios) INDICE Modelo factorial Rotación: carteras replicantes (mimicking portfolios)

CARTERAS REPLICANTES (MIMICKING PORTFOLIOS) El objetivo es diseñar r carteras que repliquen el comportamiento de cada factor (y sólo de ese factor) teniendo en cuenta: La estructura latente (LF) que determina el riesgo sistémico o no diversificable El riesgo idiosincrásico o diversificable, vinculado con 

CARTERAS REPLICANTES Pesos Un conjunto de números no negativos que definen la proporción de riqueza invertida en el activo i-ésimo Deben sumar uno

CARTERAS REPLICANTES Sensibilidad frente a los factores ¿Cuánto varía el valor de una cartera (normalizada) cuando varían los factores? La sensibilidad depende de las carfas (L) y de la estructura de la cartera (w)

CARTERAS REPLICANTES Función objetivo El objetivo es minimizar el riesgo diversificable Este riesgo depende de los factores idiosincrásicos

CARTERAS REPLICANTES Programa de optimización El objetivo es minimizar el riesgo diversificable ... … tomando como restricción una sesibilidad frente a los factores predeterminada

CARTERAS REPLICANTES Programa: ejemplo (r=2) Esta cartera replicará 100% al primer factor (pero no al segundo) Esta cartera replicará 100% al segundo factor (pero no al primero ... y ambas han de minimizar el riesgo diversificable

CARTERAS REPLICANTES Solución

REFERENCIAS Knez, J, Litterman, R.B. y Scheinkman, J. (1994) "Explorations into factors explaining money market returns", Journal of Finance, vol. 49, n. 5, p. 861-1882. Litterman, R. y Scheinkman, J. (1988) "Common factors affecting bond returns", Goldman, Sachs & Co., Financial Strategies Group, Technical Report n. 62. Mardia, K.V., Kent, J.T. y Bibby, J.M. (1979) Multivariate analysis, Chapman and Hall, New York, U.S.A.